“一個方法”\\“一個中心”的復變函數課程教學模式

　　摘 要：復變函數的教學過程中我們提出“一個方法”、“一個中心”的教學模式。“一個方法”即類比復變函數與實變函數的異同；“一個中心”即以簡單閉曲線上的積分f（z）dz為中心來研究復變函數的積分。
　　關鍵詞： 復變函數 復積分 “一個方法” “一個中心” 教學方法
　　
　　復變函數是高等工科院校有關專業的必修基礎課，它有自身的研究對象、完美的理論及精湛的技巧，其理論和方法在數學、自然科學和工程技術中有著極為廣泛的應用。在教學過程中我們提出“一個方法”、“一個中心”的教學模式。“一個方法”即類比復變函數與實變函數的異同；“一個中心”即以簡單閉曲線上的積分f（z）dz為中心來研究復變函數的積分。
　　復變函數是在實變函數的基礎上產生和發展起來的，在理論研究的各個方面既有區別又有聯系。雖然復變函數論有本學科的獨立性、完整性，但由于復變函數理論是高等數學的后繼課程，復變函數的基本概念和定理都與高等數學理論類似，但又有發展。在教學過程中，可以采用類比的方法教學，所謂類比的方法就是指通過復變函數與實變函數類似之處的比較，由以往在高等數學中獲得的實變函數的知識，引出新的處理復變函數的方法。運用“復與實”的類比，“一對二的對應”關系等，激發他們對新知識的認知積極性。
　　1.“一對二的對應關系”。
　　在復變函數中存在很多的一對二的對應關系，即一個復的對應到兩個實的。學習的方法是“復的”不方便研究時就可轉化為“實的”來研究。
　　1.1復數對應于兩個實數，如z=x+iy，復數z對應于兩個實數x，y；
　　1.2復函數對應于兩個實函數，如w=z，令z=x+iy，w=u+iv，則u+iv=（x+iy）=x-y+2xyi，因而復函數w=z對應于兩個實函數u=x+y，v=2xy；
　　1.3復函數的極限對應于兩個實函數的極限；
　　1.4復函數的連續對應于兩個實函數的連續；
　　1.5復函數的求導對應于兩個實函數的求導f′（z）=+i，通過柯西－黎曼方程還可以有其他的表達形式，但都可用兩個實函數的偏導來表示；
　　1.6復函數的解析對應于兩個實函數柯西－黎曼方程=，=-；
　　1.7復數列的收斂對應于兩個實數列的收斂；
　　1.8復數項級數的收斂對應于兩個實數項級數的收斂。
　　通過以上“一對二的對應”關系，可以很快地解決極限、求導、解析、級數等問題。在這些方面甚至很多定理都和高等數學中的定理基本相同，讓學生體會到對新的復變函數的學習可以很方便地轉化為已有知識的問題，能大大地提高學習興趣。當然除了相同之處還有不同之處，復變函數是以復數為自變量的函數，實變函數是以實數為自變量的函數。因此要認清復數與實數的區別，這樣便于把握問題的本質。
　　2.復變函數與實變函數的區別。
　　復變函數論研究的內容和方法與高等數學中的一元微積分相比，有其特殊的方面，二者存在著諸多差異。教學中如何向學生展示二者的聯系與差異，揭示復變函數的本質屬性，是上好這門課的關鍵所在。
　　2.1實數可以比較大小，而復數不可以；
　　2.2復變函數極限與實變函數極限的定義的形式都一樣，都是利用ε-σ定義的，但是復變函數中z→z在復平面上可以是沿任何方向趨向于z，而實變函數中x→x只能沿實軸從左右兩邊趨向于x。趨向的方式不同，極限的實質就不相同。因為函數的連續，可導，可微等都是在極限的基礎上展開的，由此導致了復變函數與實變函數在連續、可導、可微等定義方面雖然形式相同，但實則又存在著不同；
　　2.3復變初等函數是一元實初等函數的推廣，它與實初等函數有許多相同之處，但也有很大區別。比如單值和多值的區別；
　　2.4復變函數積分的定義類似高等數學里積分的方法，采取的是分割、近似替代、求和、取極限等步驟來建立的，但形式像一元積分，而實質像曲線積分；
　　2.5復變函數積分的牛頓—萊布尼茲公式與實一元函數的牛頓—萊布尼茲公式在形式和結果上幾乎是完全一致，但實一元函數積分對函數的要求比復變函數積分對函數的要求要低得多。用牛頓—萊布尼茲公式計算復變函數積分，首先要解決的是，積分上下限的兩點是否可以包含在一個單連通域內，且被積函數f（z）是否在該單連通域內解析。
　　2.6最大的不同之處是復變函數積分主要研究簡單閉曲線上的積分f（z）dz，方法不同于高等數學中的方法，但思想有相同之處。復合閉路定理或留數定理，表達了邊界與內部的聯系，在高等數學中的牛頓－萊布尼茲公式、格林公式、高斯公式同樣表達了邊界與內部的聯系。
　　對所講授的內容進行異同的對比，使學生了解新舊知識的關系，讓學生認清復變函數與實變函數的異同，同時培養學生創造性思維。
　　3.復變函數的中心內容是簡單閉曲線上的積分f（z）dz，圍繞此展開，可以看到它獨特的完美結構。
　　f（z）dz型積分是整個復變函數最中心的問題。被積函數f（z）在簡單閉曲線C內解析，由柯西－古薩定理得f（z）dz=0；當被積函數f（z）在簡單閉曲線C內不解析時，由復合閉路定理，簡單閉曲線C上的積分轉化為繞內部各個孤立奇點的簡單閉曲線C的積分之和，這也是留數定理的主要內容。
　　剩下的問題就是如何解決繞單個孤立奇點的簡單閉曲線C的積分，對這個問題逐步深入。
　　3.1先解決dz型，f（z）在簡單閉曲線C內解析，可用柯西積分公式。
　　3.2然后解決型dz，f（z）在簡單閉曲線C內解析，可用高階導數公式，當n=1時就是3.1的情形。
　　3.3最普通的形式f（z）dz，可用羅朗級數負一次冪系數c表達。
　　3.4最后是留數，Res［f（z），z］=c，就是羅朗級數負一次冪系數c，只是不用把完整的羅朗級數都得出來，因為只要得到負一次冪系數，就可用留數計算規則直接計算負一次冪系數。
　　4.小結。
　　總之，在教學過程中，要帶領學生不斷回憶高數中的知識，并從中聯想如果放到復變函數中會有什么區別，然后進行探究、比較，認識到復變函數與實變函數的不同，可以做到知識的承前啟后的效果，便于我們加深對知識的理解，提升認知的高度。教師的教學不是只要求學生以學到知識為目標，而是希望大家能夠做到會學習、會研究；使學生不僅僅了解復變函數的知識，還在學法上得到某種啟示，將核心放在思路、方法、能力的培養上。此外，對于工科學生的要求不需要像對數學專業的學生那樣嚴格，教學中盡量做到教學語言“通俗化”，適當減少理論性較強的推導和證明。
　　
　　參考文獻：
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　　［4］謝娟，邱劍鋒.復變函數與積分變換教學改革研究與實踐［J］.合肥師范學院學報，2009.5，VOL27，（3）.
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”