高階導數公式及拉格朗日中值定理的推廣

　　摘 要： 本文給出了在一點處高階導數定義的一般形式，并介紹了將拉格朗日中值定理推廣到高階導數的情形。
　　關鍵詞： 高階導數公式 拉格朗日中值定理 推廣
　　
　　在微積分中，函數在一點的導數是函數增量和自變量增量比的極限，拉格朗日中值定理用一階導數給出了函數增量和自變量增量之間的關系．但在一點的高階導數并沒有給出定義式，同樣，拉格朗日中值定理也沒有討論高階導數情形．本文將探討關于高階導數的一些結論．
　　在同濟版《高等數學》教材中，有這樣一個習題：
　　設f（x）存在，則f（x）=．
　　利用洛必達法則及一階導數定義，很容易證明．下面將上述結論推廣到一般情形，我們有結論：考慮上式中的分子
　　（-1）Cf［x+（m-k）h］-（-1）Cf［x+（m-k-1）h］
　　=Cf（x+mh）-Cf［x+（m-1）h］-Cf［x+（m-1）h］+Cf［x+（m-2）h］+…+（-1）Cf（x）-（-1）Cf（x-h）.
　　由于C+C，則：
　　（-1）Cf［x+（m-k）h］-（-1）Cf［x+（m-k-1）h］
　　=Cf（x+mh）-Cf［x+（m-1）h］+Cf［x+（m-2）h］+…+（-1）Cf（x）-（-1）Cf（x-h）
　　=Cf（x+mh）-Cf［x+（m-1）h］+Cf［x+（m-2）h］+…+（-1）Cf（x）+（-1）Cf（x-h）
　　=（-1）Cf［x+（m+1-k-1）h］
　　即當n=m+1時公式也成立，從而定理1得證．
　　下面我們把拉格朗日中值定理推廣到高階導數．
　　定理2：設f（x）在［a，b］上連續，在（a，b）內有二階導數，則存在ξ∈（a，b），使
　　f（ξ）=f（b）-2f+f（a）
　　證：令φ（x）=fx+-f（x），則：
　　φ-φ（a）=f（b）-2f+f（a）
　　由拉格朗日中值定理，存在ξ∈（a，b），使
　　φ-φ（a）=φ′（ξ）-a=φ（ξ），ξ∈a，即f（b）-2f+f（a）=f′ξ+-f′（ξ）
　　=f（ξ）··=f（ξ）
　　其中ξ在ξ+與ξ之間，則ξ∈（a，b）．
　　從而有：f（ξ）=f（b）-2f+f（a），ξ∈（a，b）．
　　定理3：設f（x）在［a，b］上連續，在（a，b）內有n階導數，則存在ξ∈（a，b），使
　　f（ξ）=（-1）Cf
　　證：用數學歸納法
　　當n=1時，即是拉格朗日中值定理．
　　當n=2時，即是定理2．
　　假設n=m時成立，即：
　　f（ξ）=（-1）Cf.
　　令φ（x）=f（x+t）-f（x），其中t=．
　　由假設，存在ξ∈（a，b-t），使
　　φ（ξ）=（-1）Cφ
　　將t=代入并化簡得：
　　φ（ξ）=（-1）Cφ
　　由拉格朗日中值定理，
　　φ（ξ）=f（ξ+t）-f（ξ）=f（ξ）t＝f（ξ）·
　　其中ξ在ξ+t與ξ之間，則ξ∈（a，b）
　　則f（ξ）=（-1）Cφ
　　又（-1）Cφ
　　=（-1）Cf+-f
　　=（-1）Cf-f
　　=Cf（b）-Cf-Cf+Cf+…+（-1）Cf-（-1）Cf（a）
　　=Cf（b）-Cf+Cf+…+（-1）Cf+（-1）Cf（a）
　　=（-1）Cf
　　從而f（ξ）=（-1）Cf
　　即n=m+1時結論也成立，從而定理3成立．
　　
　　參考文獻：
　　［1］同濟大學數學系.高等數學（第六版）高等教育出版社，2007.
　　［2］王昆揚.簡明數學分析.高等教育出版社，2001.
　　［3］裴禮文.數學分析中的典型問題與方法.高等教育出版社，1993.
　　［4］數學手冊.高等教育出版社，1977.