2n階非線性差分方程周期解的存在性①

彭國榮 隋麗麗

(1.湖北民族學院預科教育學院，湖北 恩施 445000;2.華北科技學院基礎部，北京 東燕郊 101601)

2n階非線性差分方程周期解的存在性①

彭國榮1②隋麗麗2

(1.湖北民族學院預科教育學院，湖北 恩施 445000;2.華北科技學院基礎部，北京 東燕郊 101601)

周期解;臨界點;非線性差分方程多解性;變分方法

1 引言及主要結果

非線性泛函分析是現代數學的一個重要分支，它為解決當今科技領域中出現的各種非線性問題提供了富有成效的理論工具。在處理實際問題所對應的各種非線性方程中發揮著不可替代的作用。它的基本方法有拓撲度方法、錐與半序理論及變分方法等。

本文主要利用非線性泛函分析中的變分方法，結合臨界點理論，研究2n階非線性差分方程

周期解的存在性與多重性。其中，Z( a)={ a，a+1，…}， 當 a ≤ b 時，Z (a，b)={a，a+1，…，b}，Δ 是向前差分算子，即 Δxt=xt+1-xt，Δk+1xt=Δ ( Δkxt)。實數序列rt和非線性項f分別滿足以下條件:

(A)對給定的正整數 T，rt+T=rt＞0，t∈Z;

(B)f∈C( Z × R1→R1)，并且對任意 ( t，z)∈Z × R1，f( t+T，z)=f( t，z)。

我們的主要結論是:

定理1.1假設滿足下列條件:

(2)存在 a＞0，c＞0，使得對任意(t，z)∈Z ×

(3)存在 ρ1＞0，使得當時，F( t，z)＞0

則問題(1.1.1)在ET中至少有兩個非零解。

定理1.2假設下列條件滿足:

則問題(1.1.1)在ET中有三個不同的解。

2 變分結構

為了應用臨界點理論，本節將定義問題(1.1.1)所對應的能量泛函，并討論其相關性質。首先介紹一些概念和記號。

用S表示一切實數序列x= x{ }

nn∈Z所組成的集合，即

同時也用(…，x-n，x-n+1，…，x-1，x0，x1，x2，…，xn，…)表示 x={xn}n∈Z。對于給定的正整數T，集合ET定義為

則ET為S的線性子空間，并且與RT同構。定義ET上的內積為

由此內積誘導出空間ET上的范數記為:

易證明問題(1.1.1)的周期解等價于J在ET上的臨界點。

證明我們的結論需要如下引理。

引理2.1［1］設θ是J的一個臨界點且J(θ)=0，并且J在θ點有一個關于E=V1⊕V2的局部環繞，其中 k=dimV1＜∞，即存在充分小的 ρ＞0使得

那么Ck(J，θ)≠0，即θ是J的一個同調非平凡臨界點。

引理2.2［2］假設J滿足P.S.條件且有下界，如果J有一個同調非平凡、非極小的臨界點，則J至少有三個臨界點。

引理2.3［3］設 H 是實的 Hilbert空間，f:H→R1是 C1泛函，F=gradf，ΩR={x∈H:‖x‖ ＜R}，Ωr={x∈H:‖x‖ ＜r}，其中 R ＞r＞0是兩個實數。假定

(1)在H的任何有界集S上都滿足Lipschitz條件，即存在常數KS＞0使得‖F(x)-F(y)‖≤KS‖x-y‖，?x，y∈S;

(2){xn}有界，F(xn)→θ蘊涵{xn}有收斂子列;

(3)?x∈?Ωr，(F(x)，x)＞0;?x∈?ΩR，(F(x)，x)＜0，或者滿足?x∈?Ωr，(F(x)，x)＜0;?x∈?ΩR，(F(x)，x)＞0。

那么泛函f在ΩR內有三個臨界點。

3 主要結果的證明

為了證明主要結論我們需要如下引理

的最小非零特征值。

證明由矩陣知識知A是半正定矩陣，其特征值為 0 ＜λ1≤ λ2≤ …≤ λT-1。顯然，ξ=( v，v，…，v)T∈ET是所對應的特征向量(v≠0，v∈R1)，并且 ξ?Y。

下面用數學歸納法證明該不等式成立。

設 x=(x1，x2，…，xT)T∈Y，當 n=1 時，

下面我們將給出定理1.1和1.2的證明。

定理 1.1的證明由 F(t，z)的定義知 F(t，0)=0，從而 J(θ)=0。由假設條件(1)得 f(t，0)=0。從而J'(θ)=0。由引理3.1及假設條件(2)知J有下界，滿足P.S.條件。

從而由引理2.1知θ是J的一個同調非平凡臨界點，又因為θ是J的非極小值點，所以由引理2.2知J至少有三個臨界點。即問題(1.1.1)在ET中至少有兩個非零解。

定理1.2的證明我們證明泛函J(x)在ET中至少有三個不同的臨界點。

因此，泛函J滿足引理2.3的所有假設條件，所以由引理2.3知泛函J在ET中至少有三個不同的臨界點，即問題(1.1.1)在ET中至少有三個不同的解。

［1］ Benshi Zhu，Jianshe Yu.Multiple positive solutions for resonant difference equations［J］.Mathematics ＆ Computer Modelling，2009，(49):1928-1936

［2］ J.H.Zhang，S.J.Li，Multiple Nontrivial Solutions for some Fourth Order Semilinear Elliptic Problems［J］.Nonlinear Analysis，2005，(60):221-230

［3］ 郭大鈞.非線性泛函分析(第二版)［M］.濟南:山東科學技術出版社，2001

Existence of Periodic Solutions for A 2n Th-ordern Oolinear Difference Equation

PENG Guorong，SUI Lili

(1.Hubei institute for Nationalities Pre-Institute Department，Enshi Hubei445000;
2.Foundation department of North China Instituteof Science and Technology，Yanjiao Beijing-East 101601)

multiplicity of solutions;energy functional;variational method;critical point theory;critical group;Morse theory

O175.7

A

1672-7169(2011)03-0078-04

2011-01-12

彭國榮(1983-)，男，湖北民族學院預科教育學院教師。