三角函數問題中的數學思想

　　摘 要： 三角函數問題是中學數學重要內容之一，在數學的各個分支都有廣泛的應用，同時也是歷年高考的一個熱點。三角函數問題中所蘊涵的數學思想，更值得我們在教學過程中去開發和領悟。本文探討了三角函數問題中的多種數學思想方法。
　　關鍵詞： 中學數學 三角函數問題 數學思想
　　
　　一、數形結合思想
　　數形結合思想即運用數與形的關系來解決數學問題.可以借助數的精確性來說明形的某些屬性；也可借助形的直觀性來闡明數之間的某種關系.體現在三角函數中是利用單位圓中的三角函數線、三角函數圖像求三角函數定義域、解三角不等式、求單調區間、討論方程實根的個數、比較大小等.
　　例1.比較sin，cos，tan的大小.
　　解析：這些角都不是特殊角，求出值來再比較行不通，但如果我們注意到，，相差較大，容易利用單位圓上的三角函數線區分比較它們各自函數值的大小.
　　如圖所示，
　　設a=sin，b=cos，c=tan，
　　可知，b＜0＜a＜c，
　　因此，cos＜sin＜tan.
　　二、分類討論思想
　　分類討論是一種重要解題策略，“分類”，相當于縮小討論范圍，故能使復雜問題簡單化，從而將問題化整為零，各個擊破.體現在三角函數值受角所在象限的影響，在不同的象限有不同的三角函數值，因此就應根據求值或求角的需要對角的范圍或參數的范圍展開有序的討論.
　　例2.化簡：cosπ+α+cosπ-α，（n∈Z）
　　解析：原式=cosnπ++α+cosnπ--α
　　（1）當n為偶數即n=2k，（k∈Z）時：
　　原式=cos2kπ++α+cos2kπ--α
　　=cos+α+cos+α=2cos+α
　　（2）當n為奇數即n=2k+1，（k∈Z）時：
　　原式=cos2kπ+π++α+cos2kπ+π--α
　　=-cos+α-cos+α=-2cos+α
　　∴cosπ+α+cosπ-α=（-1）2cos+α
　　三、轉化與化歸思想
　　把所研究的問題轉化為與之等價的問題，將陌生問題轉化為熟悉問題，從而于找出問題的解決方法.體現在三角函數中就是切割化弦、統一角、統一函數名稱、換元等手段處理求值（域）、最值、比較大小等問題.
　　例3.求函數y=tanx+cotx-secx-cscx，x∈-，0的值域.
　　解析：先切割化弦，統一函數名稱，
　　得y=+--=.
　　令t=sinx+cosx，則sinxcosx=，t=sinx+
　　因為x∈-，0，所以t∈（-1，1）
　　于是求原函數的值域就轉化為求函數y=-，t∈（-1，1）的值域，解得y∈（-∞，-1）.
　　因此，原函數的值域為（-∞，-1）.
　　四、整體的思想
　　體現在三角函數中主要是利用整體代入、整體變形、整體換元、整體配對、整體構造等進行化簡求值、研究函數性質等.
　　例4.已知為三角形的一個內角，且滿足sinx+cosx=，求sinx-cosx的值.
　　解析：由條件和問題聯想到公式（sinx±cosx）=1±sinxcosx，可實施整體代換求值.
　　由sinx+cosx=兩邊同時平方，得sinx+2sinxcosx+cosx=，
　　即2sinxcosx=-.
　　因為（sinx-cosx）=1-2sinxcosx=，
　　又因為x為三角形的一個內角，sinx+cosx=＞0，2sinxcosx=-＜0，
　　所以sinx＞0，cosx＜0，則sinx-cosx＞0.
　　所以sinx-cosx=.
　　五、函數與方程思想
　　三角函數本身就一種特殊的函數，解決三角函數問題自然離不開函數與方程的思想.體現在某些三角函數問題可用函數的思想求解參數的值（范圍）問題；有些三角函數問題可以直接轉化為一元二次方程求解，還有一些三角問題，依據題設條件和求角結構，適當選取三角公式聯立組成方程組，以達到消元求值的目的，這是方程的思想在三角求值、證明等問題中的最直接體現.
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