函數零點問題的探究

　　摘 要： 函數的零點是考綱上要求的基本內容，也是高中新課程標準新增內容之一，是函數的重要性質。它是溝通函數、方程、圖像的一個重要媒介。因此處理函數零點問題時，需充分運用等價轉化、函數與方程、數形結合等思想方法。本文主要歸納了關于函數零點的幾種題型及其解法。
　　關鍵詞： 函數零點 意義 概念 題型 解法
　　
　　高中新課程標準在數學必修1第三章函數的應用中新增了函數的零點一部分.函數是中學數學的核心概念，核心的根本原因之一在于函數與其他知識具有廣泛的聯系性，而函數的零點就是其中的一個鏈結點，它從不同的角度，將數與形、函數與方程有機地聯系在一起.
　　一、函數零點的意義
　　在系統地掌握了函數的概念及性質，基本初等函數知識后，學習方程的根與函數的零點之間的關系，并結合函數的圖像和性質來判斷方程的根的存在性及根的個數，從而掌握函數在某個區間上存在零點的判定方法，為“二分法求方程的近似解”和后續學習的算法提供了基礎．因此方程的根與函數的零點的內容具有承前啟后的作用，意義重大.
　　二、函數零點的概念
　　1．函數零點的定義
　　對于函數y=f（x）（x∈D），把使f（x）=0成立的實數x叫做函數y=f（x）（x∈D）的零點．
　　2．幾個等價關系
　　方程f（x）=0有實數根?圳函數y=f（x）的圖像與x軸有交點?圳函數y=f（x）有零點.
　　3．函數零點的判定（零點存在性定理）
　　如果函數f（x）=0在區間［a，b］上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且有f（a）?f（b）＜0，那么函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也就是f（x）=0的根．
　　三、函數零點的題型及解法
　　【題型一】解方程：當對應方程易解時，可通過解方程，看方程是否有根落在給定區間上.
　　［例1］函數f（x）=x-的零點為________．
　　解析：由x-=0（x≠0）得：x-4=0（x≠0），
　　∴x=±2，即函數f（x）的零點為-2和2.
　　［知識遷移1］（2010?福建高考）
　　函數f（x）=x+2x-3（x≤0）-2+lnx（x＞0）的零點個數為（）
　　A．0 B．1C．2D．3
　　解析：令f（x）=0，得x≤0x+2x-3=0或x＞0lnx=2，
　　∴x=-3或x=e，∴答案為C.
　　［知識遷移2］已知函數f（x）=4+m?2+1=0有且只有一個零點，則實數m的值為?搖?搖?搖?搖.
　　解析：由題知：方程4+m?2+1=0只有一個零點．
　　令2=t（t＞0），
　　∴方程t+m?t+1=0只有一個正根，
　　∴由圖像可知-＞0Δ=0，∴m＝-2.
　　小結：這類題型主要考查函數零點的有關知識，考查等價轉化、函數與方程的思想等.
　　【題型二】利用函數零點的存在性定理進行判斷.
　　［例2］已知函數f（x）=x+x+a（a＜0）在區間（0，1）上有零點，則a的范圍為?搖?搖?搖?搖．
　　解析：由題意f（0）?f（1）＜0，
　　∴a（2+a）＜0，
　　∴-2＜a＜0.
　　［知識遷移1］（2010?天津高考）
　　函數f（x）=2+3x的零點所在的一個區間是（）
　　A．（－2，－1） B．（－1，0） C．（0，1） D．（1，2）
　　解析：由題意可知f（-2）=-6＜0，f（-1）=-3＜0，f（0）=1＞0，f（2）＞0，f（-1）?f（0）＜0，因此在區間（-1，0）上一定有零點.∴答案為B.
　　［知識遷移2］（2011?新課標全國高考）
　　在下列區間中，函數f（x）=e+4x-3的零點所在的區間為（）
　　A．（-，0） B．（0，） C．（，） D．（，）
　　解析：∵f（）=e+4×-3＜0，f（）=e+4×-3＞0，
　　∴f（x）=e+4x-3的零點所在的區間為（，）.答案為C.
　　小結：這類題型主要考查函數零點的有關概念、判斷函數零點所在區間及函數零點存在定理等.
　　【題型三】通過畫函數圖像，觀察圖像與x軸在給定區間上是否有交點來判斷．
　　［例3］判斷函數f（x）=lnx+2x-6的零點個數．
　　解析：在同一坐標系畫出y=lnx與y=6-2x的圖像，由圖可知兩圖像只有一個交點，故函數f（x）=lnx+2x-6只有一個零點．
　　［知識遷移1］（2009?山東高考）若函數f（x）=a-x-a（a＞0，且a≠1）有兩個零點，則實數a的取值范圍是?搖?搖?搖?搖．
　　解析：令g（x）=a（a＞0，且a≠1），h（x）=x+a，分0＜a＜1，a＞1兩種情況．在同一坐標系中畫出兩個函數的圖像.如圖，若函數f（x）=a-x-a有兩個不同的零點，則函數g（x）、h（x）的圖像有兩個不同的交點．根據畫出的圖像只有當a＞1時符合題目要求．
　　［知識遷移2］（2011?山東高考）已知函數f（x）=logx+x-b（a＞0，且a≠1）.當2＜a＜3＜b＜4時，函數f（x）的零點x∈（n，n+1），n∈N，則n=?搖?搖?搖?搖.
　　解析：令y=logx，y=b-x，函數f（x）的零點就是這兩個函數圖像交點的橫坐標，由于直線y=b-x在y軸上的截距b滿足3＜b＜4，結合函數圖像，函數f（x）只有一個零點，因此n只能是1或者2或者3.f（1）=1-b＜0，f（2）=log2+2-b＜1+2-3=0，f（3）=log3+3-b＞1+3-4=0.根據函數零點存在性定理可得，函數f（x）的零點在區間（2，3）內，故n=2.
　　小結：這類題型主要考查函數的應用、函數零點的有關概念、一次函數、指數函數、對數函數的基礎知識，考查分析問題、解決問題的能力，考查等價轉化、數形結合的思想，等等.
　　根據以上的題型及解法分析，我們把函數的零點問題的解決總結為：判斷函數在某個區間上是否存在零點，要根據具體問題靈活處理，當能直接求出零點時，就直接求出進行判斷；當不能直接求出時，可根據零點存在性定理進行判斷；當用零點存在性定理也無法判斷時可畫出圖像判斷．
　　從近幾年的高考試題來看，函數的零點、方程的根的問題是高考的熱點，題型既有選擇題、填空題，又有解答題．利用函數零點的存在性定理或函數的圖像，對函數是否存在零點（方程是否存在實根）進行判斷或利用零點（方程實根）的存在情況求相關參數的范圍，是高考中常見的題目類型．
　　
　　參考文獻：
　　［1］張明亮主編.步步高?高考總復習?新課標.黑龍江教育出版社，2010.2.
　　［2］孫翔峰主編.三維設計?高考總復習?新課標.光明日報出版社，2011.4.