基于新課標下的高中數學方法論研究

　　摘 要： 本文對數學方法論進行了界定和分類，指出高中數學方法論的特點、蘊含的思想，以及對數學教學的意義，并詳細說明了數學方法論在新課標下的注意事項。
　　關鍵詞： 新課標 高中數學 數學方法論 數學教學
　　
　　如何按照數學家的思維模式去進行思維呢？我根據多年的教學經驗給出數學方法論的涵義。
　　1.數學方法論的界定和分類
　　1.1界定。
　　我國著名數學家、數學方法論的倡導者徐利治先生指出：“方法論(methodology)就是把某種共同的發展規律和研究方法作為討論對象的一門學問。”數學方法論主要是研究和討論數學的發展規律、數學的思想方法，以及數學中的發現、發明與創造等法則的一門新興學科。數學方法論很大程度上可以被說成對于數學思想（維）方法的研究，其目標就是幫助人們學會數學的思維。通過對具體數學事例的研究實現對真實思維過程的“理性重建”，獲得各個方法論原則的深刻體會，并使之真正成為“可以理解的”“可以學到手的”和“能夠加以推廣應用的”。
　　1.2分類。
　　數學科學和數學史料是數學方法論的源泉，同時，數學方法論還涉及哲學、思維科學，心理學、一般科學方法論、系統科學等眾多的領域。一般情況下，數學方法論分為以下兩類：數學宏觀方法論和數學微觀方法論。
　　數學宏觀方法論所研究的是整個數學的產生、形成和發展的規律，數學理論的構造，以及數學與其他科學之間的關系。研究宏觀方法論的主要途徑之一是研究數學史，另一條主要途徑是研究數學理論體系的構造。
　　數學微觀方法論所研究的是一些比較具體數學方法，特別是數學發現和數學創造的方法，包括數學思維方法、數學解題心理與數學解題理論，等等。
　　2.高中數學方法論的特點
　　數學方法對于數學的發展起著關鍵性的推動作用，許多比較困難的重大問題的解決，往往取決于數學概念和數學方法上的突破，如歷史上古希臘三大尺規作圖難題，就是笛卡爾創立解析幾何之后，數學家們借助解析幾何，采用了RMI［關系(relationship)—映射(mapping)—反演(inversion)］方法，才得到徹底解決。這又啟發了后來的數學家們采用類似的辦法解決了歐氏幾何與實數理論的相對相容性問題。
　　新課標下，高中數學教學特別強調數學思想和方法，主要表現在以下幾個方面。
　　2.1數學方法論的理論研究得到了發展。
　　對數學方法論的早期研究，十七世紀就已經開始了，法國數學家笛卡爾和德國數學家萊布尼茲都曾做過這方面的探討。歷史上不少著名的大數學家，如歐拉、高斯、希爾伯特等人也曾就數學方法淪的問題發表過許多精辟的見解。但是，對數學方法論進行系統的研究，還是最近幾十年的事，在這方面作了突出的貢獻，當首推美國數學家和數學教育家波利亞。最近幾十年來，由于現代電子計算機技術已經進入了人工智能和模擬思維的階段，就更加促使數學方法論蓬勃發展起來；信息論，控制論、認知科學和人工智能的最新研究成果相繼引進了數學方法論的領域。
　　1980年出版的《中學數學教材教法》中涉及“一些基本的數學思想和數學方法”，這里的數學思想和方法就是數學方法論。進入80年代之后，數學方法論有很大的發展。南京大學鄭毓信教授在《數學方法論》一書中有一段意味深長的開頭：“數學方法論現今對于我國數學界、特別是數學教育界已不是一個陌生的名稱……”特別是在徐利治教授的倡導下，數學方法論的研究已經形成了一個影響全國的氣候。
　　2.2數學方法論中的思想。
　　2.2.1抽象化思想。小學從具體事物的數量中抽象出數字，開創了算術運算的時期。中學用字母表示數，開創了在一般形式下研究數、式、方程的時期。高等代數用字母表示多項式、矩陣，開始研究具體的代數系統，進而又用字母表示滿足一定公理體系的抽象元素，開始研究抽象的代數系統——向量空間、歐氏空間。隨著概念抽象化程度不斷提高，數學研究的對象急劇增加。
　　2.2.2化歸思想。所謂的化歸思想方法，就是在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而解決問題一種方法。一般總是將復雜問題通過變換轉化為簡單問題；將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題；將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題。中學數學中，化無理方程為有理方程，化分式方程為整式方程，化三元一次方程組為二元一次方程組直至一元一次方程，從一切角度利用誘導公式都可以化成銳角形式來求其三角函數值，這些都用到化歸思想。總之，化歸在數學解題中幾乎無處不在，化歸的基本功能是：生疏化為熟悉，復雜化為簡單，抽象化為直觀，含糊化為明朗。
　　2.2.3分類討論思想。需要運用分類討論的思想解決的數學問題，就其分類的原則，可歸結為：①涉及的數學概念是分類定義的；②運用的數學定理、公式或運算性質、法則是分類給出的；③求解的數學問題的結論有多種情況或多種可能；④數學問題中含有參變量，這些參變量的取值的不同會導致結果的不同。應用分類討論，往往能使復雜的問題簡單化。
　　2.2.4類比推理思想。波利亞曾說：“類比是一個偉大的引路人。”在中學數學中，由兩個數學系統中所含元素的屬性在某些方面相同或相似，推出它們的其他屬性也可能相同或相似的思維形式被稱為類比推理，運用類比推理的模式解決數學問題的方法稱為類比法。在中學數學中，由分數的性質類比推理分式的性質；由兩直線的位置關系類比推理兩平面的位置關系；中學數學通過數軸建立了直線上點的坐標，類比建立平面上和空間直角坐標系中點的坐標。
　　3.數學方法論對數學教學的意義
　　數學方法論對于數學教學的積極意義主要在于：以數學方法論為指導進行具體數學知識內容的教學有助于我們將數學課“講活”、“講懂”、“講深”。
　　3.1數學課程目標改革的必然要求。
　　目前新課標下的數學課程改革，強調“情感態度與價值觀”，強調數學學習的“過程與方法”，強調“探究與發現”。在這種理念下，要使數學新課程改得以有效實施，教師就必須加強和重視數學方法的學習和研究，這樣對教材才有正確清楚的認識。
　　3.2數學課堂教學現代化的改革要求。
　　現在的數學課堂不再是單純的“傳授式”教學，新課標明確指出：“學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者和合作者。”意在進一步改變數學的教學模式，拓寬學生在數學教學活動中的空間，關注學生數學素養的提高。而數學方法論在教學實踐中以“問題解決”為中心組織教學，強調“數學的思維”，把問題作為載體，將數學思維方法的分析滲透到具體數學知識內容的教學中，使學生真正看到思維的力量，并使之成為可以理解的、可以學會的和能夠加以推廣應用的知識。
　　3.3數學教師專業化發展的客觀要求。
　　數學教師的專業發展，不僅要掌握深厚廣博的數學基礎，而且要了解數學發展的學科歷史，掌握數學的思想方法，深刻領會數學的內在本質，懂得其來龍去脈及數學的價值。對于從事數學教學的教師，不能不懂得數學發現的原理、規則和思想方法，它們能使我們在數學教學中更好地駕馭教材，把數學教學變得更為生動，教出方法、教出發現、教出創新。因此，數學方法論是數學教師專業發展及自身成長的必備知識。
　　四、數學方法論在教學實踐中注意的問題
　　數學方法論是一門實踐性的學科，它在教學實踐中主要體現在數學思想方法的教學和數學思維的培養。在教學中，應重視如何能將所學到的各種方法和策略應用到實際的數學活動中去，包括以數學思維方法的分析去帶動和促進具體數學知識內容的教學。
　　
　　4.1關注學生最近發展區。
　　在貫徹數學思想方法地教學中，要關注學生的最進發展區，盡可能幫助學生掌握現代數學思想方法并根據學生的差異，采取不同的思想方法，幫助學生完成學習遷移。布魯姆認為，教育的基本任務是找到這樣的策略，既考慮到個別的差異，又能促進個體最充分地發展。因此，教師應盡可能設計有利于學生發展的教學環節，如在教學設計、課堂探究等過程中，都應該注意不同層次的學生能不同程度地領會數學思想方法，使全體學生盡量使用數學思想方法分析問題、解決問題，最終使每個學生的數學水平都有所發展。
　　4.2設計數學情境，培養數學直覺。
　　數學直覺是一種不包括普通邏輯推理過程的直接悟性，它的思維方式是有其特別之處的。培養直覺思維，我們還要從數學的發現過程入手證明問題。現行的數學教材都是經過邏輯加工好的數學形式，定理的證明及公式的推導一般都是按照編排好的邏輯演繹方式進行講授。在證明問題前，如果能先將數學結論獲得前的推測簡要地重現給學生，或者將自己對結論的猜測告訴學生，又或者創設情境讓學生去猜測、提出疑問等引導學生探索“發現”結論將有助于培養學生的數學直覺。比如說下面例題：
　　橢圓+=1的焦點F、F，點P是橢圓上的動點，當∠FPF為鈍角時，求點P橫坐標的取值范圍。
　　分析：點P在橢圓上運動，要使∠FPF＞90°，憑借直覺，首先想到當∠FPF=90°時，點P的位置在哪里呢？又根據平面幾何知識可知點P又在以FF為直徑的圓周上，所以當∠FPF=90°時，點P為圓和橢圓的交點，由對稱性有-＜x＜。
　　根據直覺思維考查問題，還要重視各個元素之間的聯系，以及系統的整體結構，從整體上把握研究的內容和方向并選取數學問題供學生訓練，同時引導學生利用已有的知識去猜想、發現、最后論證。“直覺無處不在，直覺為我們打開發現真理的大門”。直覺思維是人類基本的思維形式。在數學教學中進行上述思考和探索加上善于聯想數形結合，就一定能提高學生的直覺思維能力。
　　
　　參考文獻：
　　［1］徐利治.數學方法論選講［M］.華中工學院出版社，1983.
　　［2］馬忠林，鄭毓信.數學方法論［M］.南寧：廣西教育出版社，2007.2.
　　［3］鄭毓信.數學方法論入門［M］.浙江教育出版社，2008.
　　［4］張禾瑞，郝鈵新.高等代數(第四版)［M］.北京：高等教育出版社，1999.
　　［5］波利亞.怎樣解題［M］.上海科技教育出版社，2007.
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文