線性振子過阻尼和臨界阻尼特性對比研究

王培霞 賈育秦

(1太原科技大學物理系,山西太原 030024)

(2太原科技大學機電工程學院,山西太原 030024)

線性振子過阻尼和臨界阻尼特性對比研究

王培霞1賈育秦2

(1太原科技大學物理系,山西太原 030024)

(2太原科技大學機電工程學院,山西太原 030024)

從理論和實例上對線性振子過阻尼和臨界阻尼特性曲線進行分析對比,發現在某特定條件下過阻尼能較快地恢復到平衡位置,還發現從平衡位置開始的線性振子,過阻尼狀態時峰值較小,恢復時間較長;而臨界阻尼狀態下恢復時間較短,峰值較大.

線性振子;臨界阻尼;過阻尼

引 言

振動是自然界存在的普遍現象,在工程技術中,如何最大限度地抑制有害振動或利用有利振動是非常實際和重要的課題[1],也是學生需要重點掌握的內容.其中一維線性振子的阻尼運動是最常見和最重要的一種振動,在大學物理教材[2,3]中,只是定性畫出欠阻尼衰減振蕩曲線、過阻尼和臨界阻尼單調恢復平衡曲線.學生對此沒有深入的認識,對實際中設計阻尼器的參考價值也很有限.本文通過理論分析和實例對過阻尼和臨界阻尼特性曲線進行對比研究,發現一些比較有趣的現象,不僅加深學生對阻尼運動的理解,也激發學生學習、研究物理現象的興趣,同時為阻尼器設計提供了參考依據.

1 線性振子的阻尼運動分類

物體以不太大的速率在粘性介質中運動時,物體受到的阻尼力與其運動速率成正比,按照牛頓第二定律,對存在粘性阻尼的一維線性振子,其運動微分方程為[4]

其中,β為振子的阻尼系數;ω0為振子的固有角頻率.欠阻尼時:β＜ω0;過阻尼時:β＞ω0;臨界阻尼時:β=ω0.假定初始條件 x|t=0=x0和v0對式 (1)求解.

過阻尼:

臨界阻尼:

欠阻尼的特性曲線很清楚是一個振幅隨時間做周期性衰減的阻尼運動,本文不作深入討論.

2 過阻尼分析與臨界阻尼特性曲線形狀分析

2.1 過阻尼特性曲線形狀分析

對式 (3)求導得到過阻尼特性曲線的速度為

求出 x過=0和過=0分別對應時刻為 t1和t2,則有

根據式 (3)、(5)、(6)從理論上研究 x0和 v0對阻尼曲線形狀的影響:

① x0＞0,v0＜ -(β+q)x0,有 t1＞0,t2＞0,x過曲線越過平衡位置,然后再趨于平衡位置,這與大學物理教材[2,3]中所描述的不同;

② x0＞0,v0=-(β+q)x0,有 t1→∞,t2→∞,x過經足夠長時間單調地趨于平衡位置,沒有越過平衡位置;

③ x0＞0,0＞v0＞ -(β+q)x0,有 t1＜0,t2＜0,x過單調趨于平衡位置;

④ x0＞0,v0=0,有 t1＜0,t2=0,x過曲線從初始速度為零,單調趨于平衡位置;

⑤ x0＞0,v0＞0,有 t1＜0,t2＞0,先上升后單調趨于平衡位置;

⑥ x0=0,v0＞0或 v0＜0,有 t1=0,t2＞0,x過曲線從平衡位置開始,先偏離平衡位置再單調趨于平衡狀態.

為了直觀地顯示過阻尼曲線,以ω0=π,β=4為例使用 matlab[5]作出不同 x0和 v0下的過阻尼曲線,如圖1、2所示.直觀地可以看出,與以上理論分析相吻合.

2.2 臨界阻尼特性曲線形狀分析

對式 (4)求導得到臨界阻尼特性曲線的速度為求出x臨=0和臨=0分別對應時刻為和

根據式 (4)、(7)、(8)從理論上研究 x0和 v0對阻尼曲線形狀的影響:

①x0＞0,v0＜-ω0x0,有x臨曲線也越過平衡位置后趨于平衡狀態,與大學物理教材[2,3]中所描述的不同;

②x0＞0,v0=-ω0x0,有x臨經足夠長時間單調地趨于平衡位置;

③x0＞0,v0＜0且v0＜-ω0x0,有′＜0,′＜0,x臨曲線單調趨于平衡位置;

④x0＞0,v0=0,有x臨曲線從速度為零開始單調趨于平衡位置;

⑤x0＞0,v0＞0,有先上升然后單調趨于平衡位置;

⑥x0=0,v0＞0或v0＜0,有x臨曲線從平衡位置開始,先偏離平衡位置再單調趨于平衡狀態.

為了直觀地顯示臨界阻尼特性曲線,以ω0=π為例,使用 matlab[5]作出不同 x0和 v0下的臨界阻尼曲線,如圖3、4所示.直觀地可以看出,與以上理論分析相吻合.

圖3 x0＞0時臨界阻尼曲線

圖4 x0=0時臨界阻尼曲線

3 對比分析

通過對過阻尼特性曲線和臨界阻尼特性曲線的對比分析,本文發現兩個有趣的現象.

大學物理教材中指出,臨界阻尼與過阻尼相比,恢復到平衡狀態的速度更快.本文發現,在某個條件下,v0在 -(β+q)x0附近,過阻尼比臨界阻尼更快地恢復到平衡狀態,以ω0=π,β=4為例作出圖像如圖5所示.對于該現象中的特殊情況,v0=-(β+q)x0時 ,文獻 [6]給出了證明.

對于線性振子阻尼運動中,振子偏離平衡位置的最大值 (峰值)如何,教材中很少研究[2,3],學生學習過程中對此考慮較少,但是在阻尼器設計中又是必須考慮的因素之一.本文通過對比研究發現,對于初始狀態在 x0=0時,臨界阻尼狀態下,曲線恢復到平衡狀態較快,但是在恢復過程中峰值較大;而過阻尼的峰值較小,恢復到平衡狀態卻需要較多的時間.仍以ω0=π,β=4為例,x0=0的圖像如圖6所示,有興趣的讀者可以證明之.

4 結論

通過理論分析和實例對過阻尼和臨界阻尼特性曲線進行對比研究,發現一些有趣的現象.理論與實例相結合的方法使學生深刻生動地理解過阻尼和臨界阻尼現象,培養學生學習物理的興趣,提高學生學習、研究物理現象的能力.本文研究了不同初始狀態下過阻尼與臨界阻尼特性曲線,也為設計不同阻尼器提供了參考依據.

[1] 商大鐘.動力分析基礎[M].哈爾濱:哈爾濱工程大學出版社,2005.11

[2] 程守洙,江之永.普通物理學 (第五版)[M].北京:高等教育出版社,1998.7

[3] 陳曙光,許邁昌,李光輝等.大學物理學[M].長沙:湖南大學出版社,2008

[4] 龐特里亞金.常微分方程 (第 6版)[M].林武忠,倪明康譯.北京:高等教育出版社,2006.6

[5] 周建興.MATLAB從入門到精通[M].北京:人民郵電出版社,2008.11

[6] 黃東保.線性振子過阻尼特性分析[J].大學物理,2001,20(5):14～15

COMPARATIVE RESEARCH ON LINEAR OSCILLATOR IN THE CRITICAL DAMPING AND OVER DAMPING STATES

Wang Peixia1Jia Yuqin2
(1Department of Physics,Taiyuan University of Science and Technology,Taiyuan,Shanxi 030024)
(2College of Mechanical and Electronic Engineering,Taiyuan University of Science and Technology,Taiyuan,Shanxi 030024)

Analyzing and comparing the characteristic curves of the linear oscillator in the critical damping and over damping states both in theory and practice,we found that oscillator in the over damping state can be more quickly restored to the position of equilibrium than in the critical damping state under certain conditions. In the over damping state,the peak of oscillator is smaller and the recovery time is longer,which are opposite in the critical damping state.

linear oscillator;critical damping;over damping

2010-06-14;

2010-11-13)

王培霞(1953年出生),女,太原科技大學物理系,副教授,主要從事大學物理研究與教學.發表學術、教學方面論文二十多篇.賈育秦 (1954年出生),男,太原科技大學機電工程學院,教授,碩士生導師.