高等數學中整體思想的具體運用

　　摘 要： 整體思想在高等數學中應用廣泛，本文主要從整體解析、整體換元、整體配湊三個方面用具體的例子來說明整體思想在教學過程中的應用。
　　關鍵詞： 高等數學 整體思想 具體運用
　　
　　數學教學不能僅僅滿足數學知識的灌輸，還應重視能力和素質的培養，使學生掌握最本質的東西——數學思想.數學思想是數學的靈魂，是對數學知識、方法和數學規律的本質認識;而整體思想正是數學思想中的重要組成部分，是解決數學問題的重要策略.整體思想是從問題的整體性質出發，突出對問題的整體結構的分析和改造，發現問題的整體結構特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，觸及問題的本質，從而進行有目的的、有意識的整體處理.將整體思想滲透到數學教學及解題中，使學生體會并能靈活運用，這將有利于整個高等數學的學習.教師應該仔細專研教材，挖掘教材中的整體思想，設計整體思想的講授方法.本文將從以下幾個方面說明整體思想的具體運用.
　　一、整體解析
　　縱觀全局或改變思考問題的角度，或調整問題的結構形式，將問題的規律、特征明朗化，從而得到全新的思路.高等數學中復合函數的相關內容都應該用整體思想去分析和思考，具體地應用在復合函數的解析式分析、定義域的求解、求導運算，以及冪級數展開，當然還有變限積分函數的求導運算也離不開整體思想.
　　例1：設f（x）=x-x，求f（-x），f［f（x）］.
　　分析:其運算規則看成是f（）=（）-（），那么（）就是一個整體符號，要求f（-x）及f［f（x）］，就是將-x，f（x）為一整體分別代入（）即可，即
　　f（-x）=（-x）-（-x）=x+x.
　　f［f（x）］=f（x-x）=（x-x）-（x-x）=x-2x+x.
　　例2:求函數y=arcsin+的定義域.
　　分析:函數的定義域就是使f（x）有意義的全體x的集合.我們對自然定義域的幾種情況已經很熟悉，這里涉及到反正弦y=arcsinx中的x必須滿足-1≤x≤1，負數不能開偶次方及分母不等于零.在求解過程中引入整體概念，可將、25-x看成整體，其中整體充當y=arcsinx中x的位置，所以應當介于-1到1之間，即-1≤≤1;同時25-x整體充當y=中的x，并且還在分母的位置上，所以有25-x>0，然后求兩個不等式解集并求交集即可.
　　例3:已知y=（x+2），求y′.
　　分析:對于一般函數都有［f（）］′=f′（）?（）′，那么對于復合函數y=（x+2）（由y=u與u=x+2復合而成）就是將x+2作為一整體放入到（）中，這樣對于復合函數求導就非常方便和簡單了，即：
　　y′=30（x+2）?（x+2）′=60x（x+2）.
　　并且整體解析還可用于函數式子的求解及冪級數展開中.
　　例4:將f（x）=e展開為x的冪級數.
　　分析:由于我們用直接展開法計算知道e=1+x+x+x+…+x+…，可將其展開規則看成是e=1+（）+（）+（）+…+（）+…，那么（）就是一個整體符號，要求f（x）=e的展開式，就是將x為一整體代入到（）中，即
　　e=1+（x）+（x）+（x）+…+（x）+…
　　=1+x+++…++….
　　例5:已知y=?蘩dt，求y′.
　　分析:這個函數就是y=?蘩dt與（）=sinx復合而成，所以y′=［fdt］′?（）′=?（）′，即：y′=?（sinx）′=cosx?.
　　二、整體換元
　　對有的數學問題，注意其整體結構，可以采用整體換元，改變解題角度，這樣能避免冗長的運算，使問題簡化.定積分中的換元積分法就是整體換元思想的一個很好體現.
　　例6:求?蘩（2x-3）dx.
　　分析:已知?蘩f（x）dx=F（x）+C，其運算法則是?蘩f（）d（）=F（）+C，那么（）就是一個整體符號，要求?蘩（2x-3）dx，則被積函數中的2x-3與積分變量不“協同”，所以我們就要想辦法湊成一致的整體，即
　　?蘩（2x-3）dx=?蘩（2x-3）d（2x-3）?=?蘩（2x-3）d（2x-3）
　　再令2x-3這一整體式子為變量u，所以
　　?蘩（2x-3）dx=?蘩（2x-3）d（2x-3）=?蘩udu=u+C
　　最后再將u=2x-3整體回代即可.
　　例7:求?蘩dx.
　　分析:被積函數中含有，這屬于第二換元法中的根代換，即將根式看成一個整體=u，則x=u-2，用一個整體代換后將原先含根式的式子轉化為有理函數，方便積分.
　　?蘩dx=?蘩•2udu=2?蘩du=2?蘩1-du，
　　=2（u-ln|1+u|）+C
　　最后再將u=整體回代即可.
　　三、整體配湊
　　對一些以固定條件形式出現的命題，只有通過配式湊項，設置待定常量，才能使用固定已知結論，去解決問題.整體配湊在高等數學極限這一章中應用廣泛，集中體現在兩個重要極限的應用，以及等價無窮小量的替換.
　　其中兩個重要極限有其固定的形式，分別為=1、（1+x）=e.之所以稱為兩個重要極限是因為應用非常廣泛，大量的（主要指式子中含有三角函數的型）型，1型都可以用這兩個重要極限去計算.在分析的過程中就是運用到了整體思想，將其推廣為
　　=1［1+（）］=e，
　　那么（）就是一個整體符號，只要符合要求“趨近于0”即可以隨便填;同樣若不統一則需要有技巧地配湊以達到一致就可以利用固定的形式解題.
　　例8:求
　　分析:首先將3x看成一個整體，然后將極限過程中的x及分母中的x配湊成一相同整體，
　　=?3＝3?＝3.
　　例9:求1-
　　分析:根據［1+（）］=e的固定形式，知道“1+（）”中的（）就是一個整體，只要極限是0就可以，而題目中是-→0，因此極限過程與指數向著-去湊，即：
　　1-=li1+-?搖=e.
　　而等價無窮小量的替換作為極限計算的一種重要方法，它的廣泛使用也要被熟練掌握.我們建議熟記幾個常用的等價無窮小量，比如當x→0時，sinx～x，1-cosx～x，ln（1+x）～x，e-1～x等，其實這些都可以推廣為:當（）→0時，sin（）～（），1-cos（）～（），ln［1+（）］～（），e-1～（）.
　　例10:求
　　分析:分母ln（1-x）相當于（-x）作為整體，即ln（1-x）～-x，因此
　　==-.
　　綜上所述，從整體上去認識、思考問題，常常能化繁為簡、變難為易，同時也能培養學生思維的靈活性、敏捷性;并且整體思想蘊含在數學的各個教學內容中，我們要充分挖掘教材內涵，在課堂教學中適時滲透整體思想，引導學生應用整體思想解題，讓學生體會整體思想的奇妙作用，享受成功，從整體著眼，巧妙構思，靈活應用整體思想解決問題，提高數學素質.
　　
　　參考文獻：
　　［1］陳伯利.數學教學中整體思想的培養［J］.寧波大學學報，2005，6.
　　［2］楊艷萍.微積分中的局部與整體思想分析［J］.洛陽大學學報，2005，12.
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”