提高中學生數學解題能力的途徑

　　摘 要： 在解題教學中教師應引導學生養成仔細，認真審題的習慣；掌握常用的解題思想方法；理順解題思路，規范解題過程；加強題后反思，從而提高中學生解題能力。
　　關鍵詞： 中學數學教學 解題能力 解題 實踐
　　
　　在中學數學教學中，要提高學生的解題能力，除了抓好基礎知識、基本能力的學習與培養外，更重要的培養途徑就是解題實踐。下面我們討論如何指導學生解題。
　　一、養成仔細、認真審題的習慣
　　仔細、認真地審題是解題的前提。審題的目的是為探索解題途徑提供方向，為選擇解法提供思路。審題的基本要求為以下幾點。
　　1．全面了解題目的文字敘述，知道題目有幾個條件，理解每個條件及由其推導出的結論，畫出必要的準確圖形或示意圖。
　　2．整體考慮題目，將條件進行組合推導以挖掘條件內涵和相互之間的聯系。一般情況下，中等難度的習題都有兩或三個條件組合推導出關鍵步驟。這恰恰是許多學生做不到的。如：角平分線的性質定理，三角形全等的判定定理，三角形相似的判定，直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，等等。同時，初中數學許多性質與定理的條件都是兩或三個。必要時，要對條件或結論進行化簡或轉化，以利于解法的探索。
　　3．挖掘隱蔽條件；如n邊形的內角和，三角形的外角等于它不相鄰的兩個內角和，數學式中的根式必須有意義，二次函數的二次項系數不等于零，等等。
　　4．判明題型，預見解題的策略。如初中數學基本題型：計算題、實際應用題、規律探究題、新運算題、統計與概率的計算、與圓有關的合體、解直角三角形、四邊形與多邊形、方程與函數題、數形結合、探究性與開放性題目、視圖與投影。先看準題型，再使用相應的思想方法。
　　例1：已知：如圖１，在△ABC中，BD、CE分別是AC、AB邊上的高，M、N分別是DE、BC的中點，求證：MN⊥DE.
　　分析：第一步，根據題意畫出示意圖.本題有四個條件：兩個垂直、兩個中點；由垂直能推導出90度角和邊上的高，中點可推導出EM=MD，BN=NC第二步是將條件進行結合推導：由于兩中點不在同一個三角形或梯形中，因而不可使用中位線，即使添加輔助線也不可以；將兩垂直結合僅僅得到∠ABD=∠ACE；一垂直與一中點組合，本題可添置兩條輔助線EN、DN，把題中兩條件“直角三角形”和“斜邊上中線”結合推導出相等的線段：EN=DN=BC再把兩條件“等腰△BEC中條件EN=DN”和“M是ED的中點”結合推導出MN⊥DE若在第二步推導完后，學生仍然不能看出本題的解題思想方法，建議將題中的三個條件結合，一定能找到解題方法因為初中習題不可能太難第三步書寫過程按結論出現的先后順序書寫，同時要注意條件是否充分
　　證明：分別連結DN、EN，
　　∵N是BC的中點，CE⊥AB，
　　∴EN是Rt△BEC斜邊BC上的中線，
　　∴（直角三角形斜邊上中線的性質）。
　　同理可得DN=BC，∴EN=DN（等量代換）.
　　又∵M是ED的中點且EN=DN.
　　∴MN⊥DE（等腰三角形底邊上的中線就是底邊上的高線）.
　　由此可見，要提高解題能力，就要在平時教學中有意識地培養學生認真審題的習慣。
　　二、掌握常用的解題思想方法
　　數學題目繁多，內容變化萬千，常令許多學生解題時不知從何入手，在解題中，我們必須教會學生常用的幾種解題方法。下面我通過舉例，介紹中學數學常用的幾種解題思想方法。
　　例2：比較下面兩列算術結果大小（橫線上選填“>”，“<”，“=”）
　　（1）5+3?搖?搖 ?搖?搖2×5×3
　　（2）（-2）+1?搖?搖 ?搖?搖2×（-2）×1
　　（3）0.5+3?搖?搖 ?搖?搖2×0.5×3
　　（4）4+4?搖?搖 ?搖?搖2×4×4
　　……
　　通過觀察歸納，寫出能反映這種規律的一般結論，并加以證明
　　解：橫線上填寫的分別是>，>，>，=
　　一般結論是：如果a，b是兩個實數，則有a+b≥2ab
　　∵（a-b）≥0，
　　∴a-2ab+b≥0，
　　∴a+b≥2ab。
　　此題是“探索型”例題，雖重在探索，難在探索，但卻有其規律可尋，解例2類題目，常常是先考慮特殊情況，由特殊情況的結果，猜想出一般情況的結果。這里運用了歸納推理的方法和化歸思想方法。
　　例3：已知直角三角形的面積為14，兩直角邊之差為13，求斜邊長
　　分析：設直角三角形的兩直角邊分別為x和y（x＞y），由已知列出方程組：
　　x－y=13xy=28，
　　若解這個方程組分別求出x、y的值，再代入求值是比較復雜的我們可以從整體分析，無需求出x、y的值，直接根據已知條件，求出x+y的值
　　解：設直角三角形的兩直角邊分別為x和y（x＞y）由已知得：
　　x－y=13xy=28，
　　所以x+y=（x－y）+2xy=13+28×2=225，
　　所以弦長為15
　　此例包含著整體思想和化歸思想方法
　　三、理順解題思路，嚴格規范解題過程
　　怎樣把數學問題解答過程嚴謹地敘述出來？這對學生來說不是件容易的事，有著較高的能力要求。敘述要合理，對列式、計算、推理、作圖都要有充分的理由，遵循嚴格的思維規律，做到言必有據，理由充足，合乎邏輯。還要周密地考慮問題中的全部內容，不能遺漏，也不能重復。一般來說，各種形式的數學習題都有一定的解答格式，無論哪種格式，敘述都應層次分明，條理清楚，表述規范。這樣做，可以培養和提高學生的邏輯思維能力和表達能力，同時也有助于學生解題能力的提高。
　　四、回顧與探討解題過程，加強解后反思
　　解數學題絕不能解一題丟一題，否則無助于解題能力提高。解題后的反思是提高解題能力的一種重要途徑。
　　1．善于進行總結
　　解題后可從知識點的應用、解題方法、解題策略等多方面進行多角度、多側面總結，這樣才能舉一反三、觸類旁通，提高解題能力。
　　例4：等腰三角形腰上的高與腰之比為1∶2，求此等腰三角形的底角.
　　錯解：如圖2，BD為等腰△ABC腰上的高，且高與腰之比為1∶2.
　　∴∠A=30°，
　　∴等腰△ABC的底角為75°.
　　總結教訓，提高辨析錯誤的能力，也是提高解題能力的有效方法。本例構圖過程中，應對等腰三角形是銳角三角形還是鈍角三角形進行分類討論，這里僅考慮了頂角是銳角的情形導致了漏解。如圖3，當頂角A是鈍角時，∠CAB=150°.
　　∴等腰△ABC中的底角為15°，
　　∴本題的正確答案為75°或15°.
　　2．注意一題多變與一題多解
　　解完一道題后，教師要善于把它“改頭換面”，變成多個與原題內容或形式不同但解題類似的題目，這樣可以擴大學生的視野，深化知識，從而提高解題能力。
　　例5：如圖4，梯形ABCD中，AB∥CD，AE、DE分別為∠DAB、∠CDA的平分線，求證：∠AED=90°.
　　變式1：如圖4，梯形ABCD中，AB∥CD，AE為∠DAB的平分線，∠AED=90°，
　　求證：DE為∠CDA的平分線.
　　變式２：如圖5，梯形ABCD中，AB∥DC，AB+DC=AD，E為BC的中點，求證：∠AED=90°.
　　變式３：如圖5，梯形ABCD中，AB∥CD，E為BC的中點，∠AED=90°，求證：AB+DC=AD.
　　通常改變條件或改變結論，或條件和結論互換等，都是一題多變的好形式。
　　總之，學生解題能力的提高是一個潛移默化的過程，是在親自參與解題實踐中不斷提升的過程。教師在數學教學過程中應當注意結合自己班級的實際情況，不斷進行反思，從而有效地提高學生的數學解題能力。
　　
　　參考文獻：
　　［1］李建才.初中數學教材教法.高等教育出版社，1995.5.
　　［2］吳葵光.數學學習增刊.海南《數學學習》雜志社，2006.11.
　　［3］琚林勇.新課程.《新課程》雜志社，2007.3.
　　［4］波利亞著.閻育蘇譯．怎樣解題.北京科學出版社，1982.
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”