應用數(shù)形結合思想巧解數(shù)學題

　　摘 要： 數(shù)形結合思想是重要的數(shù)學思想方法之一，本文從函數(shù)圖像和幾何圖形兩個方面，舉例說明“以形助數(shù)”在解決問題中的一些妙用。
　　關鍵詞： 數(shù)形結合思想 函數(shù)圖像 幾何圖形 巧解數(shù)學題
　　
　　所謂數(shù)形結合思想是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來，一方面借助數(shù)的精確性來闡述形的某些屬性，另一方面借助形的直觀性來闡述數(shù)量之間的關系。數(shù)形結合是數(shù)學解題中常用的思想方法，數(shù)形結合思想可以使某些抽象的數(shù)學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質，在解題中運用數(shù)形結合，常常可以優(yōu)化解題思路，簡化解題過程。
　　一、利用數(shù)形結合思想解決集合的問題。
　　當幾個集合的解集是不等式形式，要求它們的交集或并集時，經常借助于數(shù)軸，把不等式的解集在數(shù)軸表示出來，通過數(shù)軸觀察它們的交集或并集，這樣比較直觀，例如：
　　例1：已知集合A={x|-1＜x＜3}，B={x|a＜x＜3a}（a∈R），
　　（1）若A?哿B，求a的范圍；（2）若B?哿A，求a的范圍。
　　分析：先在數(shù)軸上表示出集合A的范圍，要使A?哿B，由包含于的關系可知集合B應該覆蓋集合A，從而有a≤-13a≥3，這時a的值不可能存在。（如圖1①）
　　要使B?哿A，當a＞0時集合A應該覆蓋集合B，應有a≥-13a≤3a＞0成立，0＜a≤1。
　　當a≤0時，B=?覫，顯然B?哿A成立。故B?哿A時a的取值范圍為：a≤1。（圖1②）
　　二、利用數(shù)形結合思想解決方程和不等式問題
　　1?郾利用二次函數(shù)的圖像解決一元二次方程根的分布情況問題。
　　利用二次函數(shù)f（x）=ax+bx+c（c≠0）的圖像與x軸交點的橫坐標是方程f（x）=0的實根，根據二次函數(shù)f（x）=ax+bx+c（a≠0）與x軸的交點情況就可以確定方程f（x）=0的實根的情況，即通過f（x）=0?圳y=f（x）的相互轉化，利用函數(shù)y=f（x）的圖像可以直觀解決問題。例如：
　　例2：a為何值時，方程2ax+2ax+1-a的兩根在（-1，1）之內？
　　分析：顯然a≠0，我們可從已知方程聯(lián)想到相應的二次函數(shù)y=2ax+2ax+1-a的草圖（圖2），從圖像上我們可以看出，要使拋物線與x軸的兩個交點在（-1，1）之間，必須滿足條件：f（-1）＞0f（-）≤0f（1）＞0，即（a-1）＞0-a≤0（a+1