經管類專業《微積分》案例教學探討

　　摘 要： 本文結合經管類專業本科生學習數學的特點，從實施案例教學的好處、如何選擇好案例、教學案例舉例等幾個方面著力探討了經管類專業有效開展《微積分》案例教學的方法。
　　關鍵詞：《微積分》 經管類專業 案例教學
　　
　　《微積分》是經管類專業本科生重要的公共基礎課程。一方面，它是學好專業課程的基礎，另一方面，通過該課程的學習，學生能培養抽象思維、邏輯推理及綜合分析的能力。然而對這批文科出身的學生來說，數學又往往是讓他們感到非常難學的一門課程，在數學課的學習過程中，不少學生將數學課當成了一個無形包袱，覺得數學學習比較枯燥乏味，并且在學習過程中產生了“數學用處不大，我們為什么還要學習”的疑惑，久而久之，就產生了“厭學”的情緒，這種現象使得我們必須對現有的教學模式進行探索和改革。
　　美國的貝格教授認為：教授數學的真正理由是因為數學有著廣泛的應用、有利于解決各種問題，學習怎樣解決問題是學習數學的目的。早在20世紀80年代，美國數學教師協會就已經將貫徹“問題解決”方面的成效作為衡量數學教育成敗的重要標志之一。之后，英國、日本等教育發達國家都普遍認為要把數學教育教學的重點放在“問題解決”上，強調“數學在解決各種實際問題的情況下才是有用的”。在數學教育、教學中貫徹“問題解決”的教育思想，實施提出問題和創造性地解決問題的教學過程才是使學生學習數學知識、樹立創新意識、發展數學能力的切實有效的途徑。而案例教學就是貫徹“問題解決”方面的其中一種教學形式。
　　一、案例教學的概念
　　所謂案例教學，就是在課堂教學中，以具體實例作為教學內容，通過具體問題的建模范例，介紹數學應用的思想和方法。教學中所選的案例要符合生活實際，使學生真正感到數學來源于生活實際，又能經得起實踐的檢驗；通過生動、賦予啟迪的典型案例分析，使學生掌握數學的基本知識。
　　二、案例教學的好處
　　與傳統的教學法相比，我認為案例教學法有以下幾個方面的優勢。
　　1.案例可以把抽象的原理、概念等具體化，把它們置于一定的實際情景之中，學習者可以清楚地認識到這些原理、概念在實際生活中的用處、表現。
　　2.案例教學注重學生的創造能力和解決實際問題能力的培養，而不僅僅是獲得原理、規則。
　　3.學生通過案例教學得到的知識是內化了的知識。
　　4.案例教學可以大大縮短教學情境與實際生活情境的差距，還可以改變學生認為數學是紙上談兵的錯誤感覺。
　　三、案例教學的正確選擇
　　選擇案例時，我認為重點考慮的應是那些與經管類專業相關的數學應用案例。具體要注意做到四點：一是目的明確。教學中所用到的案例不僅要符合教學目標和教學內容的需要，而且要符合學生的認知水平，有助于學生理解教學內容，能夠讓學生利用所學知識解決類似問題。二是趣味性強。針對經管類專業學生的特點，選擇一些趣味性、實踐性較強的案例，可以激發學生的學習興趣，讓學生在興趣盎然的氛圍中學習，感受到數學就在身邊，消除數學抽象、枯燥的感觀。三是具有代表性。所選案例要是學生平時耳聞目睹的，但又了解不深的普遍問題，這樣可使學生對這些問題的實際背景容易接受，從而愿意去深入了解。四是具有真實性和實用性。案例的趣味性能增強學生的學習興趣，而學習數學的目的在于解決實際中的問題，因此案例選擇的真實性和實用性尤為重要。
　　四、案例教學舉例
　　1.進入課本內容之前的案例教學舉例
　　在講授導數應用之前，我給出如下實例：
　　例1：某海鮮店離海港較遠，其全部海鮮采購需通過空運來實現。采購部經理每次都為訂貨發愁，因為若一次訂貨太多，海鮮店所采購的海鮮賣不出去，而賣不出去的海鮮死亡率高且保鮮費用也高；若一次訂貨太少，則一個月內訂貨批次必多，這樣，一則造成訂貨采購運輸費用奇高，另一方面還有可能會喪失商機。如果你是經理的助手，你打算怎樣幫助他選擇訂貨批量，才能使每月的庫存費與采購訂貨運輸費用的總和最小。
　　為什么這樣設置案例呢？說白了，就是設計和學生專業相關且剛好符合將要講授的數學知識點的案例，把學生的興趣一下子吸引過來，學生有了“導數如何解決這個問題”的好奇心，就會認真聽講，教師再順勢分析、講解，將要講的知識點和盤托出，再利用知識點解決案例問題。這樣一個過程既傳授了數學知識，又讓學生看到數學是有用的，能應用數學知識解決他們專業相關的問題，并且還帶領學生完成了一次提出問題—分析問題—解決問題的思維訓練過程。一句話，在進入課本內容之前，案例設置從實際問題開始，以問題驅動，突出探究。
　　2.進入課本內容時的案例教學舉例
　　講完基本概念與重要定理之后，可給出適當案例引導學生應用這些知識，以鞏固這些知識，增加學生的學習成就感。課中案例教學要與本節內容緊密結合，難度要適中。
　　例如，在講解了彈性的概念、經濟意義和求法之后，給出如下實例：
　　例2：某手機制造商估計其產品在某地的需求價格彈性為-1.2%，需求收入彈性為3，當年該地區的銷售量為90萬單位。據悉，下一年居民實際收入將增加10%，制造商決定提價5%。
　　（1）問手機制造商應如何組織生產（即計劃明年的生產量是多少）？
　　（2）如果該手機制造商下一年的生產能力最多比當年可增加5%，為獲得最大利潤，該手機制造商應如何調整價格？提價還是降價？調整多少？
　　解：對于問題（1）從需求彈性的含義，很容易分析得，價格每提升1%，銷售量將減少1.2%，這樣由于公司提價5%，將銷售量減少5×1.2%=6%；又由于居民收入將增加10%，這將使銷售量增加10%×3=30%。綜合以上兩個因素，可知明年的銷售量將增加的百分比為30%-6%=24%，因為當年的銷售量為90萬單位，所以明年的生產量大約為90（1+24%）=111.6萬單位。
　　對于問題（2）如果手機制造商下一年的生產量最多可增加5%，而居民收入增加10%，將使銷售量增加30%，如果此時手機制造商不采取提高價格的措施，還有25%即△Q/Q=25%的需求缺口，導致產品將供不應求，為緩解供求矛盾，也為廠家獲得最大利潤，只能采取提價措施。由=-1.2，算得△P/P=20.83%，即制造商應將售價提高約20.83%，這樣才能在最大生產能力僅能提高5%的前提下，實現供求平衡。
　　3.講授完課本內容后的案例教學舉例
　　在學完《微積分》的一些基本內容之后，可以適當選編一些與經管類專業相關的實際應用問題，引導學生綜合運用數學及其他相關知識來解決。這樣有利于貫徹理論和實際相結合的原則，可以大大提高學生分析問題和解決問題的能力。由于安排在課后完成，因此可以選擇一些涉及的知識面比較廣、難度較大的案例，讓同學們利用課余時間去翻閱資料鉆研探索，相互協作解決問題。這樣能鍛煉他們運用綜合知識處理問題的能力，對他們的終身學習大有裨益。并且課后案例若選擇恰當的話，還能有助于他們專業知識的學習。比如下面的一個例子。
　　例3：某廠今年全年從某軸承廠訂購軸承臺套，按進廠價估算共需10萬元，每次的訂購費為250元，庫存保管費按年率計算，約占平均存貨額的12.5%，試確定其最優訂貨方案。
　　此題是庫存模型問題，它實質是庫存控制的定量決策方法。庫存控制的決策目標之一是減少資金占用，降低生產成本。因此，在研究庫存控制問題時，必須考慮庫存成本。與其有關的成本有如下四項。
　　（1）訂購成本，也稱為訂購費，如手續費、電信往來、派人員外出采購等費用。訂購費與訂貨次數有關，而與訂貨量無關。
　　
　　（2）保管成本，又稱庫存保管費，如使用倉庫、保管貨物‘貨物損壞、變質、陳舊報廢’保險金、稅金，以及占用資金的利息支付，等等。保管成本隨庫存量與時間的增加而增加。在一般情況下，先核算單件保管成本，再按平均庫存量計算出總的保管成本。也可以用保管費用率代表單件保管成本。保管費用率等于年保管成本與全年庫存占用資金的比。物資的單件保管成本等于保管費用率與該物資單位價格之積。
　　（3）購置成本，即購置物資所花費的成本。購置成本等于物資的單位價格與購置量之積。一般情況下，購置成本不受批量大小的影響。故在庫存控制決策中不考慮此項成本。
　　（4）缺貨成本，是指由于不能滿足顧客需要產生的成本。
　　以上的這四個與庫存成本有關的成本都是《經濟學》里面的內容，你想解決例3，必須查經濟學資料。然而你即便知道了這四個成本，還是不夠，還得至少解決三個問題：一是要選擇“合理”的訂貨批量，何謂“合理”呢？二是如何把這些內容轉化為數學模型？三是怎樣對數學模型求解？等你把這些問題全部解決，得到的答案是：最佳訂貨方案是全年訂貨為5次，但同時我們還發現：此時年訂購費用竟然與保管費用相等，這是偶然的巧合嗎？若不是，應該怎樣解釋呢？教師在此時只需對學生講一句：“《經濟學》上能找到答案。”就足以把學生學習《經濟學》的興趣提起來。這樣的課后案例設置既能鞏固數學知識，又能激發學生學習《經濟學》的興趣，還能培養學生的自學能力、觀察能力、分析和解決問題的能力。
　　五、結語
　　教師在《微積分》教學過程中針對經管類專業的學生進行案例教學，選擇與專業相關的實際案例進行分析、解決，這樣既能大大增強學生聽課的興趣，又能提高學生對知識點的掌握程度，將數學知識轉變成解決實際問題的能力，有利于為社會培養出更多的實用型人才。因此，在《微積分》教學中穿插案例教學是十分必要的。但我們也應看到在《微積分》中施行案例教學也有著很多的局限性，主要表現在：適合教學的數學內容較少、花費的時間較多、對教師的要求較高、效率有時較低等。因此，在《微積分》教學中開展案例教學，還需要進行更多的嘗試和探討。但是，它作為一種新型的教學模式，無疑是對常規教學的一種有益的補充。
　　
　　參考文獻：
　　［1］蔡光興，李德宜.微積分（經管類）［M］.北京：科學出版社，2004.
　　［2］蘇洪雨，江雪萍.高等數學案例教學的實踐與探究［J］.高等理科教育，2009，（3）：30-33.
　　［3］王訪，鄒銳標.高等數學課堂案例教學芻議［J］.湖北農業大學學報（社會科學版），2008，9，（4）：66-67.
　　［4］凌衛平.在高等數學中重視案例教學［J］.民營科技，2008.（9）：76.
　　［5］錢志良.論案例教學在《高等數學》教學中的重要性與可行性［J］.常州信息職業技術學院學報，2010，9（2）：50-52.
　　［6］蔡若松.論高等數學的案例教學［J］.鞍山師范學院學報，2001，3，（3）：33-35.
　　
　　基金項目：湖北工業大學教學研究項目（校2010032）