生滅過程的Ito復合定理

侯賢敏， 李巧利

(1.河南農業大學 信息與管理科學學院 河南 鄭州 450002； 2.河南工業大學 理學院 河南 鄭州 450001)

生滅過程的Ito復合定理

侯賢敏1， 李巧利2

(1.河南農業大學 信息與管理科學學院 河南 鄭州 450002； 2.河南工業大學 理學院 河南 鄭州 450001)

利用Ito復合定理，證明必存在一個生滅過程，使得該過程相對于∞狀態的游程系,恰好是給定的滿足規范性條件的游程系，并給出了該生滅過程及其預解式的具體形式．

生滅過程； 游程； 預解式

0 引言

生滅過程是一類非常重要的Markov鏈，關于此類過程已有較多文獻[1-6]．一般來說，生滅過程不是唯一的，即僅靠生滅矩陣不能唯一決定生滅過程．對于不唯一的情形，文獻[1]利用極限過渡法構造了全部生滅過程，文獻[2]利用分析法構造了全部生滅過程．作者將利用游程理論中的Ito復合定理直接給出生滅過程的構造，并將其預解式具體表達出來．

1 存在性證明

其中，ai>0，bi>0(i=1,2,…)．記EΔ=E∪{∞}，U={w|w:(0,∞)→EΔ∈E，且存在s>0，使w(s)∈E；若w(u)=∞，則對任意的v>u，w(v)=∞},U上的坐標過程記作{ε(t)}t>0，{ε(t)}t>0產生的σ代數σ{ε(t)，t>0}記作U0,σ{ε(t),s≤t}記作Ut．

(1)

定理4設{βt,t≥0}定義如上，則{βt,t≥0}幾乎必然有限，且是幾乎必然嚴格增的右連續函數．

引理2 設f(t)是[0,∞)上嚴格增的右連續實值函數，且f(0)=0，若函數g(t)=inf{s|s>0,f(s)>t}，則

2)f(t)是g(t)的右逆，且對任意t>0，g(f(t))=t，f(g(t))=sup{s|g(s)=g(t)}；

3) 由g(t)產生的[0,∞)上的stieltjes測度dg(·)的支撐記作Z，開集(0,∞)中的每個小區間按先后順序一一對應于f(t)的不連續點，(0,∞)中的小區間稱為g(t)的平直區間；

定理5 設ω∈Ω，則

2) 令Z(ω)表示Lt(ω)的stieltjes測度的支撐，則(0,∞)(ω)中的小區間按先后順序一一對應于DY(ω)中的點(即βt(ω)的不連續點)；

3) 對任意t>0，Lβt(ω)=t．

下面用{Yt,t∈DY}以及{βt,t≥0}來構造一個Markov鏈．

定理6設λ>0，i，j∈E，則

證明

從而命題結論成立．

3)由于

定理7設{rij(λ);i,j∈E}定義如上，則{rij(λ);i,j∈E}是一個預解式．

證明只需證明對任意i，j∈E,任意λ>0,μ>0，{rij(λ);i,j∈E}滿足如下預解式方程：

(2)

結合定理6，代入(2)式左端驗證即知結論成立．

2 結語

[1] 王梓坤，楊向群．生滅過程與馬爾可夫鏈[M]．北京：科學出版社，2004：174-367．

[2] 楊向群．可列馬爾可夫過程構造論[M]．長沙：湖南科技出版社,1981：67-131．

[3] 侯振挺，郭青峰．齊次可列馬爾可夫過程[M]．北京：科學出版社,1978：178-248．

[4] 侯振挺．馬爾科夫過程的Q-矩陣問題[M].長沙：湖南科技出版社,1994：141-364．

[5] 唐令琪.單瞬時態生滅過程的構造[J] ．數學年刊：A輯,1987，8(5)：565-570．

[6] 張正軍，吳慧中，張漢君，等．單瞬時態單邊生滅Q過程的常返性和遍歷性[J]．南京理工大學學報：自然科學版，2002，26(2)：183-185.

ItoSynthesisTheoryofBirthandDeathProcess

HOU Xian-min1， LI Qiao-li2

(1.CollegeofInformationandManagementScience,HenanAgriculturalUniversity，Zhengzhou450002,China；2.CollegeofScience,HenanUniversityofTechnology,Zhengzhou450001,China)

By using Ito synthesis theory,a birth and death process was proved to be existed，and the excursion family of it at fictitious state ∞ was the given one satisfying regular condition．Besides，the functional forms of the birth and death process and its resolvent were expressed．

birth and death process； excursion； resolvent

O 211.62

A

1671-6841(2011)04-0010-04

2011-05-08

河南工業大學校基金資助項目，編號10XZR011.

侯賢敏(1981-)，女，講師，碩士，主要從事概率論與數理統計研究，E-mail：houxianmin83@126.com．