線性緩沖算子群

劉衛鋒， 何 霞， 張又林， 許宏偉

(鄭州航空工業管理學院 數理系 河南 鄭州 450015)

線性緩沖算子群

劉衛鋒， 何 霞， 張又林， 許宏偉

(鄭州航空工業管理學院 數理系 河南 鄭州 450015)

利用緩沖算子的結構與性質，定義了線性緩沖算子、線性弱化緩沖算子和線性強化緩沖算子.研究了線性緩沖算子的復合運算及運算的性質，以及可逆線性緩沖算子及其性質，證明了可逆線性緩沖算子集合為線性緩沖算子群，為使用線性緩沖算子處理數據提供了數學理論依據.

灰色系統； 緩沖算子； 線性緩沖算子； 群

0 引言

針對灰色預測建模中存在較大波動數據問題， 文獻[1]首次提出了緩沖算子的概念和公理系統，并對緩沖算子的特性做了初步的研究， 開啟了利用緩沖算子研究波動數據的大門.文獻[2-4]定義了一些弱化緩沖算子， 文獻[5-6]對弱化緩沖算子的性質進行了研究，文獻[7-10]定義了一些強化緩沖算子及其性質，文獻[11]構造了幾類更為一般的緩沖算子， 使許多緩沖算子成為其特例.這些研究不同程度地提高了灰色預測模型的預測和模擬精度，從而拓寬了灰色預測模型的應用范圍. 但是，它們都側重于緩沖算子的構造及應用，既缺少對緩沖算子本身的數學結構的研究，又缺少應用緩沖算子的相關數學理論基礎.

根據緩沖算子的結構和性質，從數學的角度提出了線性緩沖算子，研究了緩沖算子的復合運算及其性質，并在此基礎上，得到了關于可逆線性緩沖算子的一個代數系統——線性緩沖算子群.該研究不僅揭示了緩沖算子的結構及性質，區分了緩沖算子的類型，而且對線性緩沖算子的復合運算有了更深的理解和認識，從而為進一步理解、掌握和應用緩沖算子提供了數學理論基礎.

1 線性緩沖算子

定義1設Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))(i=1,2)是任意兩個非負序列，D是一個緩沖算子，λ是任意非負實數.稱D是一個線性緩沖算子，若D滿足條件

(X1+X2)D=X1D+X2D且(λX1)D=λ(X1D).

定義2設Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))(i=1,2)是任意兩個非負序列，D是一個緩沖算子，λ1,λ2是任意非負實數.稱D是一個線性緩沖算子，若D滿足條件

(λ1X1+λ2X2)D=λ1(X1D)+λ2(X2D).

容易證明，定義 1 和定義 2 是等價的.

定義3設Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))(i=1,2)是任意兩個非負序列，D是一個線性緩沖算子. 稱D是一個線性弱化緩沖算子，若緩沖序列XD比原始行為數據序列X的增長速度(或衰減速度)減緩或振幅減少.

定義4設Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))(i=1,2)是任意兩個非負序列，D是一個線性緩沖算子.稱D是一個線性強化緩沖算子，若緩沖序列XD比原始行為數據序列X的增長速度(或衰減速度)增強或振幅增大.

證明設Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))(i=1,2)是任意兩個非負序列.文獻[3]中已經證明了D1是弱化緩沖算子，故只需證明D1是一個線性緩沖算子.

由定義 1 可知，D1是一個線性緩沖算子.故D1是一個線性弱化緩沖算子.

例2設X=(x(1),x(2),…,x(n))是系統行為數據序列，XD2=(x(1)d2,x(2)d2,…,x(n)d2)，其中，

證明例1中的ω=(1,1,…,1)時，線性弱化緩沖算子D2就是D1的特殊情況，故D2是線性弱化緩沖算子.

證明文獻[1]中已經證明D3是強化緩沖算子，只需再證其是線性緩沖算子即可.

設Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))(i=1,2)是任意兩個非負序列. 則

[x1(n)+x2(n)]d3=x1(n)+x2(n)=x1(n)d3+x2(n)d3.

[λx1(n)]d3=λx1(n)=λ[x1(n)d3].

故D3是線性強化緩沖算子.

例4設X=(x(1),x(2),…,x(n))是系統行為數據序列，XE=(x(1)e,x(2)e,…,x(n)e)=(x(1),x(2),…,x(n)).

顯然，緩沖算子E沒有使數據序列發生變化，故稱之為恒等緩沖算子.

2 線性緩沖算子復合運算

2.1復合運算

定義5設X=(x(1),x(2),…,x(n))是任意非負序列，D1,D2是兩個線性緩沖算子，定義D=D1D2,XD=X(D1D2)=(XD1)D2,則稱D=D1D2是線性緩沖逆算子D1,D2的復合運算.

定理1線性緩沖算子的復合是線性緩沖算子.

證明設D1,D2是任意兩個線性緩沖算子，Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))(i=1,2)是任意兩個非負序列，則有(X1+X2)Di=X1Di+X2Di,(λX1)Di=λ(X1Di),i=1,2.

從而有

(X1+X2)(D1D2)=((X1+X2)D1)D2=(X1D1+X2D1)D2
=(X1D1)D2+(X2D1)D2=X1(D1D2)+X2(D1D2),

(λX1)(D1D2)=((λX1)D1)D2=(λ(X1D1))D2=λ((X1D1)D2)=λ(X1(D1D2)).

于是定理得證.

定理2①線性強化緩沖算子的復合仍為線性強化緩沖算子；

②線性弱化緩沖算子的復合仍為線性弱化緩沖算子；

③線性強化緩沖算子與線性弱化緩沖算子的復合可能為線性弱化緩沖算子，可能為線性強化緩沖算子，也可能兩者皆不是.

證明①設X=(x(1),x(2),…,x(n))是系統行為數據序列，D1,D2均為線性強化緩沖算子.

(a)當X為單調增長序列時，有x(k)≥x(k)d1,x(k)≥x(k)d2,k=1,2,…,n,于是，(x(k)d1)d2≤x(k)d1≤x(k),k=1,2,…,n.

(b)當X為單調衰減序列時，有x(k)≤x(k)d1,x(k)≤x(k)d2,k=1,2,…,n,于是，(x(k)d1)d2≥x(k)d1≥x(k),k=1,2,…,n.

綜合以上證明可知，D1D2為線性強化緩沖算子.

②證明類似于①，略.

同樣，容易舉出線性強化緩沖算子與線性弱化緩沖算子復合為線性強化緩沖算子的例子，這里略去.

2.2復合運算的性質

性質1復合運算不滿足交換律.

性質2復合運算滿足結合律.

性質3復合運算存在幺元.

證明性質1(反證法) 假設復合運算滿足交換律，即令D6，D7是任意兩個線性緩沖算子，X=(x(1),x(2),…,x(n))是任意非負序列，則有X(D6D7)=X(D7D6)成立.

性質2令D1,D2,D3是任意三個線性緩沖算子，X=(x(1),x(2),…,x(n))是任意非負序列，則有X((D1D2)D3)=(X(D1D2)D3)=(((XD1)D2)D3),X(D1(D2D3))=((XD1)(D2D3))=(((XD1)D2)D3)，即有(D1D2)D3=D1(D2D3),故結合律成立.

性質3恒等緩沖算子E就是幺元，因為X(ED)=((XE)D)=XD,X(DE)=((XD)E)=XD，即ED=DE=D，其中D是任意線性緩沖算子.

3 線性緩沖算子群

3.1可逆線性緩沖算子

定理3設D1是可逆線性緩沖算子，D2是D1的左逆緩沖算子，則D2也是D1的右逆緩沖算子，并且D2是唯一的.

證明設D1是可逆線性緩沖算子，并且D2是D1的左逆緩沖算子，D3是D2的左逆緩沖算子.

由(D2D1)D2=ED2=D2可得E=D3D2=D3((D2D1)D2)=(D3(D2D1))D2=((D3D2)D1)D2=(ED1)D2=D1D2，即D2也是D1的右逆緩沖算子.

不妨設D2,D3是D1的逆緩沖算子，則D2=D2E=D2(D1D3)=(D2D1)D3=ED3=D3,即D1的逆緩沖算子是唯一的.

定理4設D是可逆線性緩沖算子，則D的逆緩沖算子D-1是一個線性緩沖算子.

證明已知D是可逆線性緩沖算子，Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))(i=1,2)是任意兩個非負序列，則有

(X1+X2)D=X1D+X2D,(λX1)D=λ(X1D).

于是，

(X1D-1+X2D-1)D=(X1D-1)D+(X2D-1)D=X1+X2,

(λ(X1D-1))D=λ((X1D-1)D)=λ(X1D-1D)=λX1.

對上面兩式兩端同時作用D-1，則可得X1D-1+X2D-1=(X1+X2)D-1,λ(X1D-1)=(λX1)D-1.

由定義 1 可知，定理得證.

定理5設D是可逆線性緩沖算子，其逆算子為D-1,

①若D為線性強化緩沖算子，則D-1為線性弱化緩沖算子；

②若D為線性弱化緩沖算子，則D-1為線性強化緩沖算子.

證明①設X=(x(1),x(2),…,x(n))是系統行為數據序列.

(a)當X為單調增長序列時，有x(k)≥x(k)d，k=1,2,…,n，于是，x(k)=(x(k)d-1)d≤x(k)d-1,k=1,2,…,n.

(b)當X為單調衰減序列時，證明類似(a)，略.

綜合以上證明可知，D-1為線性弱化緩沖算子.

②證明類似于①，略.

3.2線性緩沖算子群

將線性緩沖算子復合運算記為·，-D={D1，D2，…}表示具有逆算子的線性緩沖算子集合，則可得到如下結論：

定理6〈-D,·〉構成一個廣群.

證明由定理 1 可知，線性緩沖算子的復合運算是封閉的，因此定理得證.

定理7〈-D,·〉構成一個半群.

證明由定理6和線性緩沖算子的復合運算性質2，定理得證.

定理8〈-D，·〉構成一個幺半群.

證明由定理7和線性緩沖算子的復合運算性質3，定理得證.

定理9〈-D,·〉構成一個群.

證明由定理3和定理8，定理得證.

4 結論

根據緩沖算子的結構和性質，定義了線性緩沖算子，并將其區分為線性弱化緩沖算子和線性強化緩沖算子.然后,對線性緩沖算子的復合運算及運算性質做了研究.最后，通過研究線性緩沖算子的逆算子，結合線性緩沖算子復合運算的研究，得到了線性緩沖算子的一個代數系統——線性緩沖算子群.該研究不僅使我們進一步掌握了緩沖算子的性質和結構，而且對于進一步研究和應用緩沖算子提供了數學理論基礎，此外這對于研究非線性緩沖算子也具有一定的啟發意義.

[1] 劉思峰.沖擊擾動系統預測陷阱與緩沖算子[J].華中理工大學學報,1997,25(1):25-27.

[2] 謝乃明，劉思峰.一種新的實用弱化緩沖算子[J].中國管理科學,2003，11(增刊)：46-48.

[3] 黨耀國，劉思峰，劉斌,等.關于弱化緩沖算子的研究[J].中國管理科學,2004，12(2)：108-111.

[4] 崔杰,黨耀國.一類新的弱化緩沖算子的構造及其應用[J].控制與決策,2008,23(7):741-744.

[5] 關葉青，劉思峰.關于弱化緩沖算子序列的研究[J].中國管理科學,2007，15(4)：89-92.

[6] 吳正朋，劉思峰，米傳民，等.弱化緩沖算子性質研究[J].控制與決策,2010,25(6):958-960.

[7] 黨耀國,劉斌,關葉青.關于強化緩沖算子的研究[J].控制與決策,2005,20(12):1332-1336.

[8] 謝乃明，劉思峰.強化緩沖算子的性質與若干實用強化算子的構造[J].統計與決策,2006,7(4):9-10.

[9] 黨耀國,劉思峰,米傳民.強化緩沖算子性質的研究[J].控制與決策,2007,22(7):730-734.

[10] 關葉青，劉思峰.強化緩沖算子序列與m階算子作用研究[J].云南師范大學學報：自然科學版,2007，27(1)：32-35.

[11] 魏勇，孔新海.幾類強弱緩沖算子的構造方法及其內在聯系[J].控制與決策,2010,25(2):196-202.

LinearBufferOperatorGroup

LIU Wei-feng, HE Xia, ZHANG You-lin, XU Hong-wei

(DepartmentofMathematicsandPhysics,ZhengzhouInstituteofAeronauticalIndustryManagement,Zhengzhou450015,China)

According to structure and nature of buffer operator,mathematical definition of linear buffer operator,linear weakening buffer operator and linear strengthening buffer operator were put forward. Composition of linear buffer operator and its nature were studied. And based on research of inverse linear buffer operator and its nature,inverse linear buffer operator was linear buffer operator group.Linear butter operator was used for a mathematical theoretical foundation of handling data.

grey system;buffer operator;linear buffer operator;group

O 159； N 94

A

1671-6841(2011)04-0014-05

2011-01-04

航空科學基金資助項目，編號2008ZG55008；鄭州航空工業管理學院青年科研基金資助項目，編號2011113001，2011113003.

劉衛鋒(1976-)，男，講師，碩士，主要從事數學建模和灰色系統理論研究，E-mail:lwf0519@zzia.edu.cn.