新課程背景下高中數學中常見的數學思想方法

　　高中數學既是中小學數學的牢固銜接和繼續發展，又是整個數學學科中的基石.因此，為了更好地學習和掌握這門學科，我們有必要認真地研究一下該學科中所包含的各種常見的思想方法，只有當我們領會了這些思想方法的精髓后，我才能做到游刃有余地處理各種各樣的數學問題.下文就是關于這些常見的數學思想方法的詳細概述.
　　一、導數思想
　　該思想是一個近些年來備受青睞的思想，主要適用于以下幾個方面的問題：1.切線的斜率；2.函數的單調性；3.函數的極值和最大、最小值.具體是用導數的方法.
　　例：已知m、n是正整數，且1＜m＜n，證明：（1+m）＞（1+n）.
　　證明：∵1＜m＜n，不等式兩邊取自然對數后，原問題等價于證明不等式：
　　＞.
　　于是，構造函數f（x）=（x≥2），可求得
　　f′（x）=.
　　由x≥2，知ln（1+x）＞1，
　　∴x-（1+x）ln（1+x）＜0，即f′（x）＜0.
　　∴f（x）在［2，+∞）上是減函數.
　　∵1＜m＜n，且m、n是正整數.
　　∴f（m）＞f（n），即＞，從而有（1+m）＞（1+n）.
　　二、數形結合思想
　　數形結合思想就是把問題的數量關系和空間形式結合起來考查的思想.該思想主要在三角函數和解析幾何這兩部分體現出來.根據解決問題的需要，可以把數量關系的問題轉化為圖形的性質問題去討論，或把圖形的性質問題轉化為數量關系的問題來研究.
　　例：若方程=x+m無解，則實數m的取值范圍?搖?搖.
　　解：令y=，化為x+y=1，y=x+m.
　　則問題轉化為直線與圓的交點問題，從而易求得m＞或m＜-1.
　　三、函數與方程的思想
　　函數與方程都是中學數學中最為重要的內容，也是在處理一類數學問題時經常要用到的思想方法.
　　例：已知一個等比數列{a}中，a+a=10，a+a=，求其第4項及前5項的和.
　　解：設公比為q，由已知條件得a+aq=10aq+aq=
　　即a（1+q）=10 ①aq（1+q）=②
　　由①式比②式得q=，從而得q=.
　　將q=代入①式得a=8，所以a=aq=8×（）=1，
　　S==.
　　四、分類討論思想
　　分類討論思想也叫邏輯劃分思想，是數學中最常用的一種思想方法.
　　注:分類討論是高考考查的一個重要思想方法，訓練學生自然進入討論思維過程，不要人為神秘化.
　　例：關于實數x的不等式|x-|≤與x-3（a+1）x+2（3a+1）≤0的解集分別是A、B.求使A?哿B的x的取值范圍.
　　解：∵A=［2a，a+1］，
　　∴①當3a+1＞2時，即a＞時，B=［a，3a+1］，由A?哿B可得：2a≥2a+1≤3a+1，解得1≤a≤3；
　　②當3a+1=2時，即a=時，B={2}，A={x|＜x＜}，這與A?哿B矛盾，故a≠；
　　③當3a+1＜2時，即a＜時，B=［3a+1，2］，由A?哿B可得：3a+1≤2aa+1≤2，解得a=-1.
　　∴綜上所述，a=-1或a∈［1，3］.
　　五、反證法思想
　　反證法思想的特征是通過導出矛盾，歸結為謬誤，而使命題得證，因此反證法也叫歸謬法.
　　例：若x、y∈{正實數}，且x+y＞2，求證：＜2或＜2中至少有一個成立.
　　證明：假設≥2，≥2成立.
　　∵x、y∈R，∴1+x+1+y≥2（x+y）.
　　即2+（x+y）≥2（x+y），x+y≤2.
　　則與題中的x+y＞2矛盾，故假設錯誤，原命題得證.
　　六、數學歸納法思想
　　數學歸納思想是一種常見的數學思想，在初等數學和高等數學中都有著廣泛的應用，與其他數學思想相比較，數學歸納思想的風格獨特，它有著固定的應用程式，其核心是必不可少的兩個基本步驟，而其它數學方法常屬思想方法，并無書寫程式上的要求.
　　例：設a＞0，b＞0，n為自然數，證明（a+b）≥（）.
　　分析：當n=1時，命題顯然成立；
　　假設當n=k時命題成立，即有（a+b）≥（），于是
　　（）=（）?（）≤（a+b）（a+b）
　　=（a+ab+ab+b）①
　　在上述證明中，我們已經利用了歸納假設（a+b）≥（），但是仍未得到所要證明的結果（）≤（a+b），觀察后發現，如果我們能夠再證明一個輔助不等式：
　　ab+ab≤a+b②
　　然后綜合①②，就可以得到所希望的結論了.
　　②式是不難證明的，因為若a≥b，則a≥b，
　　故a+b-（ab+ab）=（a-b）（a-b）≥0，因此不等式成立.
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”