高等數學競賽的絕對值與最值

　　摘 要： 本文作者結合往屆的高等數學競賽試題，分析了與絕對值有關的最值問題的三種類型，就每種情形歸納了解決絕對值問題的方法，對于參加高等數學競賽和拓展高等數學知識與技能具有指導意義。
　　關鍵詞： 高等數學競賽試題 絕對值 導數 最值
　　
　　絕對值函數是中學數學中重要的一元函數，它的連續性，最值，單調性等都有非常直觀的幾何解釋.高等數學是中學數學的直接后繼課程，運用高等數學解決實際問題往往要處理一些包含絕對值的問題.所以，必須熟練掌握解決絕對值問題的方法.
　　高等數學競賽旨在提高學生運用數學知識解決問題的能力，培養學生的創新思維，推動大學數學教學體系、教學內容和方法的改革［１］.各省（市）高等數學競賽往屆試題中有大量關于絕對值的問題，下面結合高等數學競賽試題歸納絕對值與最值的類型和解決問題的方法.
　　1.用絕對值定義函數的最值問題
　　第一類問題，用絕對值定義函數.通常做法是對定義域進行分割，去掉絕對值，將函數盡量簡化.
　　例1.2005年浙江省高等數學競賽（文專類）題：求函數f（x）=|x|+|x-1|+|x-3|的最小值.
　　評注：這事實上是中學數學問題.由于函數x，x-1，x-3分別在x=0，1，3的兩側變號，因此需要將實直線分割為4個子區間，然后化簡函數.在多元函數中也存在絕對值定義函數的最值問題.
　　例2.陜西省第七次大學生高等數學競賽復賽試題：求函數f（x，y）=max{|x-y|，|x+y|，|x-2|}的最小值［２］.
　　評注：將多元函數中絕對值去掉要麻煩得多.這個問題中x-y，x+y，x-2分別在直線y=x的上下兩側變號，在直線y=-x的上下兩側變號，以及在直線x=2左右兩側變號，因此用這三條直線可以將xoy平面分割為7部分，然后在每個區域上化簡函數f（x，y）.在每個區域中f（x，y）都是關于x和y的一次函數，于是兩個偏導數都是0，因此在區域內部f（x，y）不可能取到最小值，最值點只可能位于區域的邊界上.比較邊界線y=x，y=-x和x=2上點的函數值，得到minf（x，y）=2，（x，y）∈R.
　　第二類方法是使用最優化理論方法.此種問題事實上就是凸規劃問題，根據最優化理論可知：凸函數在凸區域的最值只在區域的邊界上取到［３］.在例2中，用三條線將平面分割為7部分，每個部分都是平面上的凸集，而化簡后的f（x，y）是線性函數因此也是凸函數，f（x，y）只能在這7部分的邊界上取到最值.
　　2.已知最值求參數問題
　　第二類問題，已知最值（或極值），計算其中所含參數的值.通常的辦法是先計算不含有絕對值函數的最值（或極值），然后取絕對值后比較這些點處函數值的大小，得出參數的值.
　　例3.2008年浙江省高等數學競賽題［４］：求常數的值使得|cosx+x-t|=π.
　　評注：首先計算函數g（x）=cosx+x-t在區間［0，2π］的極值問題.由于g（x）單調增加，所以|g（x）|的最大值一定在區間端點處取到，比較|g（0）|和|g（2π）|可得t=x+1.
　　例4.2011年浙江省高等數學競賽題（文專類）［５］：求a的值，使得函數f（x）=|x-4x-a|在［-2，2］上的最大值為2.
　　評注：作變量代換y=x后問題等價于f（y）=|y-4y-a|在上［-4，4］的最大值為2.先計算絕對值之內的函數的極值點，因為是拋物線，因此最大值一定在對稱軸或區間端點處取到，比較這些點的函數值即可得到a=-2.也可以直接計算g（x）=x-4x-a在［-2，2］上的極值，再比較這些點和區間端點處函數值的大小可得結果.
　　3.絕對值積分的最值問題
　　第三類問題，定積分中被積函數包含絕對值，求其最值問題.
　　例5.2011年浙江省高等數學競賽（文專類）題：計算?蘩|x-t|dx.
　　評注：解決此類問題的通常方法是根據積分變量的取值范圍，將積分區間進行分割，使每個區間中被積函數不含有絕對值，積分后再利用積分區間可加性計算積分.本例中將積分區間分割成［0，］和［，1］兩個區間后分別積分得到?蘩|x-t|dx=t-t+.然后計算在［0，1］上的最大值即可得結果2/3.
　　例6.2009年浙江省高等數學競賽題：求g（x）=?蘩|x-t|edt的最小值.
　　評注：類似于例5，根據參數不同取值劃分區間，去掉絕對值.因為研究的是最值，所以不必要（有時候是不能）將積分先計算出來然后討論最值.第二種處理方法是直接研究這些積分表示函數的單調性，從而得出最值.令A=?蘩edt＞0（這個積分無法用牛頓——萊布尼茨公式計算出來），則x＜1當時，g′（x）=-A；當x＞1時，g′（x）=A；當-1≤x≤1時，g′（0）=0，g″（x）=2e＞0，因此g（x）在x=0在取到最小值.
　　4.結語
　　高等數學（微積分）中絕對值和其他問題結合往往會增加問題的難度，如何選擇合適的方法去掉絕對值是解決此類問題的關鍵.一般方法是比較絕對值內部變量值的大小劃分區間（或者區域）去掉絕對值后分段討論.
　　參考文獻：
　　［1］浙江省高校高等數學教學研究會.浙江省大學生高等數學（微積分）競賽章程［EB/OL］.http：//www.zufe.edu.cn/document.asp?docid=5520.
　　［2］陜西省第七次大學生高等數學競賽復賽試題［J］.高等數學研究，2009，（02）：封面三.
　　［3］袁亞湘等.最優化理論與方法［M］.北京：科學出版社，1997.
　　［4］盧興江，金蒙偉主編.高等數學競賽教程（第四版）［M］.杭州：浙江大學出版社，2011.
　　［5］田增鋒.浙江省高等數學競賽題的幾何思考［J］.考試周刊，2011，（40）：13-14.
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文