利用合同變換證明幾何中的等量關系

　　幾何證明題常用到構造合同變換（即全等變換）來證明幾何中等量關系，合同變換主要有三種，即平移變換、軸對稱變換和旋轉變換.現分別對這三種變換作具體說明.
　　一、平移變換
　　平移變換是通過作平行線的手段把圖形中的某條線段或某個角移到一個新的位置上，使圖形中分散的條件與結論有機地聯系起來.我們幾何中常見輔助線，如倍長中線、三角形的中位線、梯形中平移腰、平移對角線等，本質上都是平移思想.平移一般可分為三種情況：
　　（1）平移條件，即把圖形中的某個條件平移；
　　（2）平移結論，即把結論中的線段或者角平移;
　　（3）平移條件和結論，即把圖形中的條件和結論同時平移.
　　現用下面例子對平移的三種情況分別作說明.
　　例1：四邊形ABCD中，AD=BC，E、F分別是DC、AB的中點，直線EF分別與BC、AD的延長線交于點G、H.求證：∠AHF=∠BGF.
　　分析：本題條件比較分散，解本題的關鍵是將分散的條件集中在一個三角形中.若用平移結論的方法，則可把結論中的兩個角平移到同一個三角形中，故可這樣添輔助線（如圖1）：連結AC，取AC的中點M，邊結ME、MF.由ME、MF分別是△ACD、△ACB的中位線，得ME∥AD，MF∥BC，∠AHF=∠MEF，∠BGF=∠MFE，從而將結論中的兩個角∠AHF，∠BGF平移到同一個三角形△MEF中，故只要證ME=MF.因為AD=BC，又由中位線定理得ME、MF分別為AD、BC的一半，所以ME=MF，故命題得證.
　　若用平移條件的方法，如圖2，可連結AC，將線段CB沿CA平移到AM位置，連結BM、CM、DM，這樣就把條件中的線段AD、CB集中到△ADM中，可得AD=AM，故∠1=∠2，又由于AM∥CB且AM=CB，故四邊形AMCB為平行四邊形，故對角線CM、AB互相平分，即CM過點F，可得BF為△CDM的中位線，BF∥DM，∠2=∠AHF.又由于BF∥DM，AM∥CB，所以∠1=∠BGF，故∠AHF=∠BGF.
　　若用平移條件和結論，如圖3，將線段DA沿DE方向平移到EQ，連結AQ，則四邊形DEQA為平行四邊形，EQ、DA平行且相等，DE、AQ平行且相等.同樣將線段CB沿CE方向平移到EP，連結BP，同理可得CB、EP平行且相等，CE、BP平行且相等.所以EQ=EP，∠1=∠AHF，∠2=∠BGF，BP、AQ平行且相等，可證△FAQ≌△FBP，所以AQ=AP，再根據等腰三角形三線合一得到∠1=∠2，故∠AHF=∠BGF.
　　二、軸對稱變換（反射變換）
　　軸對稱變換是通過作圖形關于直線的對稱圖形的手段，把圖形中的某一圖形對稱地移到一個新的位置上，使圖形中的分散條件和結論有機地聯系起來.軸對稱變換應用時通常有兩種情況：⑴圖形中有軸對稱圖形條件時，可考慮用此變換.⑵圖形中有垂線條件時，可考慮用此變換.現舉例說明.
　　例2：在四邊形ABCD中，∠ADB=∠ABC=105°，∠BAD=∠C=45°，作AE⊥BD，垂足為E，求證：CD=2AE.
　　分析：本題思路即將題中分散的條件與結論集中起來，構造軸對稱，可以作A關于直線BD的對稱點F，連結DF、BF交CD于G，由∠ADB=105°，∠BAD=45°得∠ABD=30°，故∠FBE=30°，所以△ABF是等邊三角形，BF=2AE.只要證CD=BF，因為∠ABC=105°，∠ABF=60°，所以∠FBC=45°.又∠C=45°，所以∠BGC=90°，又∠BAD=∠BFD=45°，所以△GBC和△DGF都是等腰直角三角形，所以BG+GF=CG+GD，即BF=CD，故命題得證.本題如果作C關于直線BE的對稱點，方法類似.
　　三、旋轉變換
　　旋轉變換是通過將圖形中某一圖形繞一定點旋轉一個角度，使之轉移到一新位置上，使圖形中的分散條件和結論有機地聯系起來.旋轉變換常用于有等腰三角形條件的題目中.旋轉變換通常有下面三種情況：（1）當題目條件中有正方形或等腰直角三角形時，常將圖形繞直角頂點旋轉90°.（2）當題目條件中有等邊三角形時，常將圖形繞等邊三角形一頂點旋轉60°.（3）當題目條件中有等腰三角形時，常將圖形繞等腰三角形頂角的頂點旋轉頂角的度數.舉例如下：
　　例3：正△ABC中，D在△ABC外，且∠BDC=120°，DB=DC，E在AB上，F在AC上，且∠EDF=60°，求證:△AEF的周長=2AB.
　　分析:圖中△BDC為頂角為120°等腰三角形，可考慮將△BDE繞點D順時針旋轉120°到△CDG的位置.再證△EDF≌△GDF，可得EF=GF=CG+CF=BE+CF，所以△AEF的周長=AE+AF+BE+CF=AB+AC=2AB.
　　例4：在△ABC中，AB=AC，P為△ABC內一點，且∠APB=∠APC.求證：△BCP是等腰三角形.
　　分析：本題△ABC為等腰三角形，可考慮將△ABP繞點A逆時針旋轉∠PAC的度數得△ACD，則AP=AD，PB=CD，∠APB=∠ADC=∠APC，所以∠1=∠2，所以∠APC－∠1=∠ADC－∠2，即∠3=∠4，所以PC=CD，PB=PC.
　　綜上所述，對具體的題目，要求分析題中的條件和結論，選擇合理的方法，構造正確的變換，靈活地運用合同變換，在解幾何等量關系的題中能起到事半功倍的效果.
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”