坐標系的物理基礎及其空間性質*

黃聲明 劉序儼 梁全強 季穎鋒 李 華

(1)福建省地震局，福州 350003 2)廈門地震勘察研究中心，廈門 361021 3)日本神戸大學理學研究科，神戸657-8501，日本)

坐標系的物理基礎及其空間性質*

黃聲明1)劉序儼1)梁全強2)季穎鋒3)李 華1)

(1)福建省地震局，福州 350003 2)廈門地震勘察研究中心，廈門 361021 3)日本神戸大學理學研究科，神戸657-8501，日本)

在對牛頓經典力學和愛因斯坦相對論對空間時間概念闡述的基礎上，指出由于地殼運動是個宏觀低速現象，因此完全可采用牛頓力學描述地殼質點在空間的位置以及在外力作用下該位置是如何隨時間改變的，決定了必須選擇一個不作加速度運動的參照系，才能正確使用牛頓定律對地殼運動進行正確的描述。因此滿足牛頓慣性定律的參照系為地殼運動分析使用的坐標系的物理基礎。不同坐標系的參照曲面上的虛擬空間具有不同的度量張量，因此具有不同的曲面內蘊幾何性質。并對歐幾里德三維直角坐標系、平面坐標系、球面坐標系等的空間性質進行了討論。

坐標系;地殼運動;牛頓慣性定律;空間張量;曲面內蘊性質

1 引言

隨著全球衛星定位導航技術的發展，大地測量技術得到長足的進步，人們可以在全天候、無通視條件下迅速精密地確定地面點位及其隨時間的變化規律，極大地拓寬了地理信息的發展空間，為經濟、國防建設提供精確的地面目標和飛行器軌道坐標等服務，廣泛地運用于地震預報、環境監測等。

在空間地理信息中，控制點的定位是關鍵，而要精確定位離不開坐標系。在地球物理與地震地形變研究中，對地殼運動進行監測同樣需要坐標系。現在，“坐標”已逐漸走出數學、物理學的范疇，走進了人們日常生活的方方面面，但不管怎么發展，現代各行各業流行的“坐標”(例如城市坐標，風尚坐標等)概念仍然沒有改變其原始的“標準、尺度、方向”之含義。

本文從數學和物理角度對坐標系的建立方法進行探索。

2 坐標系的物理基礎

2.1 坐標系

坐標系是一種用于物體運動的數學描述，借助于坐標系人們對物體所在位置(更普遍地是指事件發生的位置)設置一個或幾個數值，這樣物體的運動就可以用數學函數x(t)來描述，以給出任意時刻t物體的位置坐標，物體運動時所參考的坐標系稱為參考系，通過給定參考點或參考方向建立起參考系與物理過程之間的聯系［1］。

常用的坐標系有直角坐標系，極坐標系，柱面坐標系，球面坐標系、橢球面坐標系，拋物坐標系等。在物理學中，為定點描述物體位置和運動而選定的變數也稱為坐標，它們的組合亦稱坐標系［2］。

2.2 空間與時間

地殼形變歸根到底是一個力學問題，大地測量學家可以解決地殼在外力作用下是如何變形的，而地球物理學家則可要從力學方面對造成此變形的力源是什么作出解釋，即要描述地殼質點在“空間”中的位置如何隨“時間”而改變則是力學的目的。

空間是宇宙所具有的使物理現象得以在相互垂直的3個方向廣延開來的一種性質，在牛頓經典物理學中，空間、時間和物質是3個相互獨立的實體，在愛因斯坦物理學中，空間和時間在4維時空連續系統中是相互聯結在一起的，在廣義相對論看來，物質被認為是引起空間彎曲的一種效應［3］。

時間是使發生在空間同一點的兩個不同的事件得以區分開來的一種維度，這兩個事件之間的間隔構成了時間測量的基礎［3］，對一般的地球自轉提供了時鐘單位，其公轉則提供了歷書單位，在科學用途上，是以某種特定的電磁幅射的頻率作為時間的定義，總之，時間是物質運動的延續性、間斷性和順序性，其特點是一維的，具有不可逆性。

2.3 參照物或坐標系

為了描述在外力作用下地殼質點在“空間”的位置是如何隨“時間”而改變的，就需要一個“參照物”(“坐標系”)。如圖1，從一列以速度u勻速直線地行駛的火車上丟棄一塊石頭到路基(而非用力投下)，在車廂窗口看，石頭是沿直線落下，在路基旁看，石頭是沿拋物線落下。那么石頭到底是做直線還是拋物線運動呢?如果我們引入“坐標系”來代替可以看到的車廂和路基“參照物”，這些問題就可以迎刃而解，石頭相對于車廂連接在一起的坐標系是直線運動，而相對于與路基連在一起的坐標系是拋物線運動。此例表明，石頭獨立運動的軌線是不存在，存在的僅是相對于某一特定參考坐標系的軌線。

圖1 勻速直線運動體系中自由落體軌跡示意圖Fig.1 Sketch of the orbit of a free falling body of a uniform motion in a straight line

地殼運動是個力學問題，牛頓的經典力學是以牛頓三大運動定律為基礎，該種力學是在宏觀世界和低速狀態研究物體運動規律，地殼質點是以安裝在它上面的測量標志為代表的，無論標志尺度如何小，也不會小至原子與分子水平［4］，因此，地殼運動是一種宏觀現象且由地震所激發的地震縱波最快也不過每秒數千米，比起光波當然是一種低速運動。因此，有關地殼運動的力學研究完全可以在牛頓經典力學中進行，在該范疇中，我們把相對觀察者是靜止或作勻速直線運動的參考系稱之為慣性坐標系。在上例中，與路基固定在一起的坐標系可看成為一個靜止的坐標系，而與車廂聯結在一起的可看成是一個作勻速直線運動的坐標系，按牛頓慣性定律，作用于物體上的合力為零時，物體的加速度也為零，物體將保持靜止或繼續作勻速直線運動，我們可以稱該坐標系為慣性坐標系，物理定律在一切慣性坐標系中都成立，這就是所謂相對性原理［5］。亦即是說，一個相對于慣性系做勻速直線運動的系統，其內部所發生的一切力學過程，都不受系統作為整體的勻速直線運動的影響，力學定律在一切慣性參考系中具有相同的形式，任何力學實驗都不能區分一個慣性坐標系是靜止的抑或在作勻速直線運動的，我們只有在這樣一個沒有受外力作用的坐標系中，才能對地球上的物理現象進行觀測研究，否則的話，觀測就會受外力“污染”，這就是坐標系的物理基礎。

3 物理學中的坐標系變換

古典力學中，伽俐略變換認為時空是獨立于物質之外的絕對時間與空間，且是彼此獨立的。在一個慣性系S中觀察到某一事件發生在(x，y，z，t)，那么在另一慣性系S’(假設S’相對于S以速度u向x軸的正方向勻速運動，且t=t’=0時，原點O’與原點O重合，x’軸與x軸重合，y’軸與y軸平行，z’軸與z軸平行)中，觀察到此事件發生在(x’，y’，z’，t’)，它們之間關系式稱為伽俐略變換，即：

眾所周知，光速不變、各向同性，但伽俐略變換不能滿足這一原理，在S系中，真空中的光訊號沿方向角分別為α、β、γ的某一方向發生，那么光速是

即光速與方向角無關，即各向同性，如果通過伽俐略變換，變換到S’系，即有：

且與方向角有關，在S’看來，光在真空中的傳播速度不是c。且是各向異性，由此可見，光傳播定律不遵從伽俐略變換與古典相對性原理。“相對性原理”意思是說，所有的慣性系都是平等的，不能用任何物理實驗來區分一個系統是靜止還是在作勻速直線運動，這一原理不管是經典力學還是愛因斯坦的相對論都要用到它。

這里要說明一下，所謂慣性坐標系是指在空間固定不動或作勻速直線運動的坐標系，當慣性力消失時，牛頓第二定律F=ma才成立。這種理想的坐標系實際上是無法建立的。

為了克服這一矛盾，愛因斯坦認為時間與空間是物質存在的形式，不同運動的物質應有不同的時空，相對于新的時空變換，這種新的變換就是所謂的洛侖茲變換。在此基礎上，愛因斯坦根據光速不變原理創立了狹義相對論，從而改變了人們的時空觀。無論是空間與時間，都是與物體運動的速度有關，在運動方向距離縮短，時鐘變慢。

洛侖茲交換如下：

當物體運動速度遠遠小于光速時，洛侖茲變換回到伽俐略變換，同時，它預示著任何物體的速度不能超過光速。

4 坐標系的空間性質

坐標系的空間性質是指嵌套在歐幾里德空間的參考曲面虛擬空間的內蘊幾何性質［6，7］，例如球面、橢球面上的內蘊幾何性質。根據曲面理論，不管是平面、球面還是橢球面的弧長、角度、面積、曲面上的曲線的測地曲率皆為它們所屬曲面的度量張量的函數，因此這些幾何量被稱之為曲面的內蘊幾何量。

立體幾何為歐氏三維空間的內蘊幾何學，歐氏三維空間的度量張量表達式為：

平面幾何是平面虛擬空間的內蘊幾何學，該虛擬空間的度量張量為：

平面上一個三角形的三條邊也皆可由上式所示的勾股弦定理求出，并且該三角形的3個內角、面積、三邊上的中線，垂線、角分線的長度，三角形的外接圓、內切圓以及3個傍切圓的半徑皆可由三角形的邊長來表達(圖2)［8］，其表達式為：

圖2 三角形高、中線、中垂線示意圖Fig.2 Sketch of the altitude，midline and perpendicular bisector of a triangle

球面幾何為球面虛擬空間的內蘊幾何學，則球面空間的度量張量為：

式中：R為球體的半徑。

卯酉圈的周長：

子午圈長度：

球面面積：

至于橢球面的卯酉圈，子午圈的周長以及橢球面的面積則不可能得到像球面上那樣的封閉解析式，因為牽涉到橢圓積分。不同的曲面空間有各自不同的度量張量，或者說有不同的度量空間。此外，曲面的彎曲程度體現了曲面在外部空間的形態，曲面的高斯曲率與平均曲率反映了曲面的彎曲程度，被稱之為曲面的外蘊幾何量。高斯曲率除了可根據曲面的度量張量(第一類基本量)計算外，還可同時使用第一類和第二類基本量進行計算，而平均曲率必須同時采用第一類和第二類基本量才能計算得到。對于WGS84橢球面而言，其第二類基本量的表達式為：

德國學者赫茲(Heitz)于20世紀80年代中期把曲面理論系統地引入大地測量學中，對旋轉橢球面的內蘊幾何量進行深入的研究，并給出了以橢球面的第一類和第二類基本量為參數的有關橢球面的內蘊與外蘊幾何量的表達式。

既然曲面上的弧長、角度、面積等皆為該曲面的內蘊幾何量，那么就有理由認為該曲面上的弧長、角度、面積發生的變化(線應變、剪應變、面應變)當然也應屬于該曲面上的內蘊幾何學性質。

在大地測量中所采用的坐標系，無論是直角坐標系、球坐標系或者橢球坐標系皆為正交曲線坐標系，其中直角坐標系為一特例，在該坐標系中每一點處的局部標架都不會因點位的不同而發生變化，因為其度量張量為一常數，而其他的則會隨點位而發生變化，因為該點處的度量張量為點位函數。盡管在不同坐標系的位移分量、應變與旋轉張量表達式各不相同，但在地表同一點處發生的位移、體應變與面應變都是一個與坐標系選擇無關的幾何量，它們都可在該點處的不同坐標系局部坐標標架中進行表達。因此，不同坐標系之間的位移分量、應變與旋轉張量可以相互轉換［9，10］，其轉換矩陣可由兩個坐標系的局部單位標架求出［9，10］，由于轉換矩陣為正交矩陣，因此，不同坐標的應變與旋轉張量皆為相似矩陣。在這里，所謂“相似”，就是說無論從哪種坐標系的應變與旋轉張量矩陣皆可求出該點處的地殼形變不變量——主應變及主方向、面應變與體應變，它們都包含了該點處所有局部地形變信息，雖然不同正交曲線坐標系的空間結構不同，但因它們的局部單位坐標標架皆相交正交，并可相互轉換，因此，在用于地殼形變分析時都是相容洽的，也就是說，地殼形變是與坐標系的選擇無關。

5 結語

為了描述地殼質點在空間的位置以及在外力作用下該位置如何隨時間而改變，這就牽涉到“靜止”、“勻速直線運動”和“加速度”等概念。為了給這些量以確定的含義，就必須選擇一個不作加速度的參照系，才能正確使用牛頓定律對地殼質點的地殼運動進行正確的描述，但無論如何找不到這樣一個不作加速的參照系。我們現在通常使用的地固坐標系實際上并不是一個理想的慣性系，因為它不停地做著復雜的加速運動，既圍繞太陽公轉，又圍繞自身的地軸自轉，但是地球的加速度又很小，事實表明，地固坐標系還是足以勝任的［11］。如果想描述行星運行，就必須選用固定在太陽上的參照系，或采用固定在更遠距離恒星上的參照系。

在實際工作中，應根據觀測的對象來選擇恰當的坐標系，并通過坐標變換取得不同坐標系的地理位置信息以滿足不同的需要，即使在物理學中，也是如此，利用張量理論，我們可以得到力學定律以不變形式表示的普適表達式［12］，例如，任一正交曲線坐標系中質點與質點系運動方程。

隨著GPS技術的出現，測繪技術的科學含量及其重要性得到大幅度提升，并在人們的日常生活中得到普遍的應用，但如果沒有建立ITRF與WGS84系統以及對坐標系的研究，GPS也不可能大顯神通，因此，在對測繪技術進行創新之際，切不可忽視對坐標系的研究，兩者是相輔相成的。

1 Horst stocker編，吳錫真，李祝霞，陳師平譯.物理手冊［M］.北京：北京大學出版社，2004.

2 夏征農主編.辭海(上冊)［M］.上海：上海辭海出版社，1999.

3 Edited by Alan ISAACS.Oxford Dictionary of physics［M］.Shanghai：Shanghai Foreign Education Press，2001.

4 王敏中，王偉，陳際可.彈性力學教程［M］.北京：北京出版社，2002.

5 王文誠.大學物理學新編—相對論［M］.杭州：浙江大學出版社，2007.

6 Siegfriend Heitz.Coordinates in Geodesy［M］.Springer-Verlay，1985.

7 阿提內.約克塞爾著.高榮勝，李正媛譯.陳鑫連，劉序儼校.地殼形變分析理論——地殼運動監測［M］.北京：地震出版社，2001.

8 沈永歡，等編.實用數學手冊［M］.北京：科學出版社，2001.

9 劉序儼，黃聲明，梁全強.正交曲線坐標系的應變張量轉換［J］.大地測量與地球動力學，2008，(2)：71-76.

10 劉序儼，季穎鋒，梁全強.正交曲線坐標系應變張量的普適表達［J］.大地測量與地球動力學，2008，(4)：89-96.

11 J B馬龍著.潘絹穆，信義譯.岳宗五校.物理學(上冊)［M］.北京：科學出版社，1988.

12 劉連壽，鄭小平.物理學中的張量分析［M］.北京：科學出版社，2008.

PHYSICAL BASIS AND SPATIAL NATURES OF A COORDINATE SYSTEM

Huang Shengming1)，Liu Xuyan1)，Liang Quanqiang2)，Ji Yingfeng3)and Li Hua1)

(1)Earthquake Administration of Fujian Province，Fuzhou 350003 2)Xianmen Research Centre of earthquake Surveging，Xiamen 361021 3)Faculty of Science，Kobe University，Rokkotaimachi 1-1，Nade，Kobe 657-8501Japan)

By outlining the space-time theory in Newtonian mechanics and Einstein’s Relativity，it is pointed out that the crustal movement is a kind of macro-phenomenon of low speed.Thus adopting the Newtonian mechanics to describe position of a crustal particle as well as how it is changed by external forces along with the time are absolutely feasible，and a reference frame without any motion of acceleration is pretty necessary for depicting a crustal movement in a right way by using the Newton Laws.That is，a reference frame in accordance with the Newton inertia Law is one of the physical foundation of coordinate system for the purpose of crustal motion analysis.Considering that different coordinates have their own metric tensors in the respective virtual space on reference surface，they also have different sets of intrinsic geometric properties.Finally，a discussion on the spatial natures of the Cartesian，plane and spherical coordinate systems is made.

coordinate system;crustal movement;Newton inertia law;metric tensor;intrinsic nature of the curved surface

1671-5942(2011)Supp.-0098-05

2010-10-25

福建省防震減災體系二期工程項目

黃聲明，男，主要從事地震監測預報工作.E-mail：hsm_hjw@126.com

P315.72

A