高階非線性Schr?dinger方程的精確解

劉法貴， 馮國鑫

(1.華北水利水電學(xué)院 數(shù)學(xué)系 河南 鄭州 450045； 2.復(fù)旦大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 上海 200433)

高階非線性Schr?dinger方程的精確解

劉法貴1， 馮國鑫2

(1.華北水利水電學(xué)院 數(shù)學(xué)系 河南 鄭州 450045； 2.復(fù)旦大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 上海 200433)

考慮高階非線性Schr?dinger方程，并利用經(jīng)典的試探函數(shù)法、直接積分法和半逆方法得到了一些新的精確解，其中包含了周期解和孤立子解.

Schr?dinger方程;精確解;試探函數(shù);半逆法

0 引言

非線性發(fā)展方程行波解是數(shù)學(xué)物理研究中的一個(gè)基本課題，尋求其精確解一直受到數(shù)學(xué)物理工作者和工程技術(shù)人員的關(guān)注.迄今為止，圍繞該問題已提出了許多行之有效的方法，如反散射法[1]、Backlund法[2]、Darboux變換法[3]、Painlevé展開法[4]、Hirota法[5]等.

非線性Schr?dinger方程是一類非常重要的非線性偏微分方程，它在低溫物理、粒子物理、光學(xué)、化學(xué)、生物、通訊等領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用[6-7].作者考慮如下一類高階非線性Schr?dinger方程：

(1)

其中,α,β,γ,δ,μ為實(shí)常數(shù),并利用經(jīng)典的試探函數(shù)法、直接積分法和半逆方法[8]研究方程(1)的精確解.

1 一些準(zhǔn)備

設(shè)

u(x,t)=F(x,t)ei(kx+wt).

(2)

將(2)式代入(1)式，即得關(guān)于F的方程如下：

Ftt-Fxx+γFtx+mF+βF3+μF5=0 (m=k2-w2-γkw+αw+αk+δ2),

(3)

(2w+γk-α)Ft+(-2k+γw-α)Fx=0.

(4)

假設(shè)

2w+γk-α≠0,

(5)

則由(4)式，容易得到

(6)

利用(3)式和(6)式，得

φ″(ξ)+a1φ(ξ)+a2φ3(ξ)+a3φ5(ξ)=0,

(7)

注1假設(shè)條件(5)不是必要的，如果2w+γk-α=0,-2k+γw-α≠0,則(6)式中只需取ξ=(2k-γw+α)t即可；如果2w+γk-α=0,-2k+γw-α=0,則直接在(3)式中令F(x,t)=φ(ξ)(ξ=x-Dt),同樣得到(7)式.

注2如果存在常數(shù)p，使得p4a3+p2a2+a1=0,則方程(1)具有精確解u(x,t)=pei(kx+wt).

注3由上述分析，為得到非線性方程(1)的精確解，只需得到常微分方程(7)的精確解即可.

2 直接積分法

在(7)式中乘以φ′(ξ)，并積分得

(8)

其中，h0是積分常數(shù).

假設(shè)

(9)

(10)

其中,ξ0是任意實(shí)常數(shù)(下同).

假設(shè)

(11)

則得

(12)

由此得方程(7)具有如下周期精確解：

(13)

假設(shè)

(14)

類似可得

(15)

假設(shè)

(16)

可得

(17)

定理1在假設(shè)(5)之下，如果條件(9),(11),(14)和(16)分別成立，則方程(7)具有對應(yīng)的精確解(10),(13),(15)和(17).

3 試探函數(shù)法

2y(ξ)y″(ξ)-y′2(ξ)+4a1y2(ξ)+4a2y3(ξ)+4a3y4(ξ)=0.

(18)

假設(shè)方程(18)具有如下形式的解：

(19)

其中,A,B,b為待定常數(shù).將(19)式代入(18)式，根據(jù)線性無關(guān)性，得

b2+4a1=0,2a2A+4a1(2+B)-b2(2+B)=0,-5b2+2a2[2+(2+B)2]+2a2A(2+B)+2a3A2=0.

(20)

解(20)式,可得

(21)

這樣，由(19)式和(21)式，得

(22)

.

(23)

假設(shè)(23)式具有如下形式的精確解:

(24)

(25)

(26)

那么

(27)

定理3在假設(shè)(5)之下，方程(7)分別具有(22),(25)～(27)形式的精確解.

4 半逆方法

考慮h0=0，由(8)式，構(gòu)造變分

(28)

假設(shè)φ(ξ)=psech2(qξ)(其中,p,q>0為常數(shù))，并代入(28)式，得

(29)

令Jp=0,Jq=0，即得

(30)

定理4如果h0=0，則方程(7)具有φ(ξ)psech(qξ)形式的精確解，其中,p,q由(30)式確定.

注4令φ(ξ)=psech2(qξ)，同樣可以計(jì)算出方程(7)的精確解，此處略去.

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[2] 谷超豪.孤子理論及應(yīng)用[M].杭州:浙江科學(xué)出版社,1990:1-9.

[3] 谷超豪.孤子中Darboux變換[M].上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1999:1-12.

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[9] Kong Dexing. Explicit exact solutions for the Lienard equation and its applications[J]. Phys Lett A,1995,196(5/6):301-306.

ExactSolutionstoHigh-orderNonlinearSchr?dingerEquation

LIU Fa-gui1, FENG Guo-xin2

(1.DepartmentofMathematics,NorthChinaUniversityofWaterResourcesandElectricPower,Zhengzhou450045,China;2.ShoolofMathematicalSciences,FudanUniversity,Shanghai200433,China)

A high-order nonlinear Schr?dinger equation was discussed,and some new exact solutions were constructed by using the trial function method,integral method and the semi-inverse method.The results showed that the high-order nonlinear Schr?dinger equation admitted period solutions and soliton solutions.

Schr?dinger equation;exact solution;trial function;semi-inverse method

O 175.27

A

1671-6841(2011)04-0001-04

2011-01-10

國家自然科學(xué)青年基金資助項(xiàng)目，編號11101144;河南省基礎(chǔ)與前沿研究項(xiàng)目，編號082300410230；河南省教育廳自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目，編號2008A110011.

劉法貴(1965-)，男，教授，博士，主要從事偏微分方程研究，E-mail:liufagui@ncwu.edu.cn.