對(duì)物理圖像中斜率問題的幾點(diǎn)釋疑

　　運(yùn)用物理圖像解題，是近幾年高考命題熱點(diǎn)之一。物理過程及物理量之間的關(guān)系都可以用圖像來表示，這是研究物理問題和學(xué)好物理的重要方法和手段。在物理圖像的教學(xué)中，我們應(yīng)注重圖像的斜率、截距所代表的意義，弄清圖像的涵義，可以提升學(xué)生解讀圖像、應(yīng)用圖像的水平。
　　在教學(xué)中對(duì)圖像斜率的理解也大有文章可做。若單從數(shù)學(xué)角度來理解這個(gè)斜率，則會(huì)進(jìn)入一個(gè)思想誤區(qū)。那么怎樣才能從物理角度很好地理解斜率問題呢？
　　一、斜率代表的不同含義
　　圖像中的斜率表示的物理意義各不相同，有我們熟悉的，像運(yùn)動(dòng)學(xué)中X-t圖像的斜率表示速度；電場(chǎng)中F-q圖像的斜率表示電場(chǎng)強(qiáng)度；光學(xué)中sini-sinr圖像的斜率表示折射率，等等。也有我們所不熟悉的，必須根據(jù)題目情景推導(dǎo)的。
　　例：如圖1甲所示，某同學(xué)在實(shí)驗(yàn)中通過定滑輪將質(zhì)量為m的物體提升到高處，并在這過程中測(cè)量物體獲得的加速度a與繩子對(duì)貨物豎直向上的拉力F的關(guān)系。若滑輪的質(zhì)量和摩擦均不計(jì)，物體獲得的加速度a與繩子對(duì)貨物豎直向上的拉力F之間的函數(shù)關(guān)系如圖乙所示。由圖可以判斷（）。
　　A.圖線與縱軸的交點(diǎn)M的值a=-g
　　B.圖線與橫軸的交點(diǎn)N的值F=mg
　　C.圖線的斜率等于物體的質(zhì)量m
　　D.圖線的斜率等于物體質(zhì)量的倒數(shù)
　　如何找出圖像的斜率、截距所代表的物理意義，關(guān)鍵是先找出橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)這兩個(gè)物理量之間的函數(shù)關(guān)系。根據(jù)題目，先找出a與F的函數(shù)關(guān)系：F-mg=ma，a=F-g 。由此可見圖線的斜率等于物體質(zhì)量的倒數(shù)，與縱軸的交點(diǎn)為-g。
　　二、曲線斜率的兩種不同處理辦法
　　在物理學(xué)中，線性元件圖線的切線斜率、割線斜率、該點(diǎn)到原點(diǎn)連線的斜率是重合的。但是，當(dāng)非線性元件的圖像是曲線時(shí)，這個(gè)斜率的準(zhǔn)確含義究竟是怎樣的呢？
　　1.物理圖像的切線斜率
　　圖像的斜率表示某一物理量的變化率，即某點(diǎn)的切線。在v-t圖像中，當(dāng)圖線為曲線時(shí)，表示物體做加速度變化的直線運(yùn)動(dòng)，那么圖2的曲線代表物體的加速度是如何改變呢？加速度的大小a=，在Δt趨近于零時(shí)，表示瞬時(shí)加速度的大小，與該點(diǎn)的切線斜率的大小相等。
　　圖2中，隨著時(shí)間的增加，物體的速度逐漸增大，而圖線上各點(diǎn)切線的斜率大小卻在減小，即加速度大小在逐漸減小。
　　又如交變電流中研究單匝矩形線圈在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中繞垂直于磁場(chǎng)的軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，以中性面為初始時(shí)刻，其磁通量φ與時(shí)間t的關(guān)系圖線如圖3所示。
　　在不同的時(shí)刻產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)不同。E＝，在Δt趨近于零時(shí)，代表瞬時(shí)電動(dòng)勢(shì)的大小，即圖線上該點(diǎn)的切線斜率代表瞬時(shí)電動(dòng)勢(shì)大小。在t=0時(shí)刻，φ=0，而切線的斜率E＝最大，所以此時(shí)瞬時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E最大。而t=t時(shí)刻，φ最大時(shí)，該點(diǎn)的切線的斜率為零，即此時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E為零。
　　2.物理圖像上某點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率
　　物理圖像中橫、縱坐標(biāo)的數(shù)值的比值可以表示不同的物理含義。在U-I圖像中，研究小燈泡的伏安特性曲線，如圖4所示。A點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的電阻（高中階段一般只研究靜態(tài)電阻）是A點(diǎn)的切線斜率嗎？
　　切線斜率的大小R＝。這顯然不對(duì)，給導(dǎo)體一個(gè)瞬時(shí)電壓U，就會(huì)有一個(gè)瞬時(shí)電流I，靜態(tài)電阻R的值不需要電壓或電流的變化過程，不是根據(jù)R＝求出。靜態(tài)電阻R＝，應(yīng)理解為曲線上該點(diǎn)與原點(diǎn)的連線的斜率大小。
　　上例中交變電流中研究單匝矩形線圈在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中繞垂直于磁場(chǎng)的軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，其磁通量φ-t的關(guān)系線如圖5所示。在圖上A點(diǎn)的瞬時(shí)電動(dòng)勢(shì)大小為A點(diǎn)的切線a的斜率大小，即E=0。而A點(diǎn)和原點(diǎn)O的連線b的斜率大小E＝=表示在0-t這段時(shí)間內(nèi)的平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小。
　　三、斜率大小不等同于tanθ
　　許多參考資料上把求解物理圖像斜率與求解數(shù)學(xué)圖像斜率混為一談，實(shí)際上二者不盡相同。數(shù)學(xué)中的斜率定義，由正切函數(shù)的定義可得到k==tanθ。
　　由于數(shù)學(xué)圖像中橫、縱坐標(biāo)所取的標(biāo)度相同，坐標(biāo)原點(diǎn)也是共用的。但在物理圖像問題中就不同了，物理圖像中橫、縱坐標(biāo)的數(shù)值表示不同的物理含義，橫、縱坐標(biāo)單位長度表示的物理量的大小往往也不相同，即使是坐標(biāo)原點(diǎn)有時(shí)也不是共用的（0，0）。因此斜率k通常不能用tanθ的數(shù)值來等同。
　　下面我們舉一例子來說明：平拋運(yùn)動(dòng)可以分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)，在同一坐標(biāo)系中作出兩分運(yùn)動(dòng)的V-t圖線如圖6所示，則以下說法正確的是（）。
　　A.圖線1表示水平分運(yùn)動(dòng)的V-t圖線
　　B.圖線2表示豎直分運(yùn)動(dòng)的V-t圖線
　　C.t時(shí)刻物體的速度方向與初速度方向的夾角為45°
　　D.若圖線2的傾角為θ，當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹間，則一定有tanθ=g。
　　在選項(xiàng)D中，往往有學(xué)生會(huì)認(rèn)為tanθ=g是正確的，這也是因?yàn)槭艿搅藬?shù)學(xué)上概念的影響。
　　圖線2的斜率不變，=g=v/t，為什么不能看成tanθ=g呢？在圖6中，如果t取在原來位置的左邊，如圖7所示，則直線2與t軸的夾角顯然變大，但g仍等于v/t，而tanθ的大小顯然和剛才不同。所以只有在坐標(biāo)軸的比例標(biāo)度相同時(shí)，斜率方可與夾角的正切值相等。
　　總之，圖像的斜率是分析、處理物理問題的一種重要工具。利用它可使復(fù)雜的物理問題簡單化、清晰化，使解題起到事半功倍的效果。要學(xué)好物理圖像，就要先正確理解斜率在物理問題中的含義并掌握其應(yīng)用。
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請(qǐng)以PDF格式閱讀”