復變函數積分方法的教學思考

　　摘 要： 復變函數積分是復變函數這門課程的一個重要的知識點，然而它比高等數學中的積分內容復雜得多。本文集中討論了復變函數積分的方法，通過積分方法的比較可以幫助學生更好地掌握復變函數這門課程。
　　關鍵詞： 復變函數 積分方法 沿非封閉曲線的積分 沿封閉曲線的積分
　　
　　復變函數是許多工科專業如自動化控制、交通工程、電子信息等必修的數學課程，學好復變函數可以為工科學生學習后續專業課程打下良好的數學基礎.但是，由于課程內容抽象瑣碎，學生學習這門課程有一定難度，容易失去學習興趣.鑒于此，教師在教學過程中，如何幫助學生尋找合適的“竅門”，降低學習難度，激發學習興趣，對學生學好復變函數非常重要.考慮到復變函數是高等數學的后續課程，學生對高等數學中實變量的函數積分非常熟悉，而縱觀復變函數整個課程的內容，積分理論在大部分章節都占據了重要地位，并且它把許多經典內容如柯西—古薩定理、復合閉路定理、留數定理等有機地結合起來了，那么在復變函數的教學過程中，若把積分理論作為整個復變函數課程內容的一條線索，就會幫助學生理解得更加具體，從而提高學生學習的興趣.本文集中討論復變函數積分的常用理論和方法，并輔以適當的例題加深理解.
　　根據積分路徑的不同，復變函數積分大致可分為以下兩類：沿非封閉曲線的積分和沿封閉曲線的積分.另外，本文還討論了一個特殊情形的積分，即無窮限的廣義積分.
　　一、沿曲線C（非封閉）的積分?蘩f（z）dz
　　當積分路徑是非封閉的曲線時，可以用參數法和牛頓—萊布尼茲積分公式法.
　　1.參數法
　　路徑是光滑的有向曲線C且可以表示成參數方程z=z（t），α≤t≤β，參數α、β分別對應C的起點和終點，則曲線積分可以用如下的公式計算：
　　?蘩f（z）dz=?蘩f［z（t）］z′（t）dt.
　　例1．計算?蘩zdz，其中C為從原點到1+3i的直線段.
　　解：將C的方程寫作z=（1+3i）t，0≤t≤1，則：
　　?蘩zdz=?蘩（1+3i）td（1+3i）t=?蘩（1+3i）dt=-8+6i.
　　2.線積分法
　　如果f（z）=u（x，y）+iv（x，y）是連續函數，C是光滑曲線y=g（x），則?蘩f（z）dz可以轉變為兩個二元實變函數的線積分，即：
　　?蘩f（z）dz=?蘩udx-vdy+i?蘩vdx+udy.
　　例2．計算積分?蘩（x+yi）dz，其中C為拋物線y=2x，0≤x≤1.
　　解：u=x，v=y，則：
　　?蘩（x+yi）dz=?蘩xdx-?蘩（2x）d（2x）+i?蘩（2x）dx+?蘩xd（2x）=?蘩（x-16x）dx+i?蘩（4x+4x）dx=-+i.
　　3.牛頓—萊布尼茲積分公式法
　　如果f（z）在單連通區域D內處處解析，G（z）為f（z）在區域D的一個原函數，z與z是區域D內兩點，則：
　　?蘩f（z）dz=G（z）-G（z）.
　　例3.沿區域Im（z）≥0，Re（z）≥0內的圓弧|z|=1計算積分?蘩dz的值.
　　解：被積分函數在所給區域內處處解析，它的一個原函數為ln（z+1），則：
　　?蘩dz=ln（z+1）|=［ln（1+i）-ln2］=--ln2+i.
　　二、沿封閉曲線C的積分?蓐f（z）dz
　　1.參數法
　　如果積分路徑是光滑的封閉曲線C且有參數方程z=z（θ），0≤θ≤2π，則曲線積分可以通過如下的公式計算：
　　Cf（z）dz=?蘩f［z（θ）］z′（θ）dθ
　　例4．計算C，其中C為以z為中心，r為半徑的正向圓圈，n為整數.
　　解：將C的方程寫作z=z+re，0≤θ≤2π，代入積分式得：
　　C=?蘩dθ=?蘩edθ=2πi，n=00，n≠0.
　　2.利用柯西—古薩基本定理積分法
　　如果f（z）在單連通區域B內處處解析，C是B的一條封閉曲線，則：
　　Cf（z）dz=0.
　　例5.計算積分Cdz，C：|z|=2.
　　解：因為f（z）=在圓周|z|=2內處處解析，所以積分結果為0.
　　3.利用高階導數積分法
　　如果f（z）是區域D上的解析函數，C是區域D內圍繞z的一條正向簡單封閉曲線，則：
　　C=（n=1，2，…）
　　例6.計算|z|=3dz
　　解：|z|=3dz=（cosπz）［４］|=-.
　　4.利用級數積分法
　　若f（z）在圓環域B內處處解析，C是B內的一條封閉曲線，將f（z）展開成洛朗級數，f（z）=c（z-z），則：
　　f（z）dz=c.
　　例7.計算積分|z|=２dz
　　解：f（z）=在1＜|z|＜+∞內解析，|z|=2在此區域內，則按洛朗級數展開有：
　　f（z）=-=-（1+++…）（1+++…）=-1---…，
　　則C=-2，所以|z|=２dz=2πi·（-2）=-4πi.
　　5.利用留數積分法
　　設函數f（z）在區域D內除有限個孤立奇點z，z，…，z外處處解析，C是D內包含這些奇點的一條封閉曲線，則
　　Ｃf（z）dz=2πiRes［f（z），z］.
　　例8.計算積分|z|=２
　　解：被積函數f（z）=在區域|z|≤2的奇點是-i與1，
　　所以|z|=２=2πi{Res［f（z），-i］+Res［f（z），1］}=-.
　　注意：若函數f（z）在封閉曲線內的奇點個數較多，曲線外的奇點個數較少，則根據f（z）在擴充復平面上的所有奇點（包括∞）的留數的總和必為零這一結論可得：
　　Ｃf（z）dz=-2πiRes［f（z），∞］（曲線外只有奇點∞）或Ｃf（z）dz=-2πi{Res［f（z），∞］+Res［f（z），z］}（z，z，…，z，∞為曲線外的奇點）.
　　例9．計算積分|z|=２dz
　　解：的奇點±1、±i在圓周|z|=2內，圓周外的奇點只有∞，則：
　　Ｃf（z）dz=-2πiRes［f（z），∞］=2πiRes［f（），，0］=2πiRes［，0］=0.
　　總之，復變函數的積分理論是實變量函數積分理論的推廣，但比實積分理論的內容要豐富和復雜得多.因而教師在講授時應幫助學生理解復變函數積分理論與高等數學中積分理論的聯系，同時又要強調二者的不同，這對學生掌握復變函數整個課程內容大有裨益.
　　
　　參考文獻：
　　［1］鐘玉泉.復變函數論［M］.北京：高等教育出版社，2004.
　　［2］陸慶樂.工程數學-復變函數（第四版）［M］.北京:高等教育出版社，1996.
　　［3］王綿森.復變函數學習輔導與習題選解［M］.北京:高等教育出版社，2003.
　　［4］王燕.復變函數積分的解法分析［J］.數學學習與研究，2009，12:90-91.
　　［5］唐寶慶，楊潤生，歐陽文等.對復變函數積分Ｃf（z）dz的計算在教學上的探討［J］.數學理論與應用，2010，1（30）:120-122.
　　
　　基金資助：國家自然科學基金資助項目（10801107）。