相對序列空間的一個注記

王漢鋒，李進金

(1.山東農業大學 數學系 山東 泰安 271018; 2.漳州師范學院 數學系 福建 漳州 363000)

相對序列空間的一個注記

王漢鋒1，李進金2

(1.山東農業大學 數學系 山東 泰安 271018; 2.漳州師范學院 數學系 福建 漳州 363000)

回答了關于相對序列空間的一個公開問題,討論了幾種相對序列空間的部分關系及相對序列空間與Pytkeev空間、相對序列空間與相對可數緊度空間之間的聯系.

α-序列空間;β-序列空間; 可數緊度; Pytkeev空間

0 引言

當討論子空間Y在X中的性質時,Y就是一個相對空間.近年來人們引進了各種各樣的相對空間,相對序列空間是其中一類重要的相對空間,它們都屬于弱第一可數空間[1].文[2-3]中對幾種不同的相對序列空間進行了討論,并得到了一些重要的結論.本文在此基礎上進一步討論了幾類相對序列空間的區別與聯系.

1 定義

定義2設拓撲空間Y?X,若X的子集A集中在Y上且A∩Y?τc(Y),則在A中存在一個序列收斂于XA中的一點,這時稱Y在X中是α-序列空間.

定義3設拓撲空間Y?X,若A?Y,A?τc(X)(A?τc(Y)),則在A中存在一個序列收斂于XA中的一點,這時稱Y在X中是序列空間(弱序列空間).

定義4設拓撲空間Y?X,若X的子集A集中在Y上且A?τc(X),則在A中存在一個序列收斂于XA中的一點,這時稱Y在X中是β-序列空間.

定義8[7]設X是拓撲空間,Y?X,對于序數α,規定[A]α如下：若α=0,[A]0=A；若α=β+1,[A]α={x∈X:在[A]β中存在序列收斂于x}；若α是極限序數,[A]α=∪{[A]β:β<α}.若α=inf{β:x∈[A]β},記α=so(x,A),顯然so(x,A)是后繼序數.

2 主要結果

在文[2]中，Arhangel’skii提出了這樣一個問題：是否存在空間Y?X,Y在X中是α-序列空間及序列空間,但Y在X中不是β-序列空間.下面的例1給出了一個肯定的回答.

例1設X=ω1+1,Y={α∈ω1:α不是極限序數},X具有序拓撲.下面證明子空間Y滿足條件.

(1)因為Y是離散空間,對于集中在Y上的集合A,A∩Y∈τc(Y),所以Y在X中是α-序列空間.

(2)設A?Y,A?τc(X),則A無限.取αi∈A,i∈N,且當i

(3)設A=ω1,則A集中在Y上且A?τc(X),但不存在A中的序列收斂于XA中的點,所以Y在X中不是β-序列空間.

我們注意到在例1中，Y在X中不具有可數緊度.但對于β-序列空間結果就不一樣了.

定理1若Y在X中是β-序列空間,則Y在X中具有可數緊度.

定理2設空間Y?X,若Y在X中每一個包含Y的空間Z中是序列空間,則Y在X中是α-序列空間.

證明設集合A?X,A集中在Y上且A∩Y?τc(X).記Z=X(AY),則Y在Z中是序列空間,所以存在A∩Y中的序列{xi:i∈N}收斂于z∈Z(A∩Y)=XA.故Y在X中是α-序列空間.

下面的例2說明了定理2的逆命題不一定成立.

例2設X={(m,n):m,n∈N}∪{(m,0):m∈N}∪{(0,0)}是Arens空間,即點(m,0)的鄰域基為{(m,n)|n>k,k∈N}；

點(0,0)的鄰域基為{(0,0)}∪{(n,0),(n,m)|n>k,m>φ(n),k∈N,φ∈NN}；其他點為X的孤立點.

則Y={(m,n):m,n∈N},Z=Y∪{(0,0)}都是X的子空間.因為X是序列空間,所以Y在X中是α-序列空間,但Y在Z中不是序列空間.

定理3設Y是X的閉子集，若Y在X中是弱序列空間，則Y在X中是α-序列空間.

證明設A?X,A集中在Y上且A∩Y?τc(Y),由于Y在X中是弱序列空間，所以有序列{xi:i∈N}?A∩Y收斂于點x∈X(A∩Y).又因為Y是X的閉子集，所以x∈Y故x∈XA,因此Y在X中是α-序列空間.

注：由于任意序列空間X的子空間Y在X中是α-序列空間，所以定理3中Y是X的閉子集這個條件不能去掉.

定理4若X是序列空間，X?Y,則X在Y中是α-序列空間，但X在Y中不一定是序列空間.

證明設集中A?Y,A集中在X上且A∩X?τc(X).因為X是序列空間，所以有序列{xi:i∈N}?A∩X收斂于點x∈X(A∩X)=XA?YA.則X在Y中是α-序列空間.令X=ω,Y=ω+1,其中ω,ω+1均具有序拓撲，則X是序列空間，但X在Y中不是序列空間.

定理5若Y在X中是α-序列空間,則Y是Pytkeev空間.

假設x?[A]ω1.因為[A]ω1集中在Y上且[A]ω1∩Y?τc(Y),所以存在序列{xi:i∈N}?[A]ω1.收斂于y∈X[A]ω1.設αi=so(xi,A),i∈N,β=sup{αi:i∈N},則y∈[A]β+1?[A]ω1,矛盾,故x∈[A]ω1.下面用超限歸納法證明Y是Pytkeev空間.

若x∈[A]1,有序列{xi:i∈N}?A收斂于x,記Bi={xj:j≥i},則Bi是無限集且{Bi:i∈N}是x在A上的可數π-網.

假設當β<α時,對于x∈[A]β,x在A上具有由無限集構成的可數π-網已證明,下面證明當α=so(x,A)時結論也成立.

由于so(x,A)是后繼序數,可設α=γ+1,則存在序列{yi:i∈N}?[A]γ收斂于x.由假設知對每個i,yi在A上有由無限子集構成的可數π-網{Bin:n∈N},則{Bin:i,n∈N}是x在A上的由無限子集構成的可數π-網,所以Y是Pytkeev空間.

推論若Y在X中是β-序列空間,則Y是Pytkeev空間.

在定理5中若Y在X中是序列空間,則結論不一定成立.

例3設X=ω1+1,Y={α∈ω1:α不是極限序數}∪{ω1},則Y在X中是序列空間且Y不具有可數緊度；而Pytkeev空間具有可數緊度,所以Y不是Pytkeev空間.

[1] 林壽.廣義度量空間與映射[M].北京：科學出版社，1995：84-85.

[2] Arhangel’skii A V，Nogura T.Relative sequentiality[J].Topology and its Applications，1998, 82(1/2/3):49-58.

[3] Arhangel’skii A V.Relative topological properties and relative topological spaces[J].Topology and its Applications，1996, 70(2/3):87-99.

[4] Malykhin V I.Weakly Frechet-Urysohn and Pytkeev spaces[J].Topology and its Applications, 2000,104(1/2/3):181-190.

[5] Pytkeev E G.On maximally resolvable spaces[J].Proc Steklov Inst Math，1984, 4(3):225-230.

[6] 兒玉之宏，永見啟應.拓撲空間論[M].方嘉琳，譯.北京：科學出版社，2001：294-295.

[7] Tsugunori N,Alexander S.Sequential order of product spaces[J].Topology and its Applications，1995，65(3)：271-285.

ANoteonRelativeSpaces

WANG Han-feng1, LI Jin-jin2

(1.DepartmentofMathematics,ShandongAgricultureUniversity,Taian271018,China; 2.DepartmentofMathematics,ZhangzhouNormalCollege,Zhangzhou363000,China)

An open problem on relative spaces was answered.Some relations among several relative spaces were discussed.At the same time, the relations between relative spaces and the Pytkeev spaces were studied.And the relations between relative spaces and the relative countable tightness spaces were also studied.

α-sequential;β-sequential; countable tightness; Pytkeev spaces

O 189.1

A

1671-6841(2011)03-0019-03

2010-06-18

國家自然科學基金資助項目，編號10971186.

王漢鋒(1976-), 男, 講師, 主要從事一般拓撲學研究，E-mail:whfeng@sdau.edu.cn.