天文大氣折射的級數展開式＊

張捍衛 丁安民 雷偉偉

(河南理工大學測繪學院,焦作 454003)

由于ξ2的量級是 10-2,ξ4的量級是 10-4。因此有：

天文大氣折射的級數展開式＊

張捍衛 丁安民 雷偉偉

(河南理工大學測繪學院,焦作 454003)

對天文大氣折射的級數展開理論進行了研究,給出了新的級數展開式。新的級數展開式能夠展開到任意階次項,并且達到了亞毫角秒的理論精度;另外,把地面附近的位相折射指數作為未知數單獨提出來,適應了光學技術在不同觀測波長情況下的處理,并給出了以視天頂距正切為引數的級數展開式。這一成果將可完全取代普爾科沃大氣折射表公式,也可以利用該方法進行射線跟蹤的理論研究。

天文大氣折射;級數展開式;大氣折射指數;亞毫角秒精度;普爾科沃大氣折射表公式

1 引言

早在公元 1世紀,人們就已認識到大氣折射現象。但直到公元 17世紀,才逐漸創立了大氣折射理論。之后,很多著名學者,例如歐拉、拉格朗日和拉普拉斯等都研究過大氣折射。俄羅斯普爾科沃天文臺一直從事天文大氣折射表的編制工作,其理論依據是基里金在 1866—1873年期間的研究工作。1870年,普爾科沃天文臺編制的大氣折射表問世,幾乎替代了當時的所有折射表。以后幾經改進,被譽為當時最精確的大氣折射表并得到廣泛采用[1]。20世紀 40年代以后,發展起來的其他大氣折射理論也起了很重要的作用[2-4]。文獻[5,6]把 1天文大氣折射的被積函數以視天頂距為引數進行級數展開,在確定大氣分布模型基礎上進行積分,給出了一個新的級數展開式,并在其后得到了廣泛應用。相對目前觀測技術水平來說,該工作存在如下問題：級數展開只取到有限的幾階,且其系數只保留到角秒量級;地面附近的位相折射指數作為特定波段的數值被包含于級數展開的系數中,不利于不同波段的處理;在級數展開的過程中,視天頂距沒有以顯函數的形式給出。目前,大氣折射研究已考慮到大氣模型與其折射指數理論公式的不對應性[7],以及能夠與測站周圍地理環境相適應的實際大氣模型的分布,例如文獻[8]給出了直接測定瞬時天文大氣折射值的一種有效方法,并建立了適應于云南天文臺本地的、隨方位和光譜型而異的天文大氣折射模型。

本文將在文獻[5,6]的理論基礎上,對天文大氣折射級的數展開理論進行重新研究。

2 天文大氣折射的級數展開式

無窮遠平面電磁波到達地面測站時,其真天頂距ξ與視天頂距ξ0的關系為[5,9]：

式中,Δz稱為天文大氣折射 (或蒙氣差),在球對稱大氣模型假設下,其基本微分方程是[5,9]：

式中,n、ξ和 r分別是傳播路徑上某點的大氣位相折射指數、視天頂距 (平面電磁波傳播方向與該點地心向經的夾角)和地心距;n0和 r0分別是測站點的大氣位相折射指數和地心距。令

根據式(3)可得

假設取中性大氣層頂的高度為 72 km左右,此處的位相折射指數約為 (n-1)≈6.0×10-9。如果只考慮中性大氣層對蒙氣差的影響,有

因此,如果要使得

那么就必須要求視天定距滿足ξ0≤81.5°。在此要求下對式(5)進行展開,即

其中約定

(2k-1)!! =1·3·5…(2k-1);且(-1)!! =1

(2k)!! =2·4·6…(2k);且 (0)!! =1如果定義數組

那么根據式(2)、(6)和(7)可得

如果能夠得到數組 E(k)的具體數值,那么式 (8)就是天文大氣折射的級數展開式。

2 亞毫角秒理論精度的級數展開

假設 tanξ0的量級大小是 10,則根據式 (8)可見,如果要使得每一項都能保留到亞毫角秒量級的大小,那么 E(k)的數值必須取到 10-2k-10。假設(n0-1)的量級是 10-4,那么根據式 (7)可知,y(1-y2)k的數值必須取到 10-2k-6。令

由于ξ2的量級是 10-2,ξ4的量級是 10-4。因此有：

則

或者

利用二項式展開

可見,取 j=0、1、2、3的情況下,就能使得 (1-y2)k保留到 10-2k-6的量級。因此,利用以上相關公式在此量級上有

在文獻[1,2]中,當 k≤2時,上式右端大括號中只有帶下劃線的項;當 k＞2時,只考慮到了第一個下劃線的項,而沒有其他項,且只是考慮到了 k=4的項。

為方便編程計算,定義數組：

這里 J和L屬于自然數集。把式 (13)代入式 (7),并利用式(14)可得

為便于計算機編程計算,同時使得對式 (13)的積分與式(14)數組的定義相符合,約定

在沒有具體約定數組的數值時,其數值由式 (14)的定義求出。可見,如能確定 A(J,L),那么可由式(15)計算 E(k),然后再代入到式 (8)就得到了亞毫角秒理論精度的天文大氣折射級數表達式。

3 基于位勢地心距的級數展開

在大氣物理學和海洋物理學的實際應用中,常采用位勢高度而不用幾何高度表示大氣的高度和海洋的深度。一般情況下,位勢高度 (z-r0)和幾何高度 (r-r0)的關系是[10]：

這里,g(r0,φ)是測站處的重力加速度,g0為常數。本文假設 g0=g(r0,φ),那么就有

對于大氣折射理論研究,采用位勢高度的優點在于可以不考慮壓高公式中的重力加速度隨高度和緯度的變化,只需知道測站重力加速度即可。以式(17)代替式(10)的第一式,按照上節推導過程可得基于位勢地心距的數組(k)的表達式：

其中,數組A(J,L)仍按式(14)和(16)計算,但要以代替式 (9)第一式的ξ2。最后,以(k)代替式(8)的 E(k),就得到基于位勢地心距的天文大氣折射級數表達式。

4 結論與討論

文獻[1,2]給出的級數展開式只保留到角秒量級,但即使如此,也忽略了式 (13)中的第一中括號中的第一項。本文使得級數展開式可以取到任意階次項,而文獻[1,2]理論只是展開到了視天頂距正切的 9次方項。在文獻[1,2]最終給出的公式中,并沒有采用以視天頂距正切為引數形式的表達式,這在實際應用中很不方便,而本文最終給出的結果是以視天頂距正切為引數的級數表達式。同時把地面附近的位相折射指數作為未知數單獨提出來,適應了光學觀測技術在不同觀測波長情況下的處理。

本文不但給出了基于幾何地心距的蒙氣差級數展開式,同時也給出了基于位勢地心距的蒙氣差級數展開式。計算數組 E(k)或A(J,L),需要一定的大氣分布模型,隨著大氣探測資料和數值天氣預報模型的完善,以及 GPS氣象學的發展[11,12],可得到滿足精度要求的大氣分布模型。

1 OrlovB A.Refraction tables of the Pulkova observatory,4th Edition[M].Russian Academy of Science Press：Leningrad, Moscow,1956.

2 W illis J E.A determination of astronomical refraction from physical data[J].Transactions of the American Geophysical Union,1941,22(Part II)：324-336.

3 GarfinkelB.An investigation in the theoryof astronomical refraction[J].Astronomical Journal,1944,50(8)：169-179.

4 Garfinkel B.Astronomical refraction in a polytropic at mosphere[J].Astronomical Journal,1967,72(2)：235-254.

5 Saastamoinen J.Contributions to the theory of atmospheric refraction,partI,astronomical refraction[J].Bulletin Géodésique,1972a,105：279-299.

6 Saastamoinen J.Introduction to practical computation of astronomical refraction[J].Bulletin Géodésique,1972b,106：383-397.

7 黃捷.電波大氣折射誤差修正[M].北京：國防工業出版社,1999.(Huang Jie.The radio-wave refractive error correct[M].Beijing：NationalDefense Industry Press,1999)

8 冒蔚,楊磊,鐵瓊仙.測定瞬時天文大氣折射值和建立本地實測模型 [J].天文學報,2009,50(2)：180-188. (MaoWei,YangLei and TieQiongxian.Atmospheric refraction and building a localobservationalmodel[J].ActaAstronomica Sinica,2009,50(2)：180-188)

9 冒蔚,鐵瓊仙,楊磊.天文大氣折射[M].昆明：云南科技出版社,2004.[Mao Wei,Tie Qiongxian and Yang Lei. Astronomical atmospheric refraction[M].Kunming：Yunnan Science and Technology Press,2004)

10 裴盛軒,等.大氣物理學[M].北京：北京大學出版社, 2003.(Pei Shengxuan,et al.Atmospheric physics[M]. Beijing：BeijingUniversity Press,2003)

11 宮曉艷,等.大氣掩星反演誤差特性初步分析[J].地球物理學報,2007,50(4)：1 017-1 029.(Gong Xiaoyan,et al.Inversion of atmospheric occultation preliminary analysis of error characteristic[J].Chinese Journal of Geophysics, 2007,50(4)：1 017-1 029)

12 虞南華,朱文耀.GPS大氣掩星技術在全球氣候變化研究中的應用[J].地球物理學進展,2008,23(3)：722-730.(Yu Nanhua and ZhuWenyao.Application of GPS radio occultation data in global climate change study[J].Progress in Geophysics,2008,23(3)：722-730)

SERIES EXPANSI ON OF ASTRONOM ICAL ATMOSPHERIC REFRACTI ON

Zhang Hanwei,DingAnmin and LeiWei wei
(School of Surveyingamp;Land Infor m ation Engineering,Henan Polytechnic University,Jiaozuo 454003)

The correction ofAstronomicalAtmospheric Refraction(AAR)is one of the i mportant topics in astronomy and geodesy.On the basis of the literature 1 and 2,series expansion theory of AAR was restudied,a new series expansion was provided. The new expansion can expanded to the arbitrary order and times items,and reached the sub-milli-arc-second theoretical accuracy.In addition,the phase atmospheric refractive index near the ground had been extracted from the expansion,as a single unknown parameter,so,new expansion can be adapted to different observation wavelengths processing of optical technology.Finally,the new series expansion making tangent of visual zenith distance as a argument is given.Thiswork will completely replace the formula in AAR table of Pulkovo Observatory.Thismethod can also be applied to the theory of ray tracing.

AstronomicalAtmospheric Refraction(AAR);series expansion;at mospheric refractive index;sub-milliarc-second accuracy;formula for refraction table of Pulkova

1671-5942(2011)04-0060-04

2011-04-23

國家自然科學基金 (41040035);河南省科技創新人才杰出青年科學基金 (094100510023);河南省基礎與前沿研究項目(082300460140)

張捍衛,男,1967年生,教授,博士后,博士生導師,主要從事空間大地測量學教學和研究工作.E-mail：zhanwei800@163.com

P172

A