不等式約束秩虧網平差的算法研究*

謝 建 朱建軍

(中南大學地球科學與信息物理學院，長沙 410083)

不等式約束秩虧網平差的算法研究*

謝 建 朱建軍

(中南大學地球科學與信息物理學院，長沙 410083)

提出具有不等式約束的秩虧網平差模型，并設計了一種簡單易行的算法。該算法將基準條件當作虛擬觀測，基于庫恩塔克條件，運用迭代的高斯消去法區分有效約束和無效約束，將不等式約束轉化為等式約束的秩虧網平差問題求解。并以一個水準網的實例驗證了算法的可行性與正確性。

不等式約束;秩虧;有效約束;虛擬觀測法;水準網平差

1 引言

在變形監測、控制網優化設計、近景攝影測量等數據處理領域，當缺乏必要的起算數據時，會造成平差系統設計陣秩虧［1］。解決此類問題的方法有附加條件法，廣義逆法，偽觀測法，直接法，消去條件法及奇異值分解法［2-4］。在進行自由網平差時，有時需要對參數進行部分約束，例如在測角網與GPS網中固定一條基線的長度等，但這種約束條件數尚不足控制網的必要起始數據個數。文獻［3］提出了解決這一問題的廣義逆方法。文獻［5-10］對等式約束秩虧網平差模型的計算方法進行了研究。

近年來，不等式約束的平差方法引起了國內外眾多學者的關注，它能以相對模糊的方式來描述大地測量中的先驗信息，改善平差結果，提高數據處理的精度，在GPS數據處理，變形分析，方差分量估計等領域中得到了成功的應用［11-14］。當秩虧自由網中存在一些可以用不等式約束來表達的先驗信息，就形成了不等式約束條件下的自由網平差模型，本文主要研究這類平差問題的計算。首先將基準約束條件當作虛擬觀測并入函數模型中，然后基于庫恩塔克條件，運用迭代的高斯消去法自動區分有效約束和無效約束，將不等式約束的平差問題轉化為等式約束的秩虧自由網平差求解，最后給出水準網平差的簡單算例。

2 附不等式約束的秩虧自由網平差模型

帶有不等式約束條件的秩虧自由網平差的函數模型和隨機模型可分別表示為：

式(1)中，設計陣的秩R(A)=t＜u，秩虧數為d=u -t，σ2為單位權方差因子，Q、P分別為觀測值的協方差矩陣和權矩陣。如果只考慮式(1)中的第一式，也就是無約束的秩虧網平差，為了達到消除秩虧的目的，使之在最小二乘最小范數意義下得到唯一的解，一般附加d個基準約束條件，

則可表示為：

模型(4)就是附有不等式約束的秩虧自由網平差的簡化形式，它和普通的附不等式約束的平差模型在形式上是一致的。

3 不等式約束的秩虧自由網平差模型的計算方法

模型(4)等價于對如下形式平差模型求解：

由約束極值中的庫恩-塔克(Kuhn-Tucker)條件知，在最優解處必須滿足：

式(6)表明，當約束為有效約束時，即：cj()= Cj()-wj=0時，λj＞0;當約束為無效約束時，即：cj()=Cj()-wj＜0時，λj=0。我們的目的就是尋找有效約束得到最小二乘解。根據最優化理論，不等式約束中的有效約束在計算中等價于等式約束，而無效約束在計算中可以舍棄。我們把約束條件CX≤w換成CX=w，設計算法來區分有效約束和無效約束。

新的目標函數為：

按照拉格朗日乘子法求解式(7)，組成條件式：

在解式(11)時不能簡單地直接求解。解該方程的目的是區分有效約束和無效約束，由分析可知，它的解只能大于等于零。現設計一種算法使解滿足大于等于零的條件。

令：

式(11)可寫成：

它的分量形式為：

其中i=1，2，…，p，d(i)是d的第i個分量，D(i，j)是矩陣D的第i行，第j列元素。

令λ0=(0，0，…，0)，k為迭代次數，對式(13)用

進行迭代計算得到λi，并用=max(0，λi)進行迭代，直到最后兩次算得的λ相等為止。

將得到的λ值代入式(10)，可得：

4 實例計算

算例引自文獻［9］，其中A、B、C、D點為待定點(圖1)，觀測高差及路線長度分別為：

圖1 水準網示意圖Fig.1 Sketch of the level network

水準網的基準條件的系數陣為：

同時，根據實際情況加入以下不等式約束條件：

令1 km的觀測高差為單位權觀測，則權陣為：

用高斯消去迭代法可得 λ=(0 0.206 3)T。由此可以發現第一個不等式約束條件為不起作用的約束，第二個不等式約束為起作用的約束。將λ代入式(15)，可求得平差值為

從而得到不等式約束下各點的高程平差值為：

在不考慮不等式約束條件CX≤w的情況下，求得的最小二乘估計為：

從而得到各點的高程平差值為：

從以上算例可以看出，本文提出的不等式約束秩虧自由網平差的算法是可行的。

5 結論

1)具有不等式約束的秩虧自由網平差模型，可以充分利用觀測中的有效先驗信息，提高了秩虧網平差的可靠性。

2)給出的不等式約束秩虧自由網平差的計算方法，是將基準約束條件當作虛擬觀測并入函數模型中，然后基于庫恩塔克條件，運用迭代高斯消去法自動區分有效約束和無效約束，將不等式約束的平差問題轉化為等式約束的秩虧自由網平差求解。

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2 陶本藻.自由網平差與變形分析［M］.北京：測繪出版社，2001.(Tao Benzao.Free net adjustment and deformation analysis［M］.Beijing：Surveying Press，2001)

3 陶本藻，唐詩華，皮 新.具有約束的自由網平差及其應用［J］.測繪學報.1984，13(1)：60-68.(Tao Benzao，Tang Shihua and Pi Xin.Application of free net adjustment with conditions［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，1984，13(1)：60-68)

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7 賀國宏.具有約束的自由網平差的進一步探討［J］.長沙交通學院學報，1987，3(2)：69-78.(He Guohong.A further discussion of the free net adjustment with conditions［J］.Transaction of Changsha Communications College，1987，3(2)：69-78)

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12 Koch K R and Riesmeier K.Bayesian inference for the derivation of less sensitive hypothesis tests［J］.Bull Geod，1985，59：167-179.

13 Schaffrin B.Ausgleichung mit bedingungs-ungleichungen［J］.AVN，1981，88(6)：227-238.

14 朱建軍，謝建.附有不等式約束平差的理論與方法研究［J］.測繪工程，2008，17(6)：1-5.(Zhu Jianjun and Xie Jian.Research on theory and methods of inequality constrained least squares［J］.Engineering of Surveying and Mapping，2008，17(6)：1-5)

15 馮光財，朱建軍.基于有效約束的附不等式約束平差的一種新算法［J］.測繪學報，2007，36(2)：119-123.(Feng Guangcai and Zhu Jianjun.A new approach to inequality constrained least-squares adjustment［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2007，36(2)：119-123)

RESEARCH ON ALGORITHM OF INEQUALITY CONSTRAINED RANK DEFICIENT ADJUSTMENT

Xie Jian and Zhu Jianjun
(School of Geosciences and Info-physics，Central South University，Changsha 410083)

An inequality constrained rank deficient adjustment model is proposed and on its basis the algorithm which is simple and easy to implement is designed.In the algorithm the reference condition is treated as a virtual observation and by using iterative Gaussian elimination to distinguish active or inactive constraints based on Kuhn-Tucker condition，and then the inequality constrained model is transformed into equality constrained rank deficient adjustment model.In addition，an example of level network is given to prove the feasibility and correctness of this algorithm.

inequality constraints;rank deficient;active constraint;virtual observation method;level network adjustment

1671-5942(2011)06-0117-04

2011-06-01

國家自然科學基金(40574003，40974007);湖南省博士生科研創新項目(CX2010B048)

謝建，男，1984年生，博士，研究方向：測量平差與現代測量數據處理理論.E-mail：hsiejian841006@163.com

P207

A