復合平面曲線位置公差等效變換算法

閆 冠，侯 磊，鄒飛舟，莊宇華

（1.吉林大學機械學院，吉林長春 130022；2.長春奧普光電技術(shù)股份有限公司，吉林長春 130033；3.長春市熱力（集團）有限責任公司，吉林長春 130031）

復合平面曲線位置公差等效變換算法

閆 冠1，侯 磊1，鄒飛舟2，莊宇華3

（1.吉林大學機械學院，吉林長春 130022；2.長春奧普光電技術(shù)股份有限公司，吉林長春 130033；3.長春市熱力（集團）有限責任公司，吉林長春 130031）

根據(jù)公差原則的基本思想，以誤差控制功能的等效性和公差帶邊界曲線的連續(xù)性為準則，建立了復合平面曲線圖樣尺寸公差與曲線位置公差的變換算法，從而為復合型廓形曲線的位置誤差檢測奠定了基礎(chǔ).

復合平面曲線；位置公差；等效變換；算法

轎車車身覆蓋件、車輪輪輞、成形模具等有許多零件，具有較為復雜的表面形狀，在生產(chǎn)圖樣中常以視圖、剖視圖的方式予以表達［1］，再基于尺規(guī)制圖中所提出的要求，用樣板進行檢測［2］.對于制圖中的剖面與曲面的截交線即所謂廓形曲線通常是由多段圓弧和直線首尾相切組合而成的復合平面曲線，在圖樣中通過標注一組結(jié)構(gòu)尺寸和尺寸公差的方式來控制廓形曲線的實際形狀和位置［3－7］.隨著工業(yè)檢測技術(shù)的進步，人們希望能夠把坐標值測量原理和微機數(shù)據(jù)處理技術(shù)應用于廓形曲線的檢測，以代替樣板檢測法.其技術(shù)關(guān)鍵在于尋找一種有效的變換算法，將圖樣中的尺寸公差集變換成廓形誤差評定的依據(jù).本文著重探討復合平面曲線位置公差等效變換的變換算法以及相關(guān)技術(shù)問題.

1 基本概念與變換準則

根據(jù)在生產(chǎn)圖樣中廓形曲線的標注方式，各組成線段適合以參數(shù)方程形式描述.

式中：a，b為給定點的定位尺寸；R為圓弧半徑；α為直線傾斜角（逆時針為正）.相應的尺寸公差分別為2δa，2δb，2δR和2δα；β為動點相位角（逆時針為正）；l為動點到給定點的距離.依據(jù)幾何關(guān)系，容易求出線段的端點參數(shù)β1，β2，l1和l2，在圖樣中通常按尺寸公差s和上、下偏差e1與e2的方式標注尺寸，可按（3）式將尺寸項改變成對稱偏差的形式即t±δ，并將t稱為理論正確尺寸.

雖然生產(chǎn)圖樣中對廓形曲線只標注尺寸公差，這種標注形式應理解為它的幾何即形位誤差是以尺寸公差集的形式控制的，所謂公差變換就是將圖樣尺寸公差集變換為曲線幾何公差帶.首先，將由理論正確尺寸決定的廓形曲線稱為理論正確曲線，將理論正確曲線視為一動點M（x，y）在坐標平面xoy中的軌跡，將動點M的法向位置度定義為曲線位置度.廓形誤差主要是指被測要素各個測點｛x i，y i｝至理論正確曲線的法向偏移量，廓形曲線的檢測主要是測量實際曲線的坐標值并檢驗其是否超出了曲線位置度公差帶.

公差變換的基本思想源于尺寸公差與幾何公差的相關(guān)原則.然而，實踐表明，直接按包容原則構(gòu)造出的曲線位置度公差帶是超寬的，會明顯增加產(chǎn)品的誤收率.因此，本文提出等效變換準則，強調(diào)變換前后2種公差形式對廓形誤差的控制功能等效.其等效性的含義是設(shè)X，Y和Z為3個彼此獨立且服從0均值隨機正態(tài)分布的尺寸誤差X－N（0，σ2x），Y－N（0，σ2y），Z－N（0，σ2z）.根據(jù)隨機誤差理論可知，變量U＝X＋Y＋Z服從N（0，σ2u）的正態(tài)分布且有σ2u＝σ2x＋σ2y＋σ2z.設(shè)2δx，2δy和2δz是三項尺寸公差，并假定它們是按拉依達準則制定的，即δx＝3σx，δy＝3σy，δz＝3σz.那么，它們的合成公差就滿足δu＝3σu＝于是，變量U的公差帶邊界與尺寸誤差X，Y和Z公差帶邊界所控制的誤差概率相一致，都等于99.73%.

如前所述，廓形的理論正確曲線是光滑的.從目前實際產(chǎn)品的成形工藝看，實際廓形曲線也應該是平順的.因此，本文提出公差變換的連續(xù)性準則，要求通過公差變換求得曲線位置度公差帶的內(nèi)外邊界是連續(xù)曲線，也就是說，相鄰線段的切點法向位置度相等.

2 圓弧位置度公差的變換結(jié)果

2.1 已知圓弧位置度公差的變換

這類圓弧可稱之為獨立圓弧，如圖1所示.設(shè)M是理論正確圓弧上的任意一點，其相位角等于β.在徑向線上取一點E（a＋Δa，b＋Δb）.Δa和Δb為尺寸誤差.則E點對中心點A的偏移量為ΔE＝ Δacosβ＋Δbsinβ.對M點而言，β為常量，Δa和Δb為相互獨立的隨機變量.設(shè)2δe是圓弧中心點的位置度.按上述等效性準則有

由（4）式可知，2個中心定位尺寸的矩形公差帶按等效性準則變換為一個與之內(nèi)切的橢圓形點位置度公差帶.做2條垂直于徑向線的直線與橢圓相切.將兩切點所在的橢圓通徑定義為中心點A在徑向線方向上的位置度，記為2δe.顯然，當圓弧半徑為理論正確尺寸時，M點的法向位置度等于2δe.若圓弧半徑的尺寸公差為2δr，此時M點的法向位置度記為2δc，按上述等效性準則有

圖1 圓弧位置度計算用圖

2.2 連接圓弧位置度公差的變換

這類圓弧通過與兩側(cè)相鄰線段相切而定位，其R，δr，β1和β2為已知.其端點法向位置度2δc（β1）和2δc（β2）等于相鄰線段在切點處的位置度，假設(shè)已求出.設(shè)未知的中心點尺寸公差為2δa和2δb，由（5）式可知：

導出δ2a和δ2b的表達式后，再代入（5）式可得

由（6）式可知，連接類圓弧的位置度與其自身的半徑公差無關(guān).完全取決于兩側(cè)相切線段切點的位置度.可見，圖樣標注的半徑公差只用于確定其形狀公差即所謂圓弧曲度.

2.3 中間圓弧位置度公差的變換

這類圓弧通過與一側(cè)相鄰線段相切而定位，也可稱之為半獨立圓弧.實際上，（6）式中的δc（β1）和δc（β2）可理解為圓弧上任意兩點的法向位置度，設(shè)β2為切點相位角，圖樣中給出圓弧上離y軸最遠點x坐標和它的法向位置度2δcx，該點相位角βx＝0.代入（6）式得

同理，若已知δc（β1）和δcy（βy＝90°），（6）式變?yōu)?/p>

若圓弧除借助于一個切點定位外，圖樣中還給出一個中心定位尺寸和尺寸公差以及圓弧半徑和半徑公差時，則由（7）和（8）式可得

3 直線段位置度公差的變換結(jié)果

3.1 已知線段位置度公差的變換

這類直線段3個尺寸均為已知，稱之為獨立直線.如圖2所示，首先將給定點2個定位尺寸的矩形公差帶等效變換為橢圓公差帶，做直線的2條平行線與橢圓相切.兩切點所在橢圓通徑定義為傾角0公差時的直線法向位置度2δe1.顯然有

圖2 直線位置度計算用圖

定位尺寸a與b為0公差時，單純由傾角α的公差變換得到的直線位置度2δe2為

依據(jù)等效性準則，直線段的位置度2δl可由（12）式表示

3.2 連接線段位置度公差的變換

這類線段通過與兩側(cè)相鄰圓弧相切而定位，是2條已定位圓弧的公切線，稱之為連接線段.其理論正確曲線的端點參數(shù)l1和l2可由相切關(guān)系求出.兩端點法向位置度2δl（l1）和2δl（l2）已知.任意點M的法向位置度2δl按線性插值法求出

3.3 中間線段位置度公差的變換

中間線段通過與一個相鄰圓弧相切而定位，因為切點在直線上，作為給定點且l1＝0，其法向位置度2δe為已知.類比（12）式可得

4 關(guān)于復合平面線位置度概念的進一步討論

一段圓弧或直線在坐標平面中的位置，不僅取決于給定點A的定位尺寸，也取決于半徑或傾角.那么，從理論的嚴密性考慮就沒有理由不把半徑和傾角作為曲線的定位尺寸.在曲線位置度的變換式中，理應引入半徑公差和傾角公差.然而，曲線位置度的內(nèi)涵并不是單純的理論問題，更重要的是它還取決于產(chǎn)品的設(shè)計規(guī)范、制造工藝、檢測方法和使用效果.因此，本文將在公差變換式中不計入半徑公差和傾角公差的位置度稱為復合平面曲線的Ⅰ型位置度.而將計入兩項公差的位置度稱為復合平面曲線的Ⅱ型位置度.到目前為止，沒有關(guān)于復合平面曲線變換的文獻報道.現(xiàn)行產(chǎn)品的技術(shù)文獻通常是建立在尺寸公差與樣板檢測的基礎(chǔ)之上的.我們認為，Ⅰ型位置度大體上與應用光滑極限量規(guī)定對重點標注尺寸逐項進行檢測的技術(shù)規(guī)范相一致.而Ⅱ型位置度大體上與應用整體式標準樣板（充分接近理論正確曲線的樣板）進行綜合檢測的技術(shù)規(guī)范相一致.例如，汽車輪輞以按Ⅰ型位置度檢測為宜，而轎車輪輻以按Ⅱ型位置度檢測為宜.

5 實例研究

汽車輪輞的輪緣曲線是一條很有代表性的復合平面曲線.如圖3所示，它由胎圈座直線、胎圈座圓弧、輪緣側(cè)直線和輪緣圓弧等4條線組成.取標注尺寸及尺寸偏差：輪輞半寬度w＝（70±1）mm，槽深h＝（18±0.1）mm，輪緣高度g＝（19.5±0.5）mm，胎圈座角度θ1（5±1）°，輪緣側(cè)直線傾角θ2＝（90±2）°，胎圈座圓弧半徑R2＝（6.5±1）mm，輪緣圓弧半徑R4＝（9±0.5）mm，端點尺寸p＝20 mm，q＝12 mm.廓形檢測時以輪輞對稱線y軸和槽底直線x軸為測量基準.首先，將各線理論正確尺寸及端點參數(shù)計算出來并列于表1.根據(jù)各線類型，將輪緣曲線的Ⅱ型位置度計算結(jié)果列入表1.

圖3 汽車輪輞輪緣曲線

表1 計算的理論正確尺寸、尺寸公差、端點參數(shù)、端點法向位置度

［1］侯洪生.機械工程圖學［M］.北京：科學出版社，2008：196－212.

［2］國家技術(shù)監(jiān)督局.GB／T9769－2005輪廓輪輞檢測［S］.北京：中國標準出版社，2005：1－11.

［3］甘永立.形狀和位置誤差檢測［M］.北京：國防工業(yè)出版社，1995：27－49.

［4］梁晉文.誤差理論與數(shù)據(jù)處理［M］.北京：中國計量出版社，1989：1－11.

［5］甘永立.幾何量公差與檢測［M］.上海：上?？茖W技術(shù)出版社，2010：30－115.

［6］陳于萍.互換性與測量技術(shù)基礎(chǔ)［M］.北京：機械工業(yè)出版社，2006：6－92.

［7］齊新丹.互換性與測量技術(shù)［M］.北京：中國電力出版社，2008：7－117.

Transformation algorithm between the size tolerances and the position tolerance on the plane compound contour

YAN Guan1，HOU Lei1，ZOU Fei－zhou2，ZHUANG Yu－h(huán)ua3
（1.College of Mechanical Science and Engineering，Jilin University，Changchun 130022，China；2.Changchun UP Optotech Company Limited，Changchun 130033，China；3.Changchun Thermal Group Company Limited，Changchun 130031，China）

According to the tolerance principle，by means of the equivalent criterion of the controlling function and the continuity of the tolerance margin，a transformation algorithm between the size tolerances and the position tolerance on the contour is advanced in this paper.Therefore the mathematical basis is provided for data processing of the coordinate values measured of the plane compound contour.

plane compound contour；position tolerance；transformation；algorithm

TG801

460·2030

A

1000－1832（2011）04－0054－05

2011－06－05

吉林省科技發(fā)展計劃項目（20090202）.

閆冠（1965—），女，副教授，主要從事畫法幾何、工程圖學及測量學研究；通訊作者：侯磊（1965—），男，碩士，副教授，主要從事材料表面精加工及精密測量研究.

石紹慶）