基于Matlab的單螺桿泵線型打扣分析

韓道權，韓 超，丁寶林，葉衛東

（1.東北石油大學機械科學與工程學院，黑龍江大慶163318；2.大慶油田裝備制造集團，黑龍江大慶163255） ①

基于Matlab的單螺桿泵線型打扣分析

韓道權1，韓 超1，丁寶林2，葉衛東1

（1.東北石油大學機械科學與工程學院，黑龍江大慶163318；2.大慶油田裝備制造集團，黑龍江大慶163255）①

根據單螺桿泵定子骨線及其等距曲線的形成原理，利用Matlab軟件對單螺桿泵定子骨線打扣現象進行了深入剖析，并利用數值法繪出了單螺桿泵定子頭數、變幅系數和不打扣條件下的最大等距半徑之間的關系圖形。結果表明：當定子頭數確定時，變幅系數與不打扣最大等距半徑的關系曲線為遞減規律；當變幅系數確定時，定子頭數越小，允許的不打扣半徑越大。

螺桿泵；曲線；干涉；數學分析

1 單螺桿泵定子骨線方程

定子骨線的研究主要是在復平柱面坐標系下，它與常規的空間直角坐標系O－x－y－z的不同之處在于以復平面1－O－j取代實平面x－O－y，并取向下方向為z軸正方向。復平柱面坐標系中，O－1稱為實軸，單位是1；O－j稱為虛軸，單位是，如圖1所示。單螺桿泵定子骨線是將半徑為r的滾圓沿半徑為R的導圓做相對純滾動時，滾圓平面上任意點A在導圓平面上形成的軌跡。3頭定子骨線如圖2所示，圓O1為導圓，圓O2為滾圓。定子骨線在復平柱面坐標系下的方程［1－2］為

式中，n為轉子的頭數；K為變幅系數，即發生點A到滾圓圓心O2的距離與r的比值。

圖1 復平柱面坐標系

圖2 3頭定子骨線

2 定子輪廓線打扣現象分析

單螺桿泵定子輪廓線是圓心在骨線上、半徑為ra的一系列圓外包絡（即等距曲線）得到的。因此，當等距圓上外包絡點出現回行時，就會產生打扣現象［3－4］，如圖3所示。

圖3 等距曲線打扣

點A在等距曲線上的等距點為C，點B的等距點為D，D點出現了回行，這時就產生了打扣現象，即打扣現象產生的根本原因就是骨線上任意2點相鄰的法線在等距半徑范圍內有交點。這時生產出來的定子并不是嚴格的擺線等距曲線。如果打扣較小，唯一的解決辦法是通過橡膠的過盈來進行補償，但是如果打扣較大，則不能用這種方法解決。

由式（1）可得到骨線在復平柱面坐標系下的切線方程為［5－8］

由式（2）可得直角坐標系下坐標方程為

由式（3）可推出，骨線在直角坐標系下任意點的切線方程為

由式（3）～（4）可得骨線任意點上的法線方程為

通過上述公式利用軟件繪制定子骨線及其法線圖形。由于定子骨線是軸對稱圖形，因此，只研究其1個對稱區間的圖形即可。當K＝1時，定子骨線及其法線圖形如圖4所示。當θ＝0時，法線是垂直的，它與其他法線的焦點隨著θ的減小而越來越接近骨線，這時無論等距半徑取多大，等距曲線都會產生打扣現象。這也是由于骨線在θ＝0處為尖點所致。

圖4 K＝1時3頭骨線及其法線

K＝0.8時，骨線及其法線圖形如圖5所示。可以看出，在θ＝0處，骨線為弧形，因此法線是水平的，而后法線斜率先遞增，后遞減。但法線在一定范圍內彼此間仍有交點。因此，等距曲線的打扣現象是在等距半徑增大到一定范圍內產生的。

圖5 K＝0.8時3頭骨線及其法線

K＝0.5時，骨線及其法線圖形如圖6所示。可以看出，在θ＝0處法線仍是水平的，而后法線呈遞增規律。法線在骨線外側是發散的，沒有交點，這時無論等距半徑取多大，等距曲線都不會產生打扣現象。

圖6 K＝0.5時3頭骨線及其法線

以3頭單螺桿泵骨線為例，通過Matlab繪制定子骨線法線斜率圖形，進一步直觀判斷定子打扣現象。圖7自下而上分別是K為0.1～0.9（步長0.1）時法線斜率；K＝1時法線斜率如圖8所示。

圖7 K＝0.1～0.9時3頭骨線法線斜率

圖8 K＝1時3頭骨線法線斜率

如圖7所示，當K趨近于0時，斜率曲線向右下方下凹，并且單調遞增。隨著K的增加，曲線下凹趨勢不斷變緩，直至上凸。如圖8所示，當K＝1時，上凸曲線左側消失，只剩下右側，變成唯一一條向左下方下凹的曲線，此時，在θ＝0處法線是垂直的。當K＜1時，骨線在θ＝0處為弧形，因此法線為水平方向。當法線斜率單調遞增時，彼此之間就不會有交點；當法線斜率先遞增后遞減時，打扣現象是在一定范圍內產生的；當法線遞減（K＝1）時，定子輪廓線永遠打扣。

3 數值法求解不打扣最大等距半徑

通過上述分析可知，定子輪廓線不打扣的最大等距半徑即為骨線外側法線交點到骨線距離中的最小值。基于這個條件，用Matlab進行編程，求出這個最小值，過程如下：

通過上述程序可以找到在n、K條件下定子不打扣的最大等距半徑，并得到1組頭數不變、K變化的數據。通過曲線擬合的形式可以做出不同頭數、變幅系數與最大等距半徑之間的關系圖形，如圖9所示。圖9中，取ra＝1，即單位擺線；當ra的值不為1時，最大等距半徑數值上等于單位擺線的等距半徑乘以滾圓半徑。

圖9 3～6頭骨線最大等距半徑曲線

由圖9可以看出，定子不打扣的最大等距半徑是隨著變幅系數的增加而逐漸減小的；圖中清晰地反應出了定子頭數、最大不打扣等距半徑和變幅系數K三者之間的關系。例如，當K＝0.85時，從圖中可得3～6頭定子不打扣的最大等距半徑分別為9.4、5.9、4.7和4.2mm，即頭數越少，允許的不打扣等距半徑越大。

普通內擺線是當式（1）中K＝1時的擺線，共軛曲線副是定轉子頭數相差1得到的。短副內擺線型單螺桿泵是短副內擺線做定子骨線，用被定子骨線內包絡的共軛曲線作為轉子骨線。因此，如果定子是不打扣的，那么用這種包絡曲線的方法得到的轉子骨線及其等距曲線也是不打扣的［5］。因此，只要保證基礎骨線R（θ）的等距曲線不打扣，就可以得到嚴格的定轉子共軛曲線。基礎骨線的等距曲線打扣條件遵從圖9的規律。

4 結論

1） 當變幅系數K＝1時，等距曲線永遠打扣；當0＜K＜1時，等距曲線永遠不打扣。

2） 當變幅系數K趨近于1時，不打扣等距半徑迅速下降，越接近1，可用等距半徑越小。

3） 不同頭數、相同變幅系數、頭數越少時，允許的不打扣等距半徑越大。

4） 相同頭數、變幅系數越小時，允許的不打扣等距半徑越大。

［1］ 蘇義腦，謝竹莊.螺桿鉆具馬達線型分析基礎及研究方法［J］.石油機械，1985，13（6）：10－20.

［2］ 杜秀華，任 彬，韓國有.雙頭單螺桿泵的線型設計及虛擬建模［J］.石油礦場機械，2007，36（1）：33－35.

［3］ 萬邦烈.單螺桿泵式水利機械的研究與開發［J］.石油礦場機械，1995，24（3）：14－18.

［4］ 熊建新，陳次昌，魏存祥.雙頭單螺桿泵襯套線型分析［J］.石油機械，2008，36（12）：31－33.

［5］ 宋玉杰，溫后珍，孟碧霞.單螺桿式水力機械變幅系數的選擇［J］.中國機械工程，2010，21（18）：69－71.

［6］ 王國慶，師國臣，馬志權，等.大慶油田螺桿泵機采井系統效率現狀及對策［J］.石油礦場機械，2011，40（7）：25－28.

［7］ 韓國有，姜長鑫，杜秀華.普通內擺線型雙頭螺桿泵建模及運動仿真［J］.石油礦場機械，2011，40（1）：1－4.

［8］ 王春陽，夏秀文，李良軍，等.預輪廓定子螺桿鉆具性能研究［J］.石油礦場機械，2011，40（5）：90－92.

Analysis of Linear Dozen Buckle of Single Screw Pump Based on Matlab

HAN Dao－quan1，HAN Chao1，DING Bao－lin2，YE Wei－dong1
（1.College of Mechanical Science and Engineering，Northeast Petroleum University，Daqing163318，China；2.Daqing Petroleum Equipment Group，Daqing163255，China）

According to formation mechanism of stator skeleton lines and its isometric profiles of screw pump，the phenomenon of Dozen buckle of bone line of single screw pump stator has been analyzed by mathematical software Matlab，the relationship between the different number of single screw pump stator，the radius variation ratio and the radius of the maximum isometric under the condition of no dozen buckle has been painted out.The results show that：when the stator head is determined，the radius variation ratio and the radius of the maximum isometric show a decreasing trend；when the radius variation ratio is determined，the fewer the number of stator head，the larger the radius.

screw pump；curve；interaction；mathematic analysis

1001－3482（2011）12－0038－04

TE933.3

A

2011－06－13

黑龍江省教育廳科技攻關項目（11551014）

韓道權（1966－），男，黑龍江大慶人，副教授，主要從事機械設計制造及其自動化研究，E－mail：handq2003＠163.com。