中美小學數學計算教學比較

　　2011年上半年，筆者有幸參加了為期2個月的深圳市第15期赴美國圣文森山學院學習，在紐約市參觀了近十所中小學，旁聽了十多節小學數學課，收集了美國紐約州2套小學數學教材，對3所不同類型學校六年級100位學生及十多位成人進行了計算能力的問卷調查，對中美兩國小學數學計算教學進行了比較。文中的中美兩國小學數學教學主要是指中國廣東與美國紐約州的小學數學教學。
　　一、從數學課程標準
　　及教材內容方面進行比較
　　1．課程標準方面
　　美國沒有全國統一的數學課程標準，每個州制訂本州的數學課程標準，各州的標準存在一定差異。整體而言，美國的數學課程標準涉及從幼兒園至高中數學內容：而我國數學課程標準分為義務教育數學課程標準及普通高中數學課程標準兩部分，不涉及幼兒數學教育，國家也沒有幼兒教育階段的數學課程標準。本文重點以美國紐約州數學課程標準(New York State P-12 Common CoreLearningStandards for Mathematics)與中國義務教育數學課程標準小學部分內容進行比較。美國小學數學分成數與數的讀寫(Number and Numeration)、運算與估算(op—erations and Computation)、數據與概率(Data andChance)、幾何(Geometry)、測量(Measurement and Ref—erence Frames)、規律(Patterns)、函數及代數(Functionsand Algebra)，中國小學數學分成數與代數、空間與圖形、統計與概率、實踐與綜合應用四個部分。通過對比可以看出，中美兩國小學數學均把數與代數作為小學數學的重點內容進行教學，只不過美國小學數學分得較細，把數與代數分成三部分，并把測量專門作為一部分進行教學，增加了“規律”部份，而“規律”是代數、函數的基礎。
　　2．教材內容方面
　　在美國，不同的學校允許使用不同的教材，教材的選擇權在學校。參考了幾套教材發現，美國數學教材涉及知識面較廣，有些知識的介入時間比中國教材更早，但難度深度不及中國教材，計算的難度也相對較低。比如分數教學，美國學生在小學一年級就開始學習簡單的分數，分成四節課來學習，分別是：介紹平均分(Equal Parts)，要求學生數出平均分成多少份；學習分數1／2(One Half)；學習1／4(One fourth)；學習l／2、1／3、1／4(0ne Half OneThird and One Fourth)。通過多種活動來體會認識分數，比如動手為幾何圖形、常見事物的簡筆畫圖形涂色。中國的教材中，都是教授了除法之后學習分數，除法是學習分數的基礎，而美國的這套教材是把學習分數放在學習除法之前，把分數當成除法的基礎。這一點與中國的數學教材差別很大。
　　美國的教材中出現了幾節中國初中數學教材中的指數的內容，如10的冪、指數標記法、冪的正負、科學記數法，出現了指數及負數的簡單運算，并介紹了運算順序，再比如出現了正負數的簡單運算，如負數的應用、正負數的加減法。學習數對之后還有兩課時的初步認識坐標平面及兩課時的一次函數的課程。美國計算教學中很重視平方數的教學，在問卷調查中，我們也發現學生、成人較善于利用平方數來進行計算，比如計算25×28時，有學生是這樣計算的：25×25=625，25×3=75，625+75=700。顯然，他利用了平方數進行計算，相比大多數中國人的計算方法來說比較獨特。在對成人進行調查時也發現，對156+12這道題目，他們是這樣運算的：12×12=144，144+12=156，得出結果13，使用了平方數進行計算。通過交流發現，他們已把20以內的平方數記在腦中。調查中發現，這種口算方法在美國較普遍，但在中國很少見。中國小學數學中的九九乘法口訣對學生幫助很大，學生熟背九九乘法表后，計算乘除法就會很輕松，而美國教材中沒有出現過類似的口訣。
　　二、從學習環境，教學方式
　　方法方面進行比較
　　在學習環境方面，美國教師很注重教室環境的布置，他們會把一些最近學習的重要的數學知識、數學概念、公式等張貼在教室四周墻上，方便學生隨時學習。教室通常分成以下幾個功能區：一是學習區，主要供學生學習使用，配備了電子白板、黑板、電腦投影等教學設備；二是資料閱讀區，相當于一個小型圖書館，為學生準備了學習時常用的資料、學具，并配備一兩臺電腦供學生上網查閱資料;三是游玩休息區。
　　在教學形式方面，在美國小學課堂上，學生通常以小組形式開展學習。每堂課至少有兩位教師同時上課，一位為主講教師，另一位為助教。每班學生人數不超過25人。主講教師負責調控教學及安排學生的學習任務。主講教師有時把學生集中起來討論學習中遇到的問題，有時講解重點內容，有時安排學生獨立探究然后在小組內分享，有時是兩位教師參與小組學習、討論，學生還可以在教師的指引下操作學具，學習形式多種多樣。美國課堂上，學生較自由，可以隨便走動，但學生的走動必須是有目的的，或為了求助于教師或別的同學，或為了到資料區拿學具、學習資料，或為了喝水或上洗衣手間。由于各種原因，同一個班的學生在學習進度上存在區別，有的學生很快就能學會當天的任務，有的還存在一定困難。這時，兩位教師會合理分工，一方面安排學習過關的同學到資料區，去研究新的更難一點的任務；同時會花更多的時間去關注那些學習上存在困難的學生，及時幫助輔導他們，有時是一對一的形式，有時是一對多的形式。
　　在教具與模型使用方面，在進行加減法計算教學時，中美教師使用的模型、學具也不相同。
　　例如：計算43-27=?的步驟如下。
　　
　　A．擺出43，見圖1。B．減去20，見圖2。C．3不夠減7。借—當十，見圖3。
　　
　　
　　通過上述方法可以知道，美國教師是用一個小方塊代表1個一，一條小方塊(10個小方塊)代表一個十，一塊(10條小方塊)代表一個百，來體現十進制原理，讓學生理解數位，理解滿十進一、借一當十的道理。我們中國教師的做法是，以一根小棒代表1個一，一捆小棒(10根)代表1個十。兩種方法均能較好地化抽象為形象。但美國的這種模型除了適用于整數加減法，還能在小數加減計算中繼續起作用，具有連貫性。中國北京師范大學版小學數學教材是以人民幣為模型展開小數加減法計算，人民幣的計算對學生來說是生活中常遇到的事情，更具情景性、趣味性及實用性。
　　下面展示美國小數計算時的模型，以2.34＋1．27=?為例，見圖6。
　　
　　三、從算法與算法優化方面進行比較
　　中美小學計算教學都注重學生口算能力的訓練，都強化了估算教學，都注重算法多樣化與算法優化的整合，但也存在一些不同的地方。
　　1．中美計算教學均提倡算法多樣化，但美國的算法非常有個性
　　大部分美國學生在進行乘法計算時用豎式計算，但也有一些相對中國人而言非常獨特的、個性化的計算方法。
　　例如：計算34×26=?時，有學生采用了格子方法，為了方便研究，我把計算過程分成如下圖兩步，得出結果34×26=884，見，圖7。
　　
　　再比如計算26×5=?時，有學生使用豎式方法計算，但與我國的計算方法區別很大。他們是先用5乘以乘數26之中十位上的2，再乘個位上的6，最后把兩個積加起來(見圖8)。
　　中國乘法計算是要求先乘個位，再乘十位，最后把兩層積加起來。在中國，如果學生出現這種先算十位再算個位的情況，教師通常會認為方法錯誤，糾正后引導到先算個位再算十位的方法上來。美國的教師則完全認可學生的這種計算方法。
　　再比如，美國教師在教學除法計算時，學生也出現了非常有個性的計算方法。
　　如：計算371+4=?，見圖9。
　　
　　這種方法允許學生得到的余數大于除數，余數大于除數時，繼續除，直到不能除為止；然后把每一步的商加起來就是最后的結果，這種方法對學生的試商能力要求不高，對于學數學存在困難的同學幫助很大。中國除法豎式計算通常只有一種方法，計算時絕對不允許出現余數大于或等于除數的情況。
　　再比如，在美國二年級兩位數加減法教學時，計算：27+16=?時，美國教師還允許學生借助表格工具進行計算(見圖10)。而我們在教二年級計算時，通常要求學生不能再借助手指或其他工具去計算，必須去思考，或列豎式筆算。
　　
　　可以說，中美在計算教學均注重算法多樣化，但通過觀察可以看出，美國學生的計算方法更有個性，美國教師也很尊重學生的個性發展。
　　2在算法優化方面，中國教師傾向于統—算法，美國教師更尊重個性化算法
　　在教授計算新課程時，中國教師也非常重視算法多樣化，但到了優化階段，教師通常會選擇自認為的最快最好的一種計算方法，接著通過讓學生大量練習來強化這種方法。在這種模式下，其他的計算方法就被否決了，學生最后只能掌握一種方法。但學生之間存在差異，思維不同，基礎也不同，我們認為最好的方法可能未必適合一些學生。在這種模式的長期影響下，有創造思維的學生也不會再嘗試自己的方法。美國教師非常尊重學生的差異，鼓勵學生嘗試不同的方法、尋找適合自己的計算方法，不強迫孩子使用教師認為最高效、最好的方法。學生們的個性化算法因此得到保持。
　　對于25×28=?，沒有一位學生使用了把28分成7乘4，再利用4乘25等于100的簡便方法進行計算。原以為美國孩子也會像中國孩子一樣，看到25馬上就會聯想到4，這點大大出乎我的意料。這也可看出中美計算思路的差別性。調查后，我把這種方法對他們進行介紹，學生很感興趣。
　　四、從作業要求、書寫要求方面進行比較
　　可以說中美學生作業要求差別很大，美國教師對學生的書寫要求不如中國教師嚴格。大部分美國學生數學作業書寫比較潦草，教師對學生作業的書寫要求也較低，允許六年級學生使用鉛筆答題。中國數學教師對于計算書寫有一套嚴格要求，比如列豎式時，數位要對齊，橫線需用尺子畫，等號要寫得一樣長，不允許一長一短。再比如書寫多步計算題(梯等式)時，中國數學教師通常要求學生將等號對齊，過程需一步一步寫清楚。中國教師通常要求三年級以上的學生不能再用鉛筆答題。
　　然而美國教材中也經常會出現一些不夠規范的現象，比如多步計算沒有等號等情況。如美國小學數學四年級教材(Everyday Mathematics)中，第151頁的梯等式就沒有等號。雖然例題主要目的是介紹運算順序，但可以看出教材的示范性不如中國教材。美國學生看到教材上沒有等號，會以為不寫等號是可以的。所以，調查中的美國成人、學生的多步計算書寫出現類似情況也就理所當然。
　　五、從運算符號的使用方面進行比較
　　美國數學深受計算機文化影響，融合了計算機語言的一些文化，比如使用3／4表示3÷4。再比如乘號可以用“*”表示，教材中也有提及到并且允許使用。目前中國教材中還沒有涉及到這些符號，沒有提及允許使用這些符號。這一現象在一定程度上反應出美國文化的包容性。
　　六、從評價與測試方面進行比較
　　美國各州從小學三年級開始有各州舉行的統一考試，學生成績分成A、B、C、D、E五個等級，各學校各等級的人數比例會公布在州教育部網上，統考成績與學校的辦學績效掛鉤，教育部門不僅看各學校當年的成績，而且會與學校往年的成績進行對比。
　　筆者對三所學校的六年級學生進行了計算能力的問卷調查，問卷以兩步計算為主，最后附上一個問題“你是否喜歡學數學?”。筆者曾用這套問卷對廣東省深圳市寶安區實驗學校六年級學生進行了調查。出于公平的原則，在美國的測試選擇六年級的學生(美國的六年級屬于中學)。計算能力統計結果如下：美國學生達A(i00分)的占41％，B(80-99分)的占30％，C(60-79分)的占20％，D及E占9％。中國學生達A(100分)的占78％，B(80-99分)的占20％，C(60-79分)的占2％，D及E占O％。可以看出，中國學生的計算能力(計算正確率)比美國學生強，中國學生的書寫也比美國學生工整。但對最后一個問題“你是否喜歡學數學?”，有55％的美國學生表示喜歡學數學，有56％中國的學生也表示喜歡學數學，比例接近。雖然中國學生的計算能力遠遠高于美國學生，但真正喜歡學數學的學生人數比例并沒有隨成績優秀而高一些，這一點也值得我們深思。
　　七、從使用計算器方面進行比較
　　美國教材中花了大量課時介紹計算器，學生從一二年級就開始按觸計算器，教材專門用1個單元7頁篇幅介紹普通計算器的使用，小學畢業班教材還專門用1個單元6節36頁篇幅介紹數學計算器的使用。在中國，中低年級學生是絕對不允許使用計算器的，高年級學生也不例外，考試時學生也只能筆算，不能使用計算器。中國的考試目前也刪除了一些繁雜的計算，但仍然要求學生考試時不能使用計算器。另外，在美國，每冊數學教材均附上了許多數學游戲方法，供教師參考和使用。
　　八、結語
　　綜上所述，中美兩國均很重視計算教學，均使用一些模型或學具幫助學生理解計算原理，都意識到口算、估算及算法多樣性的重要性。中美教師在小學數學計算教學方面各有優劣，美國教師較尊重學生的個性，注重學生個性發展；中國教師更注重效率，對學生的書寫、計算格式更嚴格。對比中也發現，美國學生個性發展較好，創造性思維發展較好；中國學生計算技能、計算能力較強，計算正確率高，書寫普遍較工整。由于筆者所調查與研究的對象主要以紐約州部分學校、學生為例，具有一定的局限性，難以推及美國國家層面。但這些點滴現象對于今后的教學，特別在如何培養學生的創造性思維方面，仍能起到一定的借鑒參考作用。
　　參考資料：
　　[1]New York State P-12 Common Core Learning Stan-dards for Mathematics[EB／OL].http：／／www.p12.nysed.gov／ciai／common_core_standards／pdfdocs／p 12 common core learn-Lug.standards mathematics final ．pdf2011-6-1．
　　[2]Everyday Mathematics frhe University of chicagoSchooI Mathematics Project)[M]．New York：McGraw HillWright Gr