類比思維在高中數學教學和解題中的運用

　　摘 要： 本文闡述了在現行高中數學教學中，加強新、舊知識間，各知識板塊及方法之間的聯系，依據類比思維的特點，運用類比法進行教學與解題，對學生進行類比思維的培養，提高學生的探究能力、創新素質，從而提高教學效益，實現創新素質教育的要求。
　　關鍵詞： 類比思維 高中數學教學 創新教育
　　
　　類比思維方法是將兩個以上事物進行比較，找出事物之間的類似之處，然后再據此推出它們在其它地方的類似之處，或綜合它們的特征進行類比。類比思維包括兩方面的含義：（1）聯想，即由新信息引起的對已有知識的回憶；（2）類比，在新、舊信息間找相似和相異的地方，即異中求同或同中求異。通過類比思維，在類比中聯想，從而升華思維，既有模仿又有創新。在高中數學教學中運用類比思維，可激發學生的學習興趣，調動學生的學習積極性，使他們的記憶理解能力、分析推理能力等多種智力因素得到充分發揮和發展，從而使整個思維活動在課堂中處于最積極、最活躍的狀態，發展學生個性，提高學生的學科探究能力、綜合解題能力，落實學科素質教育。下面我就在高中數學教學中運用“類比思維”進行教學和解題談些體會。
　　1?郾運用類比法教學，溝通新舊知識，深化、豐富教學內容。
　　要開發學生的創造性思維，首先要打好扎實的基礎，豐富學生的知識庫存。在教學中要特別重視在講授新概念時聯系舊知識，在新舊知識類比中加深理解，開拓思路。
　　例如：在研究數列時，由于等差數列與等比數列在定義和通項公式等方面很相似，因此可以考慮運用類比的方法由等差數列的性質來發現等比數列的性質。等差數列定義：一個數列從第2項起，每一項與前一項的差等于同一個常數，即a-a=d（n≥2，n∈N，d為常數），這個數列叫做等差數列，這個常數d叫做等差數列的公差，通項公式為a=a+（n-1）d；等比數列定義：一個數列從第2項起，每一項與前一項的比等于同一個常數，即a/a=q（n≥2，n∈N，d為常數），這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，通項公式為a=a?q。從兩個定義上比較目標物與類比物的相似之處，一個是與減有關，一個是與除有關；通項公式一個是和的形式，一個是積的形式。此時引導學生運用類比的思想去考慮和與差，商與積，教師可啟發學生去回憶等差數列的相關性質，并思考：如果是等比數列，那相應的性質又應該如何改變呢?
　　如｛a｝，｛b｝成等差數列，有如下性質：（1）若m+n=p+q，則a+a=a+a；（2）｛a+k｝，｛a+b｝仍成等差數列。運用類比思想方法，學生可得到：｛a｝，｛b｝成等比數列，有如下性質：（1）若m+n=p+q，則a?a=a?a；（2）｛k?a｝（k≠0），｛a?b｝仍成等比數列，等等。這樣使學生對新知識有似曾相識的親近感，深化了教學內容，同時也培養了學生嚴謹的學習習慣。類比的方法有時是獲得發現和發明的重要方法。這樣的類比在高中數學中還有很多，如正弦函數和余弦函數的圖像與性質、圓與球基本性質、橢圓與雙曲線的相關幾何性質等。運用類比教學方法，既能激發學習興趣，同時又進行了科學思維和科學方法的示范，學生遇到了新的概念與新的事物也能作類比分析，得到滿意的結果。
　　2?郾運用類比法教學，建立知識網絡，使知識條理化。
　　隨著高中數學學習的深入，學生掌握的知識逐漸形成網絡，這里有知識的橫向拓寬，也有遞進式的深入，學生的知識和能力不斷產生質的飛躍，學生的創造性思維的發展就寓于其中了。在這個過程中，類比法是揭示這些知識內在聯系的好方法。
　　例如，兩個角的和與差正弦公式sin（α+β）=sinα?cosβ+cosα?sinβ，sin（α-β）=sinα?cosβ-cosα?sinβ，兩個角的和與差的余弦公式cos（α+β）=cosα?cosβ-sinα?sinβ，cos（α-β）=cosα?cosβ+sinα?sinβ。它們具有相似的數學形式和運算規律。通過類比，學生們對公式記得牢，使用條件清晰，運算起來也就熟練了。
　　通過類比，能較好地弄清它們的使用條件和變化規律，使用起來也不會出現差錯。這樣的類比，小的方面有形式上的類比、計算方法上的類比、不同概念與規律的類比。大的方面有規律和體系上的類比。例如向量運算與復數運算及意義的類比，圓的切線與割線性質的類比。有的性質和解題思想就是通過類比提出或發展起來的。例如在教過等差數列和等比數列后，我曾引導學生列表比較它們的概念與性質所具有的相似之處，也明確了它們之間的區別，建立起了橫向和縱向的聯系，建立起知識的網絡，使知識條理化，同時也提出了很多新的問題，同學們考慮得更多更細更深刻了，分析歸納能力得到了提高，使創新思維得到調動和及早的萌發。
　　3?郾運用類比法進行相應解題教學，深化了學生對數學解題思想的認識，提高了學生的探究能力和創新能力。
　　教育學家瓦赫捷羅夫說得好：“類比像閃電一樣，可以照亮學生所學學科的黑暗角落。”因此在教學中要積極運用類比法進行教學。類比是一個重要的數學創造思想，也是一個重要的數學教學思想。它與數學課程改革相配合，必能在數學教育的課程目標和內容、數學觀念和方法等方面生成一定的理論成果，進而更好地指導數學教學。從實踐上說，在數學教學過程中培養學生的遷移類比能力，可以改變落后的學習方式和課堂教學模式，可以提高學生的學習興趣和學習質量，通過展開知識的形成過程，使學生知道知識的來龍去脈，知其然，更知其所以然。從教育目標的觀點著眼，通過對前面知識的學習方法的傳授，達到對后續知識的學習產生影響，使學生達到舉一反三、觸類旁通的目的，讓學生順利地由“學會”到“會學”，真正實現“教是為了不教”的目的。
　　例如，在課堂中已經解決了這樣一道習題：已知圓C：（x-3）+（y-2）=4，若直線mx-y+3=0與圓C相交于M，N兩點，且∠MCN≥120°，則實數m的取值范圍是?搖?搖?搖?搖。
　　在對應的作業中設計了這樣一道題：已知圓C：（x-3）+（y-2）=4，若直線mx-y+3=0與圓C相交于M，N兩點，且?≤-2，則實數m的取值范圍是?搖?搖?搖?搖。
　　在作業中，還是有部分學生出了差錯，講評時，首先我提出這道題與課堂中的那道題很相似，于是學生紛紛去查找，很快自己悟出了解題方法。
　　再如，（2010年江蘇高考第九題）在平面直角坐標系xOy中，已知圓x+y=4上有且只有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1，則實數c的取值范圍是?搖?搖?搖?搖。
　　在教學中我作了如下分析：設圓x+y=4上的點P（x，y）到直線12x-5y+c=0的距離為1，則=1，即｜12x-5y+c｜=13，也就是12x-5y+c=±13。
　　（1）當12x-5y+c=13時，據題意直線12x-5y+c=13與圓x+y=4必須有兩個不同的公共點，則有<2，解得-13　　（2）當12x-5y+c=-13時，據題意直線12x-5y+c=-13與圓x+y=4也必須有兩個不同的公共點，則有<2，解得-39　　綜合（1）（2）可知滿足條件的點P有四個時，實數c的取值范圍是（-13，13）。
　　問題解決之后，我并沒有就此結束，而是拋出了這樣的一個探究引申題：
　　在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：（x-a）+（y-b）=r（r>0），直線l：Ax+By+C=0，試探究圓C上到直線l的距離為m的點P的個數。
　　
　　學生的探究熱情高漲，因為有了前面一道高考題的解題引領，學生慢慢地逐步發現研究方法與結論，頗感自豪。現將學生的研究過程與成果呈現如下：
　　分析：首先考慮平面xOy中到直線l：Ax+By+C=0的距離為m的點P應該位于與l平行的兩條直線l，l（如圖所示）上，問題化歸為圓C與l，l交點的個數。設圓心C到直線l的距離為d，則：
　　（1）當r　　（2）當r=d-m時，圓C上滿足條件的點P有且僅有一個（如圖②）；
　　（3）當d-m　　（4）當r=d+m時，圓C上滿足條件的點P有且僅有三個（如圖④）；
　　（5）當r>d+m時，圓C上滿足條件的點P有且僅有四個（如圖⑤）。
　　若用上述結論解2010年江蘇高考第九題，則可快速得到c滿足的條件為2>+1，解得-13　　使學生經歷探究的學習過程，改變學生的學習方式，培養學生的直覺思維能力，通過類比教學可以增強學生的數學運用意識，提高解決問題的能力。
　　4?郾通過類比，介紹知識的新領域，提出新問題，培養和開發了學生創造性思維，并引向科學的前沿。
　　高中數學教材（蘇教版）在介紹復數時就采用了類比的方法，實數有加法、減法、乘法、乘方等運算及運算規律。如，若a，b，c∈R，則a+b=b+a（交換律），a+b+c=a+（b+c），a?b?c=a?（b?c）（結合律），a?（b+c）=a?b+a?c（分配律），同樣，若z，z，z∈C，則z+z=z+z，z+z+z=z+（z+z），z?z?z=z?（z?z），z?（z+z）=z?z+z?z，同樣滿足交換律、結合律、分配律等。同時，復數z=a+bi（a，b∈R）由實部a與虛部b共同確定，即一個復數與一對有序數對（a，b）一一對應，于是就提出了新的問題，復數的運算與向量的運算有何聯系，又有怎樣的區別？這樣逐步地揭開新知識的面紗。
　　類比可使知識條理化，它能分清概念和規律之間的相似與差異。從而發展知識的“空缺”，指引了研究的方向。門捷列夫元素周期表就是通過分析歸納抓住各元素的質量排列和電荷數排列，把它們的物理性質和化學性質作類比，從而發現了“空缺”，再有目的、有方向地尋找這些“空缺”對應的元素，并且獲得了巨大成功。16世紀，意大利數學家卡爾丹（G.Car-dano，1501—1576）在討論問題“將10分成兩部分，使兩者的乘積等于40”時，將答案寫成“5+和5-”。盡管當時的數學家都認為“5+”和“5-”這兩個式子沒有意義，是虛構的、想象的，但在解決許多問題中，使用類似于“”這樣的式子卻帶來了極大的方便。那么，能作為數嗎？它真的是無意義的、虛幻的嗎？這正是科學家進攻的前沿陣地之一，隨著科學家的研究與探索，引進了“虛數”，從而將實數域擴充到復數域，解決了這個難題，建立了相應的運算系統。這些問題的解決，類比法都發揮了巨大的作用。
　　在高中數學教學中緊緊抓住相似、相近概念、圖形、運算與推理等，廣泛運用類比思維這一突出特點，積極運用類比法進行教學，提高教學效益。充分利用在數學歷史上數學家運用類比思維實現知識創新的生動事例，利用教材編寫中對知識點進行類比處理的素材，積極對高中數學中相似題型的解題方法進行類比，對學生進行類比思維的熏陶和培養。設置類比性習題，加強類比訓練，促進學生類比思維的形成，提高學生的創新素質，努力實現素質教育與創新教育的要求。
　　
　　參考文獻：
　　［1］高中數學教材（蘇教版）.
　　［2］高中數學課程標準.
　　［3］方青云.類比思想在數學學習中的重要作用［J］.理科教學探索，2006.
　　［4］鄧理進.試論數學類比教學的作用［J］.常州師專學報，2002.
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”