新形勢下如何搞好高職微積分的教與學

　　摘 要： 本文作者分析了目前高職院校數(shù)學課教學的現(xiàn)狀，并就如何搞好微積分的教與學提出了幾方面的設想。
　　關鍵詞： 高職 數(shù)學課 現(xiàn)狀 微積分 教與學
　　
　　一、目前高職院校數(shù)學課教學的現(xiàn)狀
　　首先，隨著全國各大高校紛紛擴大招生規(guī)模，學生入學的門檻都不同程度地降低，各高職院校的招生更是排在梯隊之尾，錄取的學生大多是因各種原因上不了本科，或者干脆就是成績不如人意，只好上高職院校，和同學比起來，心里上有一種失落感，從而使得他們對待學習有種本能的敷衍和不主動的情緒，對待數(shù)學學習也不例外。
　　其次，數(shù)學課本身的特點注定它不會是學生的最愛。數(shù)學是深奧和枯燥的，學習數(shù)學的目的在于培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S能力、快速準確的計算能力和縝密的推理判斷能力，而這些能力的培養(yǎng)都離不開堅持不懈的學習。而這正是目前大多高職院校學生所欠缺的。
　　再次，數(shù)學課是目前高職院校所有課程系統(tǒng)中極重要而又不斷被削減的課程，處境尷尬。
　　一方面，現(xiàn)在各個高職院校普遍更加重視培養(yǎng)學生的各種動手能力，要求考取更多的等級證書，為了保證其他課程相對充裕的課時，只能在基礎課上動腦筋，數(shù)學課時也因此不斷地被削減。另一方面，許多專業(yè)課，尤其是機械類、電氣類和工程類等專業(yè)，又需要更多的數(shù)學知識，許多專業(yè)課教師抱怨學生數(shù)學知識欠缺，而數(shù)學課是一門系統(tǒng)性非常強的課程，只能循環(huán)漸進，不能建空中樓閣。而系統(tǒng)的講授需要有更多的課時來保證。這就形成了一個兩難的局面。
　　最后，目前各高職院校普遍更加重視專業(yè)課師資的建設，對基礎課教師的培養(yǎng)則不是那么迫切，對數(shù)學教師更是如此。以我所了解的湘西北幾所高職院校為例：一方面， 每個班級每學期的課時少，但班級的數(shù)量大，教師人手少，每個教師所帶的班級多，教師負擔極重，平均每個教師每星期的課時大多有10─20節(jié)。趕寫教案，批改作業(yè)就占去了大部分時間和精力，根本無力深鉆教材，創(chuàng)新思維，沒有機會和外界交流，更是鮮有充電深造的機會，幾年一貫制。這也是造成本課程枯燥乏味的一個重要原因。
　　二、如何搞好高職微積分的教與學
　　高職教育介于本科教育和中專教育之間，生源不同，要求不同，教學方法也應相應地調(diào)整。
　　根據(jù)教育部最新制定的《高職高專教育高等數(shù)學課程教學基本要求》，高職院校的數(shù)學課程要培養(yǎng)學生良好的推理判斷能力、準確的計算能力和一定的自學能力，要求“聯(lián)系實際，深化概念，加強計算，靈活應用，邏輯論證，勇于創(chuàng)新，提高素質(zhì)?！币浞肿龅揭詰脼槟康?，以必需夠用為度。參照這個要求，對于目前高職院校中學生的特殊情況和師資及課程的特點，如何更好地開展數(shù)學教學，搞好微積分的教與學呢?本文有如下幾方面的設想。
　　（一）追本溯源，弄清微積分的起源和大致發(fā)展的過程。
　　微積分是高等數(shù)學的一個重要分支，主要是研究函數(shù)的微分、積分，以及有關概念和應用，是建立在實數(shù)、函數(shù)和極限的基礎上的。極限和微積分的概念可以追溯到古代，到了十七世紀后半葉，牛頓和萊布尼茨完成了許多數(shù)學家都參加過準備的工作，分別獨立地建立了微積分學。他們建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，理論基礎是不牢固的。直到十九世紀，柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論，康托爾等建立了嚴格的實數(shù)理論，這門學科才得以嚴密化。
　　促使微積分產(chǎn)生的因素，歸結起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現(xiàn)的，也就是求即時速度的問題;第二類問題是求曲線的切線的問題;第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題;第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用于另一物體上的引力等。
　　微積分包括微分學和積分學。微分學的主要內(nèi)容有極限理論、導數(shù)、微分等；積分學的主要內(nèi)容有定積分、不定積分等。
　?。ǘ┙榻B理論，突出重點。
　　詳實介紹各理論，注意突出重點內(nèi)容，切實教會學生如何求極限，如何求導數(shù)微分，如何求積ZaOpnNf2/uQOmkUwp8LFvw==分。根據(jù)大綱要求，對高職學生，只需要把微積分的基本概念、基本定理交待清楚，無需過多關注理論的推導和證明，重點在于如何利用這些理論和公式法則來解決問題。以下分三個方面來論述。
　　1.極限理論應當厘清的問題和方法
　　介紹有關極限的理論之后，可以總結求極限的方法大致有幾種：觀察法，利用無窮小的性質(zhì)和無窮小的替換，利用兩個重要極限，利用洛比達法則，換元法等。
　　例1.求極限：
　　解：1+=1+?搖?1+?搖=e
　　2.導數(shù)和微分應當理解的概念和典型題目的典型做法
　　（1）在介紹完導數(shù)的來源和定義之后，向學生交待清楚:從代數(shù)學的角度來看，導數(shù)是個極限值，是個常數(shù)，即:=f′（x）==；而從幾何學的角度來看，導數(shù)是曲線C在定點x的切線的斜率，即:f′（x）=k=tanα其中α是切線的傾角。
　　（2）要求學生熟練掌握求導數(shù)求微分的法則與公式，即導數(shù)四則運算法則，復合函數(shù)求導法則，反函數(shù)求導法則，隱函數(shù)求導法則，參數(shù)方程求導和高階導的求法。
　?。?）熟練掌握這些公式和法則，是學好微積分的關鍵和基礎，要求學生對這些基本的公式和法則先要理解、認識、熟記，再多做練習，在實踐中加以領會，積累解題經(jīng)驗和技巧。
　　例2.求由方程ysinx-cos（x-y）=0所確定的函數(shù)y=f（x）的導數(shù).
　　解:兩邊先對x求導，再解方程，則:
　?。▂sinx）′=［cos（x-y）］′?圯y′＝.
　　例3.設y=ecos2x，求dy.
　　解:利用微分形式不變性，則:
　　dy=d（ecos2x）=ed（cos2x）+cos2xd（e）
　　 =-2sin2x?edx-3cos2x?edx
　　 =-e（2sin2x+3cos2x）dx
　　3.積分概念的理解和計算
　　（1）積分包括不定積分和定積分兩部分，要讓學生明確：不定積分起源于已知導函數(shù)求原函數(shù)之類的問題，換句話說不定積就是解決求原函數(shù)的問題；而定積分起源于計算曲邊梯形的面積、變力作功、曲線的長、物體的體積，等等之類的問題；不定積分和定積分是完全不同的概念，把它們有機聯(lián)系起來的，是Newton—Leibniz公式，即：?蘩f（x）dx=［?蘩f（x）］=F（b）-F（a）。其中F（x）是f（x）的一個原函數(shù)。
　?。?）求不定積分的方法主要有直接用公式法（不定積分公式可以從求導公式反推得到，本文略），第一類換元積分法（湊微分法）和第二類換元法積分（包括三角代換法），分部積分法。要讓學生明確何時用何種方法，有時可能要幾種方法綜合運用。
　　例4.求?蘩（4x+5）dx.
　　解:?蘩（4x+5）dx?蘩（4x+5）d（4x+5）=?（4x+5）+C。
　　例5.求?蘩dx.
　　解:令=t?圯x=?圯dx=-dt，
　　原式=-2?蘩dx=-2?蘩1+dt=-2t-ln+C.
　　（3）定積分最初起源于平面圖形面積的計算，在介紹完定積分的概念和性質(zhì)之后，可以總結定積分的求法大致如下：按定義求、按幾何意義求、按Newton—Leibniz公式求、用換元法和分部積分法求。當然，前兩種方法有時過于繁煩，我們重點要求學生掌握后面三種方法。
　　例6.求?蘩dx。
　　解:原式=?蘩d（1+e）ln（1+e）|=1
　?。ㄈW習理論，了解微積分的初步應用。
　　1.導數(shù)的應用
　?。?）研究函數(shù)的性質(zhì)，作函數(shù)的圖像。函數(shù)的性質(zhì)包括單調(diào)性，極值，最值，凹凸性，拐點，漸近線，最終作出函數(shù)比較精確的圖形。這是一個重點內(nèi)容。
　?。?）利用導數(shù)求函數(shù)的極限。即利用洛比達法則求極限，這也是學生必須掌握的。
　?。?）導數(shù)在經(jīng)濟數(shù)學的簡單應用。這一點在經(jīng)濟類專業(yè)中要重點介紹。
　　2.微分的應用
　　主要介紹微分在近似計算中的應用。一方面利用Δy≈dy計算函數(shù)改變量的近似值，一方面利用f（x+Δx）≈f（x）+f′（x）Δx或f（x）≈f（0）+f′（0）?x，［x→0］時，計算函數(shù)的近似值。
　　3.積分的應用
　　主要介紹定積分的應用，包括:
　?。?）利用定積分計算平面圖形的面積;
　?。?）利用定積分計算幾何體的體積;
　?。?）利用定積分計算平面曲線的長;
　?。?）利用定積分計算某些物理量，比如液體的壓力，變力作的功，物體的引力，幾何體重心的測定和質(zhì)量的計算等。
　　三、結語
　　高職學生是個特殊群體，基礎比較差，接受能力相對較弱，這就要求教師因材施教，有針對性地擬定授課計劃，既要保證學生能夠接受，又要保證在以后的工作和進一步的學習中夠用，這是高職教育中的新課題，有待進一步認真研究。
　　
　　參考文獻：
　?。?］復旦大學等.高等數(shù)學［M］.高教出版社，1988.
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”