地應(yīng)力測(cè)量中鉆孔偏心分析*

程惠紅 張 懷 朱伯靖 石耀霖

(1)中國(guó)科學(xué)院計(jì)算地球動(dòng)力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100049 2)中國(guó)科學(xué)院研究生院地球科學(xué)學(xué)院，北京100049)

地應(yīng)力測(cè)量中鉆孔偏心分析*

程惠紅1，2)張 懷1，2)朱伯靖1，2)石耀霖1，2)

(1)中國(guó)科學(xué)院計(jì)算地球動(dòng)力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100049 2)中國(guó)科學(xué)院研究生院地球科學(xué)學(xué)院，北京100049)

將有限元數(shù)值法與解析解相結(jié)合，對(duì)載荷下探頭鉆孔偏心問(wèn)題進(jìn)行研究。研究結(jié)果表明，偏移量δ≤1/5時(shí)，徑向位移誤差均值＜15%，周向位移誤差均值＜10%;偏移量δ≥2/5時(shí)，徑向位移誤差均值＞30%，周向位移＞25%;而當(dāng)δ＞1/2時(shí)，誤差值更大，具體的數(shù)值在實(shí)際工程中需進(jìn)一步驗(yàn)證。

地應(yīng)力;鉆孔偏心;徑向位移;周向位移;誤差分析

1 引言

20世紀(jì)80年代以來(lái)，地應(yīng)力測(cè)量在全世界范圍廣泛展開(kāi)，然而，在實(shí)際地應(yīng)力測(cè)試中會(huì)受多種因素的干擾，影響測(cè)量結(jié)果的真實(shí)性。經(jīng)過(guò)多年研究，石耀霖等［1］提出鉆孔內(nèi)布4個(gè)相繼成45°的應(yīng)力元件的檢測(cè)方法，即“1+3”=“2+4”的實(shí)地檢驗(yàn)方法［2］，但在實(shí)際應(yīng)力長(zhǎng)期觀測(cè)常常做不到。因?yàn)殂@孔應(yīng)變測(cè)量是一個(gè)由套筒內(nèi)外徑、圍巖和水泥3部分組成各向異性的“雙環(huán)”問(wèn)題，鉆孔偏心會(huì)引起誤差，但誤差有多大還需要研究。

Jeffery［3］推導(dǎo)出了存在偏心孔的圓柱體在內(nèi)壓和外壓下的應(yīng)力公式。此后，Radi和Strozzi［4］采用雙極坐標(biāo)和艾雷應(yīng)力函數(shù)方法求出了二維各向同性偏心孔應(yīng)力分布問(wèn)題的基本解析解。但是，雙極坐標(biāo)系統(tǒng)下的解析解方程式較復(fù)雜，實(shí)際應(yīng)用起來(lái)也比較困難。由于數(shù)學(xué)和力學(xué)理論上的困難，對(duì)于直角坐標(biāo)系統(tǒng)下橫觀各向同性和各向異性材料偏心孔應(yīng)力分布的解析解很難得到。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，數(shù)值模擬方法應(yīng)用愈來(lái)愈廣泛，尤其是有限元方法，該方法可以方便地調(diào)整參數(shù)，修改邊界條件和加載方式，適合具有不規(guī)則形狀和內(nèi)部結(jié)構(gòu)復(fù)雜的問(wèn)題，模擬方案靈活可變，是目前研究復(fù)雜地質(zhì)體中應(yīng)力場(chǎng)分布最有效的方法之一［5］。

本文將應(yīng)用數(shù)值模擬及理論分析方法，研究不同材料和孔深情形下的孔壁徑向與周向位移誤差大小與鉆孔偏心度之間的關(guān)系。

2 地應(yīng)力測(cè)量基本理論

根據(jù)彈性力學(xué)理論［5-8］，半徑為a的圓孔在無(wú)窮遠(yuǎn)處薄板受x方向的均勻壓拉力p，在圓孔孔壁處的徑向位移ur和周向位移uθ為：

其中θ為從壓力P的方向轉(zhuǎn)到孔壁上任一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的角度，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，θ為正，順時(shí)針為負(fù)。

在無(wú)窮遠(yuǎn)處X方向受到最大主應(yīng)力σ1，其垂直方向受到最小主應(yīng)力σ2時(shí)。孔壁的徑向變形為：

其周向變形可以表示為：

在實(shí)際應(yīng)用中，如果在3個(gè)相繼成45°方向上分別測(cè)定ur，則可得：

通過(guò)解方程組計(jì)算出σ1、σ2以及主應(yīng)力與元件的夾角：

此時(shí)

在數(shù)值模擬計(jì)算中，雖然板的尺度是有限的，但當(dāng)圓孔直徑的比值與彈性板的邊長(zhǎng)小于1/4時(shí)，有限板和無(wú)限版幾乎沒(méi)有差別［9］。試算中我們也發(fā)現(xiàn)當(dāng)小孔的孔徑a一定時(shí)，隨著板的尺度L的增大，數(shù)值模擬結(jié)果越來(lái)越逼近解析解。如果選取a/L= 1/10，則可以十分精確地模擬無(wú)限大平板內(nèi)含小孔的問(wèn)題。由于有限元數(shù)值模擬和理論解的誤差會(huì)隨著網(wǎng)格增加逐漸減小，當(dāng)單元數(shù)目達(dá)到兩萬(wàn)以上時(shí)，隨著單元數(shù)目的增加數(shù)值模擬精度提高很少，因此本文對(duì)單元的劃分采取逐步加密的辦法。

3 地應(yīng)力測(cè)量中“偏心”孔的模擬

本文選取YRY-4型分量鉆孔應(yīng)變儀的參數(shù)進(jìn)行模擬。其探頭主體長(zhǎng)度450 mm，直徑108 mm，彈性筒的外徑與內(nèi)徑之比為1.09，4路電容測(cè)微傳感器米字型布置在探頭中部平面。選取Φ130 mm的直徑巖石鉆孔，a/L=1/10。約束條件為：?jiǎn)蜗蚴軌海瑇方向上施加均勻壓應(yīng)力σ=1.0×106Pa，x軸上點(diǎn)施加沿y方向的約束條件，約束值為0;y軸上點(diǎn)施加沿x方向的約束條件，約束值為0。介質(zhì)力學(xué)參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 介質(zhì)力學(xué)參數(shù)Tab.1 Material parameter

圖1和圖2為3層不同介質(zhì)的內(nèi)孔在X方向偏心時(shí)σxy的應(yīng)力圖和σxy切應(yīng)力圖，由圖可以看出：1)對(duì)于中間較軟，兩側(cè)硬的3層介質(zhì)材料，在受X向單向壓力時(shí)，中間介質(zhì)在θ=±π/2內(nèi)部?jī)山橘|(zhì)接觸處壓應(yīng)力最大，而在外部?jī)山橘|(zhì)接觸處拉應(yīng)力最大;2)內(nèi)孔偏心后，小孔周圍的主應(yīng)力不再關(guān)于y軸對(duì)稱，在內(nèi)孔偏向的那側(cè)，主應(yīng)力隨偏心距的增大不斷增大;切應(yīng)力對(duì)于無(wú)限空間來(lái)說(shuō)是對(duì)稱的，但對(duì)于偏心孔不再對(duì)稱，對(duì)稱軸背向內(nèi)孔的偏向，且切應(yīng)力隨著偏心距的增大也在增大(圖3、4)。從圖3、4可以看出：1)對(duì)于3層介質(zhì)，孔壁徑向位移最值之比不再是1：3，徑向位移和周向位移隨介質(zhì)參數(shù)而變化;2)隨著偏心距的增大，引起的位移誤差也增大。在θ=π/2處，當(dāng)偏心距δ=3 mm時(shí)，位移誤差為0.44%;δ=6 mm時(shí)，位移誤差為1.83%;δ=10 mm時(shí)，位移誤差為5.56%。

4 討論

我國(guó)分量式鉆孔應(yīng)變儀的內(nèi)環(huán)是儀器套筒，外環(huán)是水泥的“雙環(huán)模型”，可歸類為彈性力學(xué)的圓孔加襯問(wèn)題，因此，公式(1)、(2)可以表達(dá)為：

其中A、B是套筒內(nèi)外徑、圍巖和水泥等關(guān)于楊氏模量和泊松比的函數(shù)［10］。

圖5為鉆孔偏心示意圖，內(nèi)孔偏心后，應(yīng)變儀測(cè)量到θ方向上的A點(diǎn)，相當(dāng)于鉆孔未偏心的β方向上的A’點(diǎn)。則鉆孔在X方向偏移度m=c/a，Y方向上n=d/a，且鉆孔偏心不影響L范圍的P值，可以得出孔壁徑向、周向位移公式為：

其中：

鉆孔偏心后的偏差為：

圖1 3層不同介質(zhì)的內(nèi)孔在X、Y方向上偏心形成的應(yīng)力圖Fig.1 Normal stress with the variation of eccentric distances in the X and Y direction in three different materials

圖2 3層不同介質(zhì)的內(nèi)孔在X、Y方向上偏心形成的切應(yīng)力圖Fig.2 Shear stress with the variation of eccentric distances in the X and Y direction in three different layers of materials

圖3 內(nèi)孔在X方向不同偏心距下的徑向位移Fig.3 Radial displacement with the variation of eccentric distances in the X direction in three different materials

圖4 內(nèi)孔在X方向不同偏心距下的徑向位移Fig.4 Tangential displacement with the variation of eccentric distances in the X direction in three different layers of materials

圖5 鉆孔偏心示意圖Fig.5 Sketch of eccentric hole in infinite plate

對(duì)式(17、18)的θ求導(dǎo)，可以得到變化最值點(diǎn)。對(duì)于無(wú)窮大薄板在受X和Y方向上受力情況，其孔壁位移偏差公式可以根據(jù)單力情況，應(yīng)用疊加方法得到。在實(shí)際工程測(cè)量中，當(dāng)知道鉆孔偏心距c、d后，就可求出偏差，進(jìn)而對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正。同時(shí)，當(dāng)實(shí)際測(cè)量中在某個(gè)角度θ測(cè)得的位移、應(yīng)變值出現(xiàn)差異時(shí)，可以判斷該孔偏向，從而進(jìn)行校正。

公式推導(dǎo)中假設(shè)條件與數(shù)值間的誤差通過(guò)系數(shù)M來(lái)估測(cè)，將經(jīng)驗(yàn)公式解與數(shù)值解進(jìn)行對(duì)比擬合分析，從而得出M值(表2)。

應(yīng)用有限元數(shù)值模擬，將鉆孔偏心數(shù)值解與經(jīng)驗(yàn)公式解進(jìn)行擬合。根據(jù)曲線擬合確定M’=1.0 -c/5a。若鉆孔在X、Y方向偏移c、d，則系數(shù)m= 1.0-δ/5a，δ=(c2+d2)1/2為鉆孔偏心距。因此，經(jīng)修訂公式(17、18)位移偏差可以表示為：

表2 鉆孔偏心數(shù)值解與經(jīng)驗(yàn)公式擬合Tab.2 Numerical Solution of eccentric and fitting with the ampirical formula

4.1 誤差隨偏移方向變化

在測(cè)量過(guò)程中鉆孔定位不準(zhǔn)、導(dǎo)向器的損壞、套管內(nèi)壁的磨損等不定因素，致使鉆孔偏向不同，也導(dǎo)致孔壁位移變化量的大小不同。根據(jù)式(19、20)可以得出鉆孔在分別偏向4個(gè)方位圓孔孔壁位移變化情況。本文選取aP/AE=aP/BE=1，鉆孔在X、Y方向均偏移1/10孔徑的條件下徑向、周向位移變化見(jiàn)圖6。鉆孔偏向北東方向時(shí)，徑向位移在θ=0、±π處(壓力平行處的點(diǎn)附近)以及［-π/2，0］、［π/2，π］區(qū)間(與偏移方向垂直)在鉆孔偏心前后變化較大，而在［0，π/2］［-π，-π/2］區(qū)間(與偏移方向平行)在鉆孔偏移前后變化很小。同樣，可以看出在其他方向也遵循這個(gè)規(guī)律：壓力平行處的點(diǎn)附近和與偏移方向垂直區(qū)間的徑向位移變化較大，與偏移方向平行的區(qū)間徑向位移變化較小。周向位移在0、π(壓力平行處的點(diǎn))以及與偏移方向平行處變化大，而在垂直方向變化小。同樣，可以得出周向位移在偏向4個(gè)方位各個(gè)區(qū)間的變化(表3)。

表3 偏心孔偏向不同象限的各個(gè)區(qū)間的徑向位移和周向位移變化Tab.3 Variation of radial displacement and tangential displacement in all four quadrants

4.2 誤差隨偏心距變化

根據(jù)式(19、20)，可以得出不同鉆孔偏心距下鉆孔未偏心與偏心后徑向位移的誤差范圍及影響因素。選取鉆孔圓心偏向東北方向，得出不同偏心距［1/10，5/10］的誤差。隨著偏心距離δ的增大，小孔孔壁應(yīng)變和位移顯著改變。偏移量δ≤1/5時(shí)，徑向位移誤差均值＜15%，周向位移誤差均值＜10%;偏移量δ≥2/5時(shí)，徑向位移誤差均值＞30%，周向位移＞25%;而當(dāng)δ＞1/2時(shí)，誤差值更大(表4)。

表4 不同偏心距δ下的位移誤差分析Tab.4 Analysis of displacement error under different eccentricity distance δ

4.3 一般情形

在實(shí)際地應(yīng)力測(cè)量中設(shè)地表孔口圓心為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，x軸為南北方向，y軸為東西方向，z軸定為垂直向下。對(duì)于直線型鉆孔來(lái)說(shuō)，鉆孔的軌跡則由鉆孔的孔口坐標(biāo)，開(kāi)孔頂角和方位角三者決定。設(shè)直線型鉆孔設(shè)計(jì)軸線為z軸，頂角偏移孔軸線角度為φ，鉆孔方位角為ω，則偏心孔在深度h處，x方向上的偏移量為h tanφ cosω，y方向上的偏移量為h tanφ sinω。據(jù)實(shí)測(cè)地應(yīng)力統(tǒng)計(jì)資料分析結(jié)果最大水平主應(yīng)力與垂直應(yīng)力的比值一般為ζ=0.5～5.5，在淺層地殼中ζ=0.8～1.5［11］。因此可以將公式(19、20)，變化為：

其中：

地應(yīng)力在絕大部分地區(qū)是一個(gè)3項(xiàng)不等壓力場(chǎng)，其孔壁位移偏差公式可以根據(jù)單力情況，應(yīng)用疊加方法得到。

圖6 圓孔孔壁徑向位移和周向位移示意圖Fig.6 Sketch of radial displacement and tangential displacement small of a hole in infinite plate

5 結(jié)論

本文在前人工作基礎(chǔ)上［12］，應(yīng)用有限元數(shù)值方法與解析(半)解析理論解對(duì)地應(yīng)力測(cè)量中的鉆孔偏心問(wèn)題進(jìn)行了探討，得到的孔壁徑向與周向位移誤差大小與鉆孔深度、鉆孔直徑、鉆孔偏心度、材料參數(shù)、載荷分布和類型之間的關(guān)系，可為進(jìn)一步研究提供一些參考。

1 石耀霖，范桃園.地應(yīng)力觀測(cè)井中元件標(biāo)定及應(yīng)力場(chǎng)計(jì)算方法［J］.地震，2000，20(2)：101-106.(Shi Yaolin and Fan Taoyuan.Borehole in situ calibration of stress sensors and calculation of variation of stress field during long term observation［J］.Earthquake，2000，20(2)：101-106)

2 邱澤華，石耀霖，歐陽(yáng)祖熙.四分量鉆孔應(yīng)變觀測(cè)的實(shí)地相對(duì)標(biāo)定［J］.大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2005，(1)：118-122.(Qiu Zehua，Shi Yaolin and Ouyang Zuxi.Relative in-situ calibration of 4-component borehole strain observation［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2005，(1)：118-122)

3 Jeffery G B.Plane stress and plane strain in bipolar co-ordinates［J］.Philosophical Transactions of the Royal Society of London(Series A)，1921，221：265-293.

4 Radi E and Strozzi Jeffery A.Solution for an elastic disk containing a sliding eccentric circular inclusion assembled by interference fit［J］.International Journal of Solids and Structures，2009.46(25/26)：4 515-4 526.

5 李開(kāi)泰，黃艾香，黃慶懷.有限元方法及其應(yīng)用［M］.北京：科學(xué)出版社，2006.(Li Kaitai，Huang Aixiang and Huang Qinghuai.The finite element method and its application［M］.Beijing：Science Press，2006)

6 徐秉業(yè)，劉信聲.應(yīng)用彈塑性力學(xué)［M］.北京：清華大學(xué)出版社，1995.(Xu Bingye and Liu Xinsheng.Application of elastic-plastic mechanics［M］.Beijing：Tsinghua University Press，1995)

7 中國(guó)地質(zhì)科學(xué)院地質(zhì)力學(xué)研究所，國(guó)家地震局地震地質(zhì)大隊(duì).地應(yīng)力測(cè)量的原理和應(yīng)用——測(cè)量地應(yīng)力的鉆孔變形法［M］.北京：地質(zhì)出版社，1981.(Chinese Academy of Geological Sciences Institute of geology and State Seismological Bureau Brigade.In-situ stress measurement principle and application of in-situ stress-Measurement of borehole deformation method［M］.Beijing：Geological Publishing，1981)

8 王連捷，潘立宙.地應(yīng)力測(cè)量及其在工程中的應(yīng)用［M］.北京：地質(zhì)出版社，1991.(Wang Liangjie and Pan Lizhou.In situ stress measurement and its application in engineering［M］.Beijing：Geological Publishing，1991)

9 黃維揚(yáng).有限大平板中圓孔的應(yīng)力集中計(jì)算［J］.南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，1986：73-80.(Huang Weiyang.A calculation of the stress concentration for a finite plate with a circular hole［J］.Journal of Nanjing University of Aeronautics＆Astronautics，，1986：73-80)

10 邱澤華，闞寶祥，唐磊.四分量鉆孔應(yīng)變觀測(cè)資料的換算和使用［J］.地震，2009：83-89.(Qiu Zehua，Kan Baoxiang and Tang Lei.Conversion and application of 4-component borehole strainmeter data［J］.Earthquake，2009：83-89)

11 徐志英.巖石力學(xué)［M］.北京：中國(guó)水利水電出版社，1993.(Xu Zhiying.Rock mechanics［M］.Beijing：China Water Power Press，1993)

12 張懷，等.擬川滇——基于千萬(wàn)網(wǎng)格并行有限元計(jì)算的區(qū)域強(qiáng)震演化過(guò)程數(shù)值模型設(shè)計(jì)和構(gòu)建［J］.中國(guó)科學(xué)(D)，2009.39(3)：260-270.(Zhang Huai.Quasi Sichuan-Yunnan——Based on thousands of grid parallel finite elementcomputationsstrong earthquake evolution process numerical model design and construction［J］.Science Chian(D)，2009.39(3)：260-270)

ANALYSIS OF DRILLING HOLE DEVIATION IN CRUSTAL STRESS MEASUREMENT

Cheng Huihong1，2)，Zhang Huai1，2)，Zhu Bojing1，2)and Shi Yaolin1，2)

(1)Key Laboratory of Computational Geodynamics，Chinese Academy of Science，Beijing 100049 2)College of Earth Science，Gradute University of Chinese Academy of Sciences，Beijing100049)

The drilling-hole deviation problem is explored through theoretical and numerical analysis.First，the finite element modeling to different deviation(zero to half of hole radium)established and relatively dispalcement fields are obtained.Then，the correlation of deviation value and mean diaplacement error(MDE)is developed.When the deviation is located at 0.2 level，the MDE components at radical and circumferential direction is less than 15% and 10%respectively，when it is located at 0.4 level，the relatively error will exceed to 30%and 25%，if it is exceed to 0.5 level，the present law is invalidated and had to be improved.

crustal stress;eccentric derivation;radial displacement;tangential displacements;error analysis

1671-5942(2011)06-0164-06

2011-07-11

國(guó)土資源部行業(yè)基金(SinoProbe-7)

程惠紅，女，1984年生，博士生，主要從事地球動(dòng)力學(xué)專業(yè).E-mail：chenghuihong@163.com

P315.72+5

A