利用幾何畫板探索圓錐曲線性質

　　摘 要： 當幾個不同對象在某些方面（如特征、屬性、關系等）有類同之處，可引導學生合理地聯想其他方面也有類同之處，利用變式探索、挖掘、概括、引申獲得問題的一般性結果，使特殊問題一般化，零散知識規律化.借助幾何畫板，可以幫助學生發現數學性質與規律，體驗“觀察—歸納—猜想—驗證”的數學過程.本文系作者利用幾何畫板探索圓錐曲線性質的一些具體做法，旨在拋磚引玉.
　　關鍵詞： 幾何畫板 圓錐曲線性質 探索
　　
　　問題：拋物線y=2px的焦點F（，0），準線交x軸于N（-，0），過N作拋物線兩切線，切點分別是A，B，證明：AB是拋物線的通徑.（如圖1）
　　思考1.1：當點M在拋物線準線上運動時，過M作拋物線兩切線，切點分別是A，B，顯然AB不是拋物線的通徑，但AB是否還過焦點？
　　演示：追蹤線段AB，拖動點M，發現MA，MB雖然在變動，但AB恒過焦點F.（如圖2）
　　推論1.1：設M是拋物線C：y=2px的準線上的一點，過M向C作兩切線，切點分別是A，B，則直線AB過焦點F.
　　在證明之前，先證明兩定理.
　　定理1：在拋物線y=2px上一點（x，y）處切線方程為：yy=p（x+x）.
　　證明：設拋物線的切點為（x，y），拋物線兩邊對x求導得2y=2p，切線斜率為，切線為：y-y=（x-x），化簡可得：yy=p（x+x）.
　　定理2：過拋物線y=2px外一點M（x，y）作拋物線的兩條切線，切點分別為A（x，y），B（x，y），則過切點A，B的直線方程為：yy=p（x+x）.
　　下面證明推論1.
　　證明：設拋物線切點A（x，y），B（x，y）拋物線外一點M（x，y），由定理1可得切線l：yy=p（x+x），l：yy=p（x+x），將M（x，y）代入可得l：yy=p（x+x），l：yy=p（x+x），∴A（x，y），B（x，y）是方程yy=p（x+x）的兩個解，∴過A（x，y），B（x，y）兩點的直線方程是yy=p（x+x）.
　　證明：點M在準線上，令x=-，由定理2可得l：yy=p（x-），∴l過焦點F（，0）.
　　思考1.2：當點M在拋物線準線上運動時，是否還有MF⊥AB?
　　演示：拖動點M，MF，AB雖然在變動，計算k?k，發現保持k?k=-1，說明MF⊥AB.（如圖3）
　　圖3
　　推論1.2：設M是拋物線C：y=2px的準線上的一點，F是其焦點，過M向C作兩切線，切點分別是A，B，則MF⊥AB.
　　證明：由定理1可得k=，k=，k?k=.∵AB是過焦點的弦∴yy=-p∴k?k=-1∴MF⊥AB.
　　思考1.3：問題中NA⊥NB，當點M在拋物線準線上運動時，是否仍有MA⊥MB？
　　演示：拖動點M，MA，MB雖然在變動，但計算k?k，發現恒有k?k=-1，說明MA⊥MB.（如圖3）
　　推論1.3：設M是拋物線C：y=2px的準線上的一點，過M向C作兩切線，切點分別是A，B，則MA⊥MB.
　　證明：M（-，y），F（，0），k=，k=，∴k?k=-1.
　　思考1.4：問題中NF在拋物線對稱軸上，當點M在拋物線準線上運動時，AB中點為G，MG顯然不在對稱軸上，那么與對稱軸什么關系？
　　演示：拖動點M，發現MG平行于拋物線對稱軸.（如圖3）
　　推論1.4：設M是拋物線C：y=2px的準線上的一點，過M向C作兩切線，切點分別是A，B，若AB中點為G，則MG平行于拋物線對稱軸.
　　證明：由l：yy=p（x-）?圯x=+代入y=2px化簡得：y-2yy-p=0?圯y+y=2y，y?y=-p∴G點的縱坐標就是y，與M點縱坐標一樣，∴MG平行于拋物線對稱軸.
　　思考2.1：若M在平行于準線的直線x=m上（M在拋物線外）運動時，切點弦AB顯然不恒過焦點，那是否恒過定點？
　　演示：拖動直線x=m，拖動點M，追蹤線段AB，發現AB恒過定點F′，且F′就是AB與x軸的交點，度量F′的坐標，發現橫坐標與m互為相反數，即F′=（-m，0）.（如圖4）
　　推論2.1：拋物線C：y=2px，過直線x=m（m≠0）上在拋物線外部點M向雙曲線引兩條切線，切點分別是A，B，則直線AB過定點F′（-m，0）.
　　證明：點M（m，y），由定理2可得l：yy=p（m+x）∴l過定點F′（-m，0）.
　　思考2.2：若M在平行于準線的直線x=m上（M在拋物線外）運動時，是否有MF′⊥AB?
　　演示：拖動點M在直線x=m上運動，計算k，k，發現k?k≠-1，說明MF′不垂直于AB，但k?k保持常數不變.這個常數是多少呢？（如圖5）
　　推論2.2：拋物線C：y=2px，過直線x=m（m≠0）上在拋物線外部點M向雙曲線引兩條切線，切點分別是A，B，則直線AB過定點F′（-m，0），且k?k=.
　　證明：M（m，y），F′（-m，0），k=，k=∴k?k=.
　　思考2.3：若M在平行于準線的直線x=m上（M在拋物線外）運動時，是否有MA⊥MB?
　　演示：拖動點M在直線x=m上運動，計算k?k，發現k?k≠-1，說明MA不垂直于MB，但k?k保持常數不變，且與k?k相等.（如圖5）
　　推論2.3：拋物線C：y=2px，過直線x=m（m≠0）上在拋物線外部點M向雙曲線引兩條切線，切點分別是A，B，則k?k=.
　　證明：k=，k=，k?k=，由定理2可得：l：yy=p（x+m）?圯x=-m，代入y=2px化簡得：y-2yy-2pm=0?圯y+y=2y，y?y=2pm可得k?k==.
　　思考2.4：AB中點為G，若M在平行于準線的直線x=m上運動時，是否仍有MG平行于拋物線對稱軸？
　　演示：拖動點M在直線x=m上運動，發現MG保持平行于拋物線對稱軸.（如圖5）
　　推論2.4：拋物線C：y=2px，過直線x=m（m≠0）上在拋物線外部點M向雙曲線引兩條切線，切點分別是A，B，若AB中點為G，則MG平行于拋物線對稱軸.
　　證明：由l：yy=p（x+m）?圯x=-m代入y=2px化簡得：y-2yy-2pm=0?圯y+y=2y，y?y=2pm∴G點的縱坐標就是y，與M點縱坐標一樣，∴MG平行于拋物線對稱軸.
　　思考3：若M在任意一條直線mx+ny=1上運動時，是否還具有上述性質？
　　演示：任作直線mx+ny=1，在直線上任取一點M，過M作拋物線的兩切線，切點分別為AB，追蹤切點弦AB，發現恒過一定點F′;度量k?k，k?k，發現不是定值;但AB中點G與M連線MG保持平行于拋物線對稱軸.（如圖6，7）
　　推論3：拋物線C：y=2px，過直線mx+ny=1上在拋物線外部點M向雙曲線引兩條切線切點分別是A，B，則直線AB過定點F（-，-），若AB中點為G，則MG平行于拋物線對稱軸.
　　證明：M（x，y）是mx+ny=1上任意一點，∴mx+ny=1?圯y=代入切點弦方程yy=p（x+x）得?y=p（x+x），整理得y=npx+（np+my）x，∵M（x，y）∴令np+my=0，y-npx=0得y=-，x==-，∴直線AB過定點F′（-，-）.由l：yy=p（x+x）?圯x=-x，代入y=2px化簡得：y-2yy-2px=0?圯y+y=2y，y?y=2px∴G點的縱坐標就是y，與M點縱坐標一樣，∴MG平行于拋物線對稱軸.
　　由k=，k=，k?k==，∵x在變化∴k?k不再是定值.
　　思考4：橢圓與雙曲線是否有類似的性質呢？同樣均可通過幾何畫板來演示，結論如下，證明請詳見參考文獻［3］［4］.
　　推論4.1：設M是二次曲線C的準線上的一點（不在雙曲線漸近線上），過M向C作兩切線，切點分別是A，B，則直線AB過準線對應的焦點F，且MF⊥AB，若AB中點為G，則MG過坐標原點.
　　推論4.2.1：橢圓+=1（a＞b＞0），過直線x=m（m≠0）上在橢圓外部的點M向橢圓引兩條切線，切點分別是A，B則直線AB過定點F′（，0），且k?k=，若AB中點為G，則MG過坐標原點.
　　推論4.2.2：雙曲線-=1（a＞0，b＞0），過直線x=m（m≠0）上在雙曲線外部且不在雙曲線漸近線上的點M向雙曲線引兩條切線，切點分別是A，B，則直線AB過定點F′（，0），且k?k=，若AB中點為G，則MG過坐標原點.
　　推論4.3.1：橢圓+=1（a＞b＞0），過直線mx+ny=1上在橢圓外部的點M向橢圓引兩條切線，切點分別是A，B，則直線AB過定點F′（ma，mb），若AB中點為G，則MG過坐標原點.
　　推論4.3.2：雙曲線-=1（a＞0，b＞0），過直線mx+ny=1上在雙曲線外部且不在雙曲線漸近線上的點M向雙曲線引兩條切線，切點分別是A，B，則直線AB過定點F′（ma，mb），若AB中點為G，則MG過坐標原點.
　　通過課堂教學的反饋，我發現：利用幾何畫板探索圖形的性質，課堂教學的氣氛活躍，課堂教學時時散發出濃濃的現代教學氣息，在師生不斷地享受一個又一個成功的喜悅的同時，培養了學生積極探索、縝密思維的數學學習精神，也逐步培養了學生優秀的數學思維品質.
　　
　　參考文獻：
　　［1］徐祖德.用《幾何畫板》探究圖形性質的不變性.中學數學月刊，2009，（8）.
　　［2］羅碎海.方程x0x+y0y=r2與x2+y2=r2幾何背景的探討.中學數學教學參考，2009，（3）.
　　［3］王凡，周宏.二次曲線切點弦的一個優美性質.數學通訊，2005，（17）.
　　［4］袁利江.探討二次曲線定點弦與切點弦的相關性.數學教學研究，2005，（10）
　　［5］吳新村.課本一道例題的推廣—二次曲線一點處的切線問題.高考數學，2009，（3、4）.同一刊登在本網站的“論文精選”中.
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文