幾種計算微帶線特性阻抗的方法

　　摘 要： 本文從不同的計算思路和計算方法出發，介紹了幾種計算微帶線特性阻抗的方法，并對幾種方法的特點進行了比較，為解決此類問題提供了一些方法的選擇。
　　關鍵詞： 微帶線 特性阻抗 差分法 有限元法
　　
　　1.前言
　　微帶集成電路具有重量輕、體積小、頻帶寬、可靠性高、省電、低成本和長壽命等優點。在現代電子設備中得到廣泛應用。微帶線作為微帶集成電路的主要部分，其設計和特性參數的計算受到廣泛關注［１］。在設計微帶器件時經常遇到計算微帶線的特性阻抗的問題，目前分析微帶線特性阻抗的方法很多，比如差分法、有限元法、保角變換法、格林函數法，等等［３］，本文以差分法和有限元法為基礎介紹幾種計算微帶線特性阻抗的方法。
　　2.基本原理
　　微帶線上傳播的電磁波可近似看成TEM波，于是它的特性阻抗就能用下面的公式計算：
　　Z==（1）
　　式中C、L分別為微帶線單位長度的電容和電感，v為波在微帶線上的傳播速度。如假定微帶線上不存在介質時單位長度的電容為C，這時線的電感L將不會因為電介質的存在與否而改變。又因介質不存在時線上波的傳播速度為光速v，而且
　　v=（2）
　　由（2）式可解出L為：L= （3）
　　將L值代入（1）式即可求出微帶線的特性阻抗Z為：Z=
　　（4）
　　由（4）式可見，求微帶線特性阻抗的關鍵在于求出介質存在和不存在時，微帶線上單位長度的電容C和C。［３］根據計算思路，求這些電容的思路有：由微帶線上的電位分布求解；由微帶線單位長度的總電量推導出；由儲藏在微帶線上電場內的能量而推導出，等等。根據計算方法，求這些電容可以用差分法，也可以用有限元法。以下我就介紹幾種常用的方法。
　　3.幾種計算方法
　　①先用有限元法（FEM）求微帶線切面上的電位分布，再根據電位分布求出單位長度的微帶線上的電容，進而求出微帶線的特性阻抗。
　　假設微帶線介質基片的厚度為h，相對介電常數為ε，導帶的寬度為W，厚度為t，微帶線的電位分布滿足拉普拉斯方程：+=0 u|=u（5）
　　其中L是場域s的邊界。
　　將場域s剖分為許多三角形單元，考慮場域s中任意一個單元e，假設其三個節點分別為i（x，y），j（x，y），m（x，y），如（圖一）所示；三個節點的電位分u別為u，u，u，則三角形單元e內任意一點的電位u可以表示為三個節點電位值的線性插值，即：
　　u（x，y）=［N］［u］（6）
　　其中：［N］=［N，N，N］
　　（6）式中［N］是形狀函數，T表示矩陣的轉置，對于三角形單元，形狀函數［N］為：
　　N=（a+bx+cy）
　　N=（a+bx+cy）（7）
　　N=（a+bx+cy）
　　其中Δe為第e個三角形單元的面積，Δe=1 x y1 x y1 x y=（bc-bc）。
　　a=xy-xy，b=y-y，c=x-x;
　　a=xy-xy，b=y-y，c=x-x;
　　a=xy-xy，b=y-y，c=x-x;
　　對拉普拉斯方程進行伽遼金有限元分析：在（5）式兩邊同時乘以［N］，并對三角形單元區域Δe進行面積積分得：
　　［N］（+）dxdy=0（8）
　　對（8）式進行部分積分，并將（6）式代入得：
　　（ ）+ ）［u］dxdy-［N］dL=0
　　（9）
　　（9）式左邊第二項積分是對三角形單元Δe的邊界L進行的，n表示邊界的外法向。
　　（9）式是對區域s 中任意一個單元Δe進行的，對于整個區域則應對所有的單元疊加得到：
　　 + ）［u］dxdy-［N］dL=0（10）
　　對于方程式（10）左邊進行第二次積分時要注意，要分清是內單元還是邊界上的單元，對于內部單元，由于相鄰兩個單元之間的平衡關系，各單元邊界積分值疊加為零，所以只有在整個求解域的外邊界L上，這一項才須計算，故（10）式可以寫成：
　　 + ）［u］dxdy-［N］［u］CdL=0（11）
　　其中表示對所有邊界上的單元求和。
　　（7）式代入（11）式，最后可得：［k］［u］=0（12）
　　其中［k］稱為三角形單元的總系數矩陣，解方程（12）即可以求得所需的電位值，進而求得微帶線單位長度電容，代入公式（4）即可求得微帶線的特性阻抗。［２］
　　②先用差分法求出單位長度微帶線上的總電荷量Q，再根據C=求出微帶線的單位長度電容，進而求出微帶線的特性阻抗。
　　為求這個Q值，取一個如（圖二）所示的任意的包圍內導體的環路abcd。這個環路的每個邊均通過網格節點的中心并平行于坐標軸，其中一個邊上任意點p處的電通量法向分量D 應等于：
　　D=εE=-ε（13）
　　而D 可用p處相鄰的網格節點e、f處的電位u、u表示（如圖三），于是可得：
　　D=-ε=-ε（14）
　　取長度為單位長度并將D對整個面積積分，根據高斯定律，它應等于內導體表面上單位長度的電荷Q，即
　　?蒽·dS=Q（15）
　　因為要求的是靜電電容，線內電場將不隨z坐標改變。在考慮到線上不存在縱向電場，也就沒有電通量穿過前后兩個面，這時上面的積分就可寫成：
　　設環路abcd的四邊每邊包括n個節點，m=1，2，3，4，而（16）式右邊的線積分可分成對四個邊的積分，再對每個邊的積分利用梯形數值積分法求積，便可得到求Q的公式：
　　Q=h′εε（）（17）
　　式中ε代表節點p處的相對介電常數，符號∑′表示和的第一項和第末項應乘以。
　　如此便可求得電容C：C=（18）
　　根據（18）式，求出介質存在和不存在時，微帶線上單位長度的電容C和C，代入（4）式即可求出微帶線的特性阻抗。
　　③先用差分法（FDM）求出微帶線切面上的電位分布，根據電位分布求出電場分布，然后可以根據電場分布求出微帶線上單位長度儲藏的電能W，由C=可求出微帶線的單位電容，進而就可求出微帶線的特性阻抗。
　　求出微帶線上單位長度儲藏的電能W后，要求的電容C可按下式得到（設線內、外導體間電位差u為1V）：
　　C==2W=?蘩?蘩?蘩ε|E|dV=?蘩?蘩?蘩ε|E| dSdz
　　=?蘩?蘩ε|E|ds=?蘩?蘩ε（|E|+|E|）dS（19）
　　上式中利用了電場E不是z的函數關系，對S的面積分是在線的橫截面上進行的。
　　先求S面上在如圖四所示的由四個網格節點（i，j），（i，j+1），（i+1，j），（i+1，j+1）形成的區域對（19）式積分的貢獻。在這個區域，E、E的值可用上述節點的電位差分求得：
　　E=-［+］=-［u-u+u-u］
　　（20）
　　E=-［+］=-［u-u+u-u］
　　（21）
　　如果令ΔW代表這個區域的電場儲能，則ΔW=εε（|E|+|E|）h（22）
　　將（20）、（21）式代入（22）式，即可得：
　　ΔW=［（u-u）+（u-u）］（23）
　　在整個區域內儲藏的電能W就應該是各個小區域儲能的和，即可以用下面的式子來表示：
　　W=ΔW（24）
　　其中i、j分別為場域中網格坐標i、j的最大值。
　　將（24）式代入（19）式即可求得電容C，然后利用（4）式即可求出微帶線的特性主抗。［３］
　　4.結語
　　有限差分法是將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域，并以泰勒級數展開等方法，把方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。有限元法的基礎是變分原理和加權余量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內，選擇一些合適的節點作為求解函數的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導數的節點值與所選用的插值函數組成的線性表達式，借助于變分原理或加權余量法，將微分方程離散求解。差分法是電磁場計算機數值模擬最早采用的方法，是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。而有限元法用于電磁學領域還是二十世紀六七十年代的事情，它比較新穎。有限元法的優點是適用于具有復雜邊界形狀或邊界條件、含有復雜媒質的定解問題。這種方法的各個環節可以實現標準化，得到通用的計算程序，而且有較高的計算精度。但是這種方法的計算程序復雜冗長，由于他是區域性解法，分割的元素數和節點數較多，導致需要的初始數據復雜繁多，最終得到的方程組的元數很大，這使得計算時間長，而且對計算機本身的存儲也提出了要求。文中介紹的三種計算微帶線特性阻抗的方法各有特點，但其計算結果一致，在應用中可根據需要選擇合適的方法。［３］［４］［５］
　　
　　參考文獻：
　　［1］姚斌，楊春柳，胡開元，唐繼華.假想邊界法在開放式微帶線特性阻抗計算中的應用［J］.文山學院學報，2003，23（1）：117-120.
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