帶單重工作休假和休假中斷的GeoX/Geo/1排隊(duì)

賈禮君，劉春平，徐秀麗，劉 雷

(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

帶單重工作休假和休假中斷的GeoX/Geo/1排隊(duì)

賈禮君，劉春平，徐秀麗，劉 雷

(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

分析了帶休假中斷的成批到達(dá)的單重工作休假GeoX/Geo/1排隊(duì)系統(tǒng).針對(duì)具體的系統(tǒng)模型，利用擬生滅過(guò)程和迭代方程，得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)分布，從而得到系統(tǒng)的平均穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)以及隨機(jī)分解結(jié)果.利用負(fù)二項(xiàng)式分布的性質(zhì)，討論了顧客等待時(shí)間的上下界，進(jìn)而求得平均等待時(shí)間的上下界.最后進(jìn)行了數(shù)值分析，考察了系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)平均隊(duì)長(zhǎng)和平均等待時(shí)間的影響.

GeoX/Geo/1排隊(duì)系統(tǒng)； 單重工作休假； 成批到達(dá)； 休假中斷

0 引言

休假期間服務(wù)員將以較慢的速率接待顧客，而不是完全停止對(duì)顧客的服務(wù)，稱為工作休假(working vacation, WV).工作休假策略可以節(jié)約系統(tǒng)的運(yùn)行成本[1-5].本文將休假中斷引入到成批到達(dá)的離散時(shí)間工作休假排隊(duì)中，在休假中斷策略下，當(dāng)系統(tǒng)在工作休假狀態(tài)完成一個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)，若系統(tǒng)中還有顧客等待，原本處于工作休假狀態(tài)的服務(wù)臺(tái)可以轉(zhuǎn)入正常的工作狀態(tài)，這樣就減少了顧客的等待時(shí)間.因此，本文對(duì)帶休假中斷的成批到達(dá)的離散時(shí)間工作休假排隊(duì)進(jìn)行分析，將更有現(xiàn)實(shí)意義和應(yīng)用價(jià)值，豐富了離散時(shí)間工作休假排隊(duì)系統(tǒng)的模型.

1 模型描述

假設(shè)休假開(kāi)始和結(jié)束都發(fā)生在時(shí)隙末端(n-n)上.工作休假結(jié)束時(shí)，若系統(tǒng)中有顧客等待，則開(kāi)始進(jìn)入忙期，若系統(tǒng)中無(wú)顧客等待，則系統(tǒng)進(jìn)入閑期，直到系統(tǒng)中有顧客到達(dá)時(shí)系統(tǒng)進(jìn)入忙期；在工作休假期間，若有顧客到達(dá)，服務(wù)臺(tái)對(duì)顧客進(jìn)行低速率服務(wù)，當(dāng)服務(wù)完成時(shí)(休假未結(jié)束)，若系統(tǒng)中有顧客，則立即結(jié)束休假(即發(fā)生了休假中斷)，開(kāi)始高速率服務(wù)其他顧客，直到系統(tǒng)中無(wú)顧客；若系統(tǒng)中無(wú)顧客，則進(jìn)入閑期，若在休假期內(nèi)有顧客到達(dá)且當(dāng)休假結(jié)束時(shí)正在接受服務(wù)的顧客服務(wù)未完成，則立即轉(zhuǎn)換為高速率重新進(jìn)行服務(wù).

4)假設(shè)到達(dá)間隔T、服務(wù)時(shí)間Sb和Sv、休假時(shí)間V都是相互獨(dú)立的，先到先服務(wù)(FIFO)排隊(duì)規(guī)則為：

設(shè)Qn表示時(shí)隙分點(diǎn)n+時(shí)刻系統(tǒng)中的顧客數(shù)，記Jn=0(時(shí)刻n+系統(tǒng)處于工作休假狀態(tài))，Jn=1(時(shí)刻n+系統(tǒng)處于非工作休假狀態(tài)),{(Qn,Jn),n≥0} 是一個(gè)MC，有狀態(tài)空間Ω={(k,j):k≥0,j=0,1}.

將MC的狀態(tài)按字典序排列，其轉(zhuǎn)移概率矩陣可表示成分塊三對(duì)角形式，

2 穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)及其隨機(jī)分解

假設(shè)以(Q,J)表示過(guò)程(Qn,Jn)的穩(wěn)態(tài)極限，記

由平衡方程可以得到：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

定理1如果ρ=pE(X)/μb<1且μb>μv，則穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)Q可以分解為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的和,Q=L0+Ld，其中L0是無(wú)休假GeoX/Geo/1排隊(duì)穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)，它的PGF是

證明將(2)和(3)的每一個(gè)方程分別乘以一個(gè)適當(dāng)?shù)膠n，相加整理可得

(7)

同樣，將(4)和(5)的每一個(gè)方程分別乘以一個(gè)適當(dāng)?shù)膠n，相加整理可得

Q1(z)=(p(p-θpC(z)+γ(1-C(z)))π0,0-pΨ(z)(Q0(z)-π0,0)+γΦ(z)π0,0)/(pΦ(z)),

(8)

(9)

顯然，當(dāng)μb>μv時(shí)式(9)的分子大于0，這時(shí)分母也大于0，即μ0-pE(X)>0,因此ρ=(pE(X))/μb<1,另外，由(8)還可得到

π0,0=(μb(1-ρ))/δ,

(10)

證畢.

3 等待時(shí)間分析

將W和W(z)分別定義為穩(wěn)態(tài)下顧客的等待時(shí)間及其PGF，由隨機(jī)序理論可以得到等待時(shí)間在矩母函數(shù)序中的上下界，從而可以求得平均等待時(shí)間E(W)的上下界.

定義1設(shè)X和Y為兩個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量，且E(zX)≥E(zY)，z∈(0,1)，則X以矩母函數(shù)序小于Y，記為X≤mgfY.

引理1設(shè)X和Y為兩個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量，如果X≤mgfY，則E(X)≤E(Y)(假設(shè)期望均存在).證明見(jiàn)文獻(xiàn)[6].

定理2如果ρ=pE(X)/μb<1且μb>μv，則穩(wěn)態(tài)等待時(shí)間W在矩母函數(shù)序中存在上下界，即W2≤mgfW≤mgfW1，其中W1，W和W2的PGF分別是W1(z)，W(z)和W2(z)，且

證明為了得到W(z)，我們分析3種可能的情況：

(a)當(dāng)一批顧客在狀態(tài) (k,1)(k≥1)到達(dá)時(shí)，批內(nèi)一個(gè)顧客的等待時(shí)間是這批之外的k個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間與在這批內(nèi)的等待時(shí)間之和，這里所有的顧客都是在忙期接受服務(wù)，利用文[7]的內(nèi)容可以得到：

(11)

(12)

(c)當(dāng)一批顧客在狀態(tài)(0,0)到達(dá)時(shí)，若V>Sv，則當(dāng)批內(nèi)的第一個(gè)顧客以μv被服務(wù)完成時(shí)，批內(nèi)剩余的顧客均以μb接受服務(wù)；若V

(13)

由(11)、(12)、(13)可得：

顯然，W1(1)=1,W2(1)=1，所以假設(shè)W1(z)和W2(z)分別是隨機(jī)變量W1和W2的PGF，由定義1可得W2≤mgfW≤mgfW1，進(jìn)而由引理1可以得到平均等待時(shí)間E(W)的上下界，即E(W2)≤E(W)≤E(W1).

(14)

備注1如果顧客在工作休假期停止工作，即μv=0，模型將退化為GeoX/Geo/1經(jīng)典休假排隊(duì)；進(jìn)一步如果θ→∞,模型將退化為GeoX/Geo/1無(wú)休假排隊(duì)，見(jiàn)文獻(xiàn)[7].

備注2如果一批到達(dá)的顧客數(shù)始終為1，即c1=P{X=1}=1,且沒(méi)有休假中斷，則模型將退化為單重工作休假Geo/Geo/1排隊(duì)，見(jiàn)文獻(xiàn)[8].

4 數(shù)值例子

假設(shè)系統(tǒng)中的參數(shù)p=0.3,μb=0.8,θ=0.1，圖1是參數(shù)變化對(duì)E(Q)的影響，圖2是參數(shù)變化對(duì)E(W)的影響.可以看到：1)當(dāng)其他參數(shù)不變時(shí)，系統(tǒng)的平均隊(duì)長(zhǎng)隨著服務(wù)率μv的增加而減小，隨著α的增加而減小；2)隨著服務(wù)率μv的增加，E(W)的上界E(W1)和下界E(W2)的曲線越來(lái)越接近，這說(shuō)明我們的研究結(jié)果符合實(shí)際情況.

圖1 μv對(duì)E(Q)的影響Fig.1 Effection of μv on E(Q)

圖2 μv對(duì)E(W)的影響Fig.2 Effection of μv on E(W)

[1] Servi L D，F(xiàn)inn S G.M/M/1queue with working vacations (M/M/1/WV)[J].Performance Evaluation，2002，50(1)：41-52．

[2] Wu D A，Takagi H．M/G/1 queue with multiple working vacations[J]．Performance Evaluation，2006，63(7)：654-681．

[3] Bata Y．Analysis of aGI/M/1 queue with multiple working vacations[J].Operations Research Letters，2005，33(2)：201-209．

[4] Banik A，Gupta U，Pathak S．On theGI/M/1/Nqueue with multiple working vacations-analytic analysis and computation[J].Applied Mathematics and Computation，2007，31(9)：1701-1710．

[5] 田乃碩．休假排隊(duì)綜述[J]．運(yùn)籌學(xué)雜志，1994(13):5-11．

[6] Moshe S，George S J．Stochastic Orders and Their Applications [M]．NewYork:Academic Press，2005:126-128．

[7] 孫榮恒，李建平．排隊(duì)論基礎(chǔ)[M]．北京:科學(xué)出版社，2002：226-227．

[8] Li Jihong,Tian Nianshuo．Analysis of the discrete time Geo/Geo/1 queue with single working vacation[J]．Quality Technology& Quantitative Management，2008，5(1)：77-89．

AnalysisofGeoX/Geo/1QueuewithSingleWorkingVacationsandVacationInterruptions

JIA Li-jun，LIU Chun-ping，XU Xiu-li，LIU Lei

(CollegeofScience，YanshanUniversity，Qinhuangdao066004，China)

A bulk input GeoX/Geo/1 queue with single working vacations and vacation interruptions was analyzed.Firstly, using quasi birth and death chain and iteration method, distributions of stationary queue length were obtained, and the stochastic decomposition result for the PGF of the stationary queue size was given.Furthermore, the upper bound and the lower bound of the sojourn time of a customer was discussed with the property of negative binomial, and the PGF was given.Finally, some numerical analyses were carried out, and the parameters’ effect on the queue length and waiting time was investigated.

GeoX/Geo/1 queue； single working vacation； bulk input； vacation interruption

O 226

A

1671-6841(2011)03-0001-05

2010-05-06

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目,編號(hào)10671106;河北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目,編號(hào)F2008000864;燕山大學(xué)博士基金資助項(xiàng)目,編號(hào)B228.

賈禮君(1982-),男,碩士研究生,主要從事休假排隊(duì)理論分析及應(yīng)用研究,E-mail:liuchunping1982@163.com.