以學(xué)生為本是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計的出發(fā)點

　　摘 要： 本文以《正弦定理的引入、探索、發(fā)現(xiàn)與證明》一課教學(xué)為例，指出新課程理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，是師生之間交往互動與共同發(fā)展的過程，其核心是學(xué)生動手實踐、自主探索、合作交流.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計的出發(fā)點是以學(xué)生為本.
　　關(guān)鍵詞： 新課程 以學(xué)生為本 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)
　　
　　1.創(chuàng)設(shè)情境引入正弦定理
　　【板書】第一章 解三角形
　　【引入】同學(xué)們請看我們將要學(xué)習(xí)的本章標題:解三角形.我們知道三角形可分為直角三角形與斜三角形;而直角三角形的邊與角的關(guān)系在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過，故如何解直角三角形我們已經(jīng)熟悉，下面重點來研究怎樣解斜三角形.
　　提出問題:什么叫解斜三角形?
　　【教師】類比解方程（求方程中未知數(shù)的過程），解斜三角形是指由六個元素（三條邊和三個角）中的三個元素（至少有一個是邊）.求其余三個未知元素的過程.簡稱：求斜三角形中未知的邊和角的過程.
　　如:根據(jù)下列條件解三角形:a=16，b=26，A=30°.
　　提出問題:如何解決上述問題呢？同學(xué)們先回憶以前所學(xué)過的有關(guān)斜三角形的邊和角有哪些重要的結(jié)論.
　　【學(xué)生回答】
　　1.三角形內(nèi)角和定理:三角形三個內(nèi)角的和等于180°;
　　2.三角形任意兩邊的和大于第三邊（或三角形任意兩邊的差小于第三邊）；
　　3.三角形中，較大的邊所對的角較大;較大的角所對的邊較大.
　　【教師歸納】由結(jié)論（1）可知：已知三角形的兩個內(nèi)角，可以求出第三個內(nèi)角;而結(jié)論（2）、（3）只是定性給出三角形中邊、角之間的關(guān)系，對于要想求出三角形邊和角的準確值（解三角形）作用不大。所以要想直接利用它們解決上述問題還比較困難.因此，我們還要進一步探討:在任意三角形中，邊長和角之間還有什么關(guān)系?（由此引入為什么要學(xué)習(xí)正弦定理）
　　2.正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)與證明
　　2.1從特殊三角形入手進行觀察發(fā)現(xiàn).
　　【學(xué)生活動】
　　1.讓學(xué)生觀察并測量一個三角板的邊長，例如，量得三角板三內(nèi)角所對的三邊長分別約為5cm，8.6cm，10cm.提出問題:你能發(fā)現(xiàn)三邊長與其對角的正弦值之比之間的關(guān)系嗎?
　　結(jié)論：=10，≈10，=10.
　　2.（在任意的直角三角形中探討）如圖1，在Rt△ABC中，你能否發(fā)現(xiàn)類似的結(jié)論?
　　根據(jù)銳角三角函數(shù)定義:sinA=，sinB=，sinC=1=，
　　所以==.
　　【教師】對于特殊三角形，我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律==.
　　提出問題:上述規(guī)律，對任意三角形成立嗎?
　　2.2實驗，探索規(guī)律.
　　【學(xué)生活動】二人合作，先在紙上作一個任意銳角（銳角或鈍角）三角形（如圖2），測量三邊長及其三個對角，然后用計算器計算每一邊與其對角正弦值的比，填入下面表中，驗證前面得出的結(jié)論是否正確.（其中，角精確到分，邊精確到0.1cm，結(jié)果保留3位有效數(shù)字）
　　2.3得出實驗結(jié)論.
　　【學(xué)生小結(jié)】忽略測量誤差，通過實驗，對任意三角形，有結(jié)論==，即在一個三角形中，各邊和它所對的角的正弦的比相等.
　　【教師】提出問題:上述的探索過程所得出的結(jié)論，只是我們通過實驗（近似結(jié)果）發(fā)現(xiàn)的一個結(jié)果，如果我們能在理論上證明它是正確的，則把它叫做正弦定理.那么怎樣證明呢?
　　【板書】正弦定理:三角形的各邊和它所對角的正弦之比相等.即
　　==
　　2.4研究定理的證明方法.
　　【教師引導(dǎo)】方法一：通過三角形面積證明.
　　如圖3，由銳角三角函數(shù)的定義可得：
　　△ABC的面積為S=BC?AD=acsinB.
　　同理S=absinC及S=bcsinA，
　　所以acsinB=absinC=bcsinA，
　　所以==.
　　【教師引導(dǎo)】方法二：向量法.
　　①若△ABC為直角三角形，由銳角三角函數(shù)的定義知定理成立.
　　②若△ABC為銳角三角形，過點A作單位向量垂直于，則向量與向量的夾角為90°-A，向量與向量的夾角為90°-C（如圖4），且有+=，所以?（+）=?，即?+?=?.展開，||||cos90°+||||cos（90°-C）=||||cos（90°-A），則得asinC=csinA，即=.同理，過點C作單位向量垂直于，可得=，故有==.
　　③若△ABC為鈍角三角形，不妨設(shè)A＞90°角（如圖5），過點A作單位向量垂直于，則向量與向量的夾角為A-90°，向量與向量的夾角為90°-C，且有+=，同樣可證得==.
　　【教師】提出問題:你還能利用其他方法證明嗎?請同學(xué)們課后自己利用平面幾何中圓內(nèi)接三角形（銳角、鈍角和直角）及同弧所對的圓周角相等知識，將△ABC中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為以直徑為斜邊的直角三角形中去探討證明方法.
　　3.課后反思
　　3.1新課程倡導(dǎo)在教學(xué)中要注重數(shù)學(xué)知識的來龍去脈，數(shù)學(xué)知識的形成源于實際的需要和數(shù)學(xué)內(nèi)部的需要.從數(shù)學(xué)內(nèi)部需要出發(fā)引入新的知識，需要讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、分析問題并探索解決途徑，驗證并應(yīng)用所得的結(jié)論的全過程，教師切忌和盤端出.本案例，學(xué)生通過回憶所學(xué)過的有關(guān)三角形知識，發(fā)現(xiàn)要想解斜三角形，所學(xué)的知識還不夠，為了解決這一矛盾，還需要進一步研究、探討任意三角形的邊角關(guān)系，這樣讓學(xué)生知道我們學(xué)習(xí)正弦定理主要源于數(shù)學(xué)內(nèi)部需要，并為今后進一步利用它解決實際問題所服務(wù).
　　3.2傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容重結(jié)果輕過程，形成結(jié)果的生動過程往往被單調(diào)機械的條文所取代，所以數(shù)學(xué)教學(xué)中有太多的機械、沉悶和程式化，缺乏生機、樂趣和對好奇心的刺激.于是，學(xué)習(xí)無需智慧，只要認真聽講和單純記憶，讀書不必深入思考，做題不必詰問創(chuàng)新，排斥了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的思考和個性.本案例，通過對特殊三角形（直角三角形）的各邊與所對角的正弦值之比尋找規(guī)律，進而推廣到任意三角形.這種由特殊到一般的猜想屬于合情推理，關(guān)注合情推理能力地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。當然，由合情推理得到的猜想常常需要證明（演繹推理），故又進一步探討了正弦定理的證明，從而讓學(xué)生體會到演繹推理和合情推理是既不相同又相輔相成的兩種推理形式.
　　3.3《新課程標準》指出:動手實踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動應(yīng)該是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程.數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方式不能再是單一的、枯燥的、以被動聽講和練習(xí)為主的方式，它應(yīng)該是一個充滿生命力的過程，學(xué)生要有充分的進行數(shù)學(xué)活動的時間和空間，在自主探索、親身實踐、合作交流的氛圍中，解決困惑，更清楚地明確自己的思想，并有機會分享自己和他人的想法.本案例，在正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)過程中，學(xué)生通過自己動手實踐，自主探索，尋找規(guī)律，得出結(jié)論.在驗證結(jié)論時，又通過二人合作完成表格，進一步明確結(jié)論.這對于提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，改變傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方式，落實新課標的精神起到了積極作用.
　　3.4數(shù)學(xué)教學(xué)過程是教師引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)活動的過程.首先，數(shù)學(xué)活動就是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過程的活動，數(shù)學(xué)活動就是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，探索、掌握和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的活動.簡單地說，在數(shù)學(xué)活動中要有數(shù)學(xué)思考的含量，數(shù)學(xué)活動不是一般的活動，而是讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過程的活動，數(shù)學(xué)化是指學(xué)習(xí)者從自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實出發(fā)，經(jīng)過自己的思考，得出有關(guān)數(shù)學(xué)結(jié)論的過程.其次，數(shù)學(xué)活動又是學(xué)生自己建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的活動.從建構(gòu)主義的角度來看，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是指學(xué)生自己建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的活動，學(xué)生與教材（文本）及教師產(chǎn)生交互作用，形成了數(shù)學(xué)知識、技能和能力，發(fā)展了情感態(tài)度和思維品質(zhì).每位數(shù)學(xué)教師都必須深刻認識到，是學(xué)生在學(xué)數(shù)學(xué)，學(xué)生應(yīng)當成為主動探索知識的“建構(gòu)者”，而不是模仿者.無論教師的教還是學(xué)生的學(xué)，都要在學(xué)生那里得到充分體現(xiàn)，不懂得學(xué)生能建構(gòu)自己的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，不考慮學(xué)生作為主體的教學(xué)，不會有好的效果.
　　
　　參考文獻：
　　［1］數(shù)學(xué)課程標準解讀（實驗稿）.教育部基礎(chǔ)教育司.