如何挖掘平面幾何圖形的潛在功能

　　數(shù)學(xué)知識(shí)是縱橫貫通、前后聯(lián)系的整體，而不是孤立的、靜止的、不變的內(nèi)容。事實(shí)上，數(shù)學(xué)教材中的許多例題、習(xí)題都具有一定的目的性、典型性和示范性，蘊(yùn)涵的內(nèi)容十分豐富，教師若能從多方位、多角度去鉆研習(xí)題，挖掘習(xí)題的潛力，善于引導(dǎo)學(xué)生對(duì)習(xí)題作進(jìn)一步的引申和探索，使問(wèn)題拓寬、加深、變活，以較少的題目，使學(xué)生獲得最大的收獲，這不僅能增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，開拓學(xué)生的解題思路，而且對(duì)提高學(xué)生的分析和解決問(wèn)題的能力，發(fā)展創(chuàng)新思維都能起到較好的效果。
　　一、挖掘圖形的變式功能
　　美國(guó)著名數(shù)學(xué)家教育家G·波利亞說(shuō)：“一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有意義的但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)這道題就像通過(guò)一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域。”事實(shí)上，一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果只滿足于解答，那么就顯得單調(diào)，收獲較小。如果將問(wèn)題朝各個(gè)方面延伸運(yùn)動(dòng)，我們將看到幾何圖形“活”的本質(zhì)所在，培養(yǎng)了學(xué)生舉一反三、靈活轉(zhuǎn)換的能力。
　　例1已知：如圖1，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM、△CBN是等邊三角形，AN、BM相交F，求證：①AN=BM；②∠AFB=120°。
　　此題難度不大，學(xué)生容易獲證，為了加強(qiáng)訓(xùn)練學(xué)生探索問(wèn)題的能力，可通過(guò)改變圖形對(duì)該例題進(jìn)行橫向推廣；亦可通過(guò)增加條件對(duì)該例題進(jìn)行縱向延伸。
　　如圖2，在任意△ABC的外面作等邊△ACM和△BCN，AN、BM相交于F，求證：①AN=BM；②∠AFB=120°。（這里，將圖1中的“直線ACB”變成“折線ACB”）
　　如圖3，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，四邊形ACMG和△CBHN是正方形，求證：①AN=BM；②AN⊥BM。（這里，將圖1中的“正三角形”變成“正方形”）
　　如圖4，在銳角△ABC的外面作正方形ABDE和正方形ACFN，求證：① BN=CE；②CE⊥BN。（這里，將圖3中的“直線ACB”變成“折線BAC”）
　　這里，我們看到了通過(guò)圖形的幾種變式，研究了解題途徑，達(dá)到了觸類旁通的效果。
　　二、挖掘基本圖形的運(yùn)用功能
　　任何復(fù)雜的幾何圖形都是由最簡(jiǎn)單的、最基本的圖形組成的。研究基本圖形的性質(zhì)，發(fā)揮基本圖形的功能，就可以比較順利地解決復(fù)雜性圖形的問(wèn)題，使學(xué)生掌握解題的鑰匙。
　　下面請(qǐng)看一個(gè)重要的基本圖形及其應(yīng)用。
　　如圖5、圖6，△ABC形中或形外，作DE∥BC→△ADE∽△ABC，形成基本圖形，例2 如圖7，在△ABC的AC邊上取中點(diǎn)F，過(guò)F作直線交AB于E，交BC的延長(zhǎng)線于D，且使BC∶CD=1∶2，求AE∶CD的值。
　　這是一道較復(fù)雜的求比值的問(wèn)題，教學(xué)時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)作平行線構(gòu)造圖5或圖6基本圖形展開討論。在作平行線時(shí)還要啟發(fā)學(xué)生所作的平行線應(yīng)能與已知條件和所求結(jié)論相聯(lián)系，起到“橋梁”的作用，可提示學(xué)生通過(guò)關(guān)鍵點(diǎn)C或F作平行線構(gòu)造圖5或圖6的基本圖形，于是學(xué)生紛紛投入到探索的熱情之中。
　　學(xué)生1：如圖8，過(guò)點(diǎn)C作CH∥ED交AB于H，則△AEF和△AHC及△BCH和△BDE構(gòu)成圖5，由條件AF=FC和BC∶CD=1∶2，易求出AE:CD=2∶3。
　　學(xué)生2：如圖9，過(guò)點(diǎn)C作CH∥AB交DE于點(diǎn)H，則△CDH和△BDE構(gòu)成圖5，△AEF和△CHF構(gòu)成圖6，同樣可求得AE∶CD=2∶3。
　　學(xué)生3：如圖10，過(guò)點(diǎn)F作FH∥BD交AB于H，則△AHF和△ABC、△EHF和△EBD構(gòu)成圖5可求解。
　　學(xué)生4：如圖11，過(guò)點(diǎn)F作FH∥AB交的BD于H，則△CHF和△CBA，△DHF和△DBE構(gòu)成圖5也可求解。
　　此時(shí)教師應(yīng)及時(shí)進(jìn)行小結(jié)，鼓勵(lì)學(xué)生勇于探索的精神，同時(shí)更進(jìn)一步指出：能否過(guò)其他點(diǎn)作平行線構(gòu)造基本圖形？引導(dǎo)學(xué)生思維向外部發(fā)散。經(jīng)過(guò)探究，學(xué)生很快又得到如圖12、如圖13作平行線的解法，解題思路得到充分的拓寬。
　　再讓學(xué)生對(duì)每一種方法進(jìn)行解答。
　　這里，我們清楚地看到了“基本圖形”在復(fù)雜問(wèn)題中產(chǎn)生的作用，體現(xiàn)了抓“基本圖形”的教學(xué)方法的效果。因此，在解決幾何問(wèn)題時(shí)，運(yùn)用基本圖形的性質(zhì)，發(fā)揮它的模型作用，添加輔助線就有規(guī)可循。
　　通過(guò)對(duì)典型習(xí)題進(jìn)行橫向推廣、縱向延伸，可達(dá)到一題多變、一題多用、以點(diǎn)帶面的教學(xué)效果。上面的例子，我們看到了對(duì)例題、習(xí)題進(jìn)行深入探索、引申、加工成多個(gè)結(jié)論，便會(huì)得到一系列縱橫溝通的好題目，這不僅有助于克服題海戰(zhàn)術(shù)，還能激起學(xué)生探索的欲望，拓寬他們的思路，活躍思維，培養(yǎng)他們勇于探索的個(gè)性品質(zhì)和創(chuàng)新能力。
　　 （龍川縣田心第二中學(xué)）