地形變應變張量矩陣的不變量分析＊

劉序儼 季穎鋒 黃聲明 梁全強

地形變應變張量矩陣的不變量分析＊

劉序儼1)季穎鋒1,3)黃聲明1)梁全強2)

在給出正交曲線坐標系的有關位移向量及其全微分、位移梯度矩陣、應變張量矩陣的普適表達式的基礎上,又給出了任意兩種正交曲線坐標系下的應變張量矩陣的普適轉換表達式,并指出：由于該變換矩陣為正交矩陣,故應變張量矩陣為相似矩陣。并對應變張量矩陣的幾何物理性質進行了分析,指出任何一種正交曲線坐標系的應變張量矩陣都具有唯一不變的主應變特征多項式,由該矩陣的主應變特征值方程皆可求得地殼質點處的主應變及其主方向,由主方向單位向量又可把該矩陣化為以主應變為對角元素的對角矩陣,該矩陣及其對角矩陣的跡皆為該質點處的體應變,該矩陣的行列式等于該質點處 3個主應變的乘積,這些幾何物理量皆為該質點處的地應變不變量。

位移向量;位移梯度矩陣;應變張量矩陣;普適表達式;幾何物理不變量

1 概述

應變與旋轉是地殼運動的一種表現形式。地殼運動是指組成地殼介質的質點位置不斷發生相對變化的一種現象,質點位置的變化稱為位移,在單位時間內發生的位移稱為地殼運動速率。對于剛體,由于其中任意兩點間的距離保持不變,在外力作用下,剛體可能發生整體平移或旋轉,但絕不會發生變形。但實際上,地殼既不是剛體,也不是流體,而是介于兩者之間的一種彈性介質。在外力作用下,地殼質點位移體現為地殼介質對該作用力的一種響應,包括平移、旋轉和應變[1,2]。

由地殼質點位移所引起的平移、旋轉與應變構成了地形變的 3種要素。在構成地形變的 3種要素中,平移代表質點從A挪至B,旋轉與應變則一起表征了該質點處的變形,旋轉與應變分別為位移梯度矩陣的不同組合。人們不禁要問,位移梯度矩陣的幾何意義何在?為什么應變與旋轉矩陣皆可表征為該矩陣的組合,其幾何物理含義是什么,不同坐標系下的這兩個矩陣的轉換關系又是怎樣的,在不同坐標系下的旋轉和應變矩陣元素值都不相同,為什么說兩者是等價的,其等價的內涵和外延是什么,它們所表征的幾何物理特征又是什么?在對地殼形變位移觀測資料進行應變分析時,如何選擇坐標系,又如何求得位移分量對坐標變量的偏導數呢?這些問題正是本文要探討的主要內容。

2 應變張量矩陣表達式

地殼介質的位移是該質點對外力作出的一種響應,而位移向量的空間變化率則刻畫了地殼介質的應變。地殼質點的位移向量的空間變化率可由該質點的位移梯度矩陣取得[3],位移梯度矩陣在任一正交曲線坐標系中的普適表達式為：

地殼質點的位移梯度矩陣 E及轉置矩陣 ET之和的 1/2,給出了該質點位移在其鄰域所產生的地殼介質的應變張量矩陣[1,3],其普適表達式為：

其中

式(4)中的[U1U2U3]為地殼質點處的位移向量的全微分在該質點處的正交單位標架上的分量,[u1u2u3]為位移向量在坐標標架上的分量,[eξ1eξ2eξ3]為在該項質點處的正交曲線坐標系的正交單位標架[4]。地殼質點處的應變張量矩陣取決于該質點處的坐標標架,在不同的坐標系下有不同的表達式,但不管怎樣,由不同坐標系給出的地殼變形都是唯一的,這就牽涉到應變張量矩陣的性質。

3 應變張量矩陣及其性質

式(2)給出了地殼某一質點處的應變張量矩陣的普適表達式,不論由哪種正交曲線坐標系下的應變張量矩陣都能刻畫出地殼質點處的位移所引起的任何一個方向的線應變以及由該點處兩個方向間的角度改變量(剪應變),因為在該點處的應變張量矩陣已包含了該點處局部變形的所有信息。設 eξ為該點處某一方向ξ相對于該點處的單位標架的單位向量,則該方向上的線應變εξ可由[1,5]

求出。又設η為該點處的另一方向,其相對于該點處的單位標架的單位向量為 eη,那么由 eξ和 eη兩個單位向量所構成的角度改變量εξη(以弧度為單位)可由[5]

求出。若 eξ⊥eη,則εξη就是ξ η平面上的剪應變。

不同坐標系的應變張量矩陣如同這兩個坐標系的單位標架一樣可以相互轉換,設 (M：eAξ1,eAξ2, eAξ3)與 (M：eBu1,eBu2,eBu3)分別在 M點在 A與 B坐標系下的單位活動標架,則這兩個坐標系的應變張量矩陣εA和εB的相互轉換表達式為[1]：

式中,eBu1,eBu2,eBu3與 eAξ1,eAξ2、eAξ3可由 M點在 B與A坐標系中的位置向量表達式求得[4,5]。由于 cB和cA皆為正交矩陣,故 c亦為正交矩陣[1]。

其中,cik為轉換矩陣 c中第 i行第 k列的元素。按定義,與這些分量即為張量,與是其指標記號,εA和εB是其整體記號[1]。

4 應變張量矩陣的不變量分析

按彈性力學,通常在剪應變為零的平面上,正應變會取得極大值和極小值,也就是所謂的主應變[1,2,6,7],主應變實際上是應變張量矩陣的特征值。這些特征值所屬的方向稱為特征向量的方向,亦即主方向[1,2,6,7]。在地殼某質點處所產生的主應變及其主方向與坐標系的選擇無關,是該質點變形的一種不變量,這是因為在式(7)中,聯系A坐標與B坐標系下的兩個應變張量矩陣εA和εB之間的變換矩陣 c為正交矩陣,因此εA和εB為相似矩陣[8-10]。在這里,“相似”一詞是指在不同坐標系下的所有應變張量矩陣都是等價的,雖然,在不同坐標系下應變張量矩陣元素數值各不相同,但它們卻都隱藏著與坐標系選擇無關的地殼某質點處地殼局部變形的某些幾何物理不變量,這正是等價或相似概念的內涵,而不同坐標系下,因該質點處的局部標架各不相同,因而各自的矩陣元素數值也各不相同,正是該概念的外延。根據線性代數理論[8-10],不難證明,不同坐標系下應變張量矩陣隱藏著在該質點處局部變形的某些幾何物理不變量,挖掘出這些幾何物理不變量,可以加深我們對應變張量矩陣特性的認識,這些幾何物理不變量分別為：

1)應變張量矩陣具有相同的主應變特征值多項式

設λ為主應變,則應變張量矩陣ε的特征值方程為：

式中 I為三階單位矩陣,式(10)的展開式為：

其中：

由于在地殼某質點處的主應變是一個幾何不變量,故 I1、I2、I3亦皆為不變量。

設λi為應變張量矩陣的某一主應變,ξi為該主應變對應的特征向量(主方向),則ξi可由矩陣特征值方程求出;

2)應變張量矩陣的行列式等于主應變乘積,為一常數

3)應變張量矩陣皆可表達為對角線元素為主應變的對角張量矩陣

由于實對稱矩陣的特征值皆為實數,設λ1、λ2、λ3分別為該矩陣互不相等的特征值 (主應變),ξ1、ξ2、ξ3分別為各其所對應的單位特征向量 (主方向),則這 3個特征向量必相互正交,則把該矩陣轉換為對角矩陣的轉換矩陣為 c=(ξ1,ξ2,ξ3),由此可得以主應變為分量的對角應變張量矩陣ελ為

若λ1、λ2、λ3有兩個是重根,此時可對重根所對應的兩個特征向量分別做施密特正交化[8-10],以取得單位正交基,即單位特征向量。

若λ1=λ2=λ3=λ,此時不存在主應變與主方向,地殼質點在任何方向受力情況與靜止流體中質點受力一樣,把與該力大小相等方向相反的力稱為靜水壓力,設靜水壓力為 P,地殼介質體積模量設為B,由文獻[7,12-15],則在該質點處的體應變為：

4)應變張量矩陣的跡為體應變且為一常數

根據彈性力學理論[1],應變張量矩陣的跡等于該點處的體應變,故

把應變張量矩陣對角化以后,其對角矩陣的跡為主應變之和,該和即等于體應變Δ[1,4]

根據向量場理論[16],體應變又可表達為：

式中 u為該質點的位移向量,▽為哈密頓微分算子,其表達式為

顧及到式 (4),則式 (17)變為：

5 認識與討論

在給出正交曲線坐標系下的有關位移梯度矩陣、應變張量矩陣的普適表達式的基礎上,給出了任意兩種正交曲線坐標系下的應變張量矩陣的普適表達式,對位移梯度矩陣的幾何物理性質進行了較為詳細的分析,并著重指出因在正交曲線坐標系中,局部單位坐標標架的轉換矩陣是正交的,因此應變張量矩陣為相似矩陣。在此基礎上,對應變張量矩陣的幾何物理性質進行比較深入的分析,并指出隱藏在應變張量矩陣中的這些地形變不變量正是相似矩陣等價概念的內涵,而不同坐標系下的應變與旋轉張量矩陣元素具有不同數值正是該項概念的外延。

應變與旋轉張量矩陣皆為位移梯度矩陣及其轉置的不同組合,因此,位移梯度矩陣既刻劃地殼某一質點處所有的地應變信息,又給出該質點處的地殼剛體旋轉方向及其旋轉角位移,即給出了該質點處的空間應變率。

既然不同正交曲線坐標系的應變張量矩陣可以相互轉換[4],那么到底使用哪種坐標系下的應變張量公式進行應變分析好呢?這要視觀測資料而定。如果采用在WGS84坐標框架下的 GPS觀測資料計算應變時,文獻[17]建議,即使在小范圍內也應采用球坐標系應變張量公式,而不應使用平面坐標系的應變張量公式,以免引入系統誤差,因為該文認為“球面上的垂直位移可以產生徑向和緯向的正應變,徑向位移可以產生緯向的正應變,緯向位移也可以產生剪應變”。特別在研究面積大、時間跨度長,位移量大的情況下更是必需的,當然,在這種情況下采用文獻[18]給出的橢球面上的應變張量公式較好,因為此時顧及WGS84橢球面上的曲率,比球面更為精密。

如果在 IFRF框架對地殼形變進行應變分析,則不需顧及地球曲率,因為 x、y、z這 3個直角坐標觀測值本身就內蘊了地球曲率信息,此時可采用空間直角坐標系的應變公式進行應變分析,在顧及了地球曲率情況下,無論是采用直角坐標系,還是球面抑或橢球面坐標系應變公式所得到的應變張量在理論上都是等價的,因為他們之間的數值可以相互轉換。

在取得諸測站的位移觀測資料后,是否就可直接按式(2)進行地應變分析呢?回答是否定的,究其原因是除天體起潮力引起的空間變化率可知外[19-22],在一般情況下,我們無法得知觀測點的位移坐標函數表達式,但在這種情況下,如何解決應變張量計算呢?為此,許多學者進行了探討[23-25],雖然這些探討在某些方面有所不同,但總的來說都是以若干個觀測點作為支撐點來確定某個內插函數,在進行內插時,如果沒有給觀測值提供一種假定的動力學模型數據的話,那么,采用純粹的幾何模型內插方法必須滿足觀測點的分布密度能保證相鄰觀測點之間的線性內插達到足夠的精度以滿足研究的需要,以及所選定的幾何內插函數能確保相鄰觀測點之間存在近似線性內插關系,內插函數可采用樣條逼近技術或擬合推估方法求得。在求取旋轉張量矩陣時,也面臨同樣的困境,但也是采用上述相同的方法予以解決,見文獻[26]。

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23 Altiner Y.Analytical surface deformation theory for detection of the Earth’s crust movement[M].Berlin：Heidelberg,etc.Springer-Verlag,1999,1-70.

24 瓦尼切克主編,黃立人,孫鐵珊,張中伏譯,陳鑫連校.四維大地測量定位 [M].北京：地震出版社,1990.(Vanicek P.Four-dimensional geodetic positioning[M].I AG SSG 4.96,Springer International,1987)

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26 劉序儼,黃聲明,林巖釗.地形變旋轉張量探討[J].大地測量與地球動力學,2010,(5)：57-63.(Liu Xuyan, Huang Shengming and Lin Yanzhao.Research on rotation tensor of crustal defor mation[J].Journal of Geodesy and Geodynamics,2010,(5)：57-63)

ANALYSIS OF INVARIANTS IN STRA IN TENSOR MATRIXES OF CRUSTAL DEFORMATI ON

Liu Xuyan1),Ji Yingfeng1,3),Huang Shengming1)and LiangQuanqiang2)

(1)Earthquake Adm inistration of Fujian Province,Fuzhou 350003 2)Xianm en Research Centre of Earthquake Surveying,X iam en 361021 3)Faculty of Science,Kobe University,Rokkotaim achi1-1,N ada,Kobe6578501,Japan)

On the basis of deducing the universal expressions in an orthogonal curvilinear coordinate system of the displacement gradientmatrix and the strain tensormatrix of displacement vectors,we further derive the universal expression of the conversional matrix between two partial coodinates in random different orthogonal curvilinear coordinate systems,meanwhile,indicats that this conversionalmatrix also belongs to the orthogonalmatrixes so that the strain tensormatrixes are similarmatrixes.W ith this understanding,the after deply analysisof the geometric and physical natures of the strain tensormatrixes,discovers the invariant code mystery of crustal deformation hidden in these matrixes,which is,whatever the orthogonal curvilinear coordinate system is,the strain tensormatrix has a unique and invariant principle strain characteristic polynomial and by its corresponding strain eigenvalue equation we can derive the principle strainswith their directions at any crustal particle,then the matrix can be turned into a diagonalmatrix by putting the principle strains values as its diagonal elements,and the matrix trace equals the body strain,the matrix determinant equals a product of the principe strains.All these geometric and physical quantities are the crustal deformation invariants at the spot.

displacement gradient matrix;strain and rotation tensor matrix;universial expression;geometric and physical invariant;opting for a coordinate system

(1)福建省地震局,福州 350003 2)廈門地震勘察研究中心,廈門 361000 3)日本神戸大學大學院理學研究科,神戸 6578501)

1671-5942(2011)04-0066-05

2011-01-26

中國地震局老專家科研基金

劉序儼,男,研究員,長期從事固體潮與地殼形變研究.E-mail：xuyanliu@126.com

O347

A