證明齊次線性方程組同解的一種新方法

　　摘 要： 關于齊次線性方程組同解的證明方法很多，但在抽象矩陣情況下這些方法是不實用的.基于AX=0與BX=0的互推是通過矩陣的加法（減法）、數量乘法、乘積運算或這三種運算的復合運算實現的，從矩陣的加法（減法）、數量乘法、乘積三個方面出發闡明了抽象矩陣情況下證明齊次線性方程組同解的一個新方法。
　　關鍵詞： 齊次線性方程組 同解 抽象矩陣
　　
　　1.引言
　　文獻［１］給出了齊次線性方程組同解最基本的定理“如果兩個齊次方程組同解，那么它們必定能夠經過初等變化互化”.本文中稱之為定理1.文獻［２］、文獻［３］分別給出了更強的定理，即定理“設A、B為m×n矩陣，則齊次線性方程組AX=0與BX=0同解的充分必要條件是存在可逆矩陣p，使得pA=B.”和定理“設有齊次線方程組AX=0與BX=0，則AX=0與BX=0同解的充分必要條件是r（A）=r（B）=r.”本文中我們分別稱之為定理2和定理3.文獻則通過超平面等知識給出了齊次線性方程組同解更深刻的證明.
　　我們注意到通過定理1很容易證明定理3，而通過定理3又很容易證明定理2.但這三個定理在抽象矩陣情況下卻很難證明齊次線性方程組同解.本文給出了在抽象矩陣情況下證明齊次線性方程組同解的更為實用的方法.
　　2.命題的給出及證明
　　命題n元齊次線性方程組AX=0與BX=0同解的充分必要條件是AX=0?圳BX=0.
　　首先，我們沿用文獻中的關于矩陣的加法（減法）、數量乘法、乘積的定義.
　　命題的必要性是顯然的，所以我們只證命題的充分性.AX=0與BX=0的互推是通過矩陣的加法（減法）、數量乘法、乘積運算或這三種運算的復合運算實現的，所以只要在矩陣的加法（減法）、數量乘9qjeY4NfJwEn/ZQaKe8iyg==法、乘積這三種單獨運算情況下命題的充分性成立，則復合運算情況下命題的充分性必然成立.因而，我們只需從矩陣的加法（減法）、數量乘法、乘積三個方面來證明命題的充分性，在證明過程中我用到了文獻中列向量組的概念.
　　2.1從矩陣的加法（減法）方面
　　AX=0?圯BX=0，設AX=0，BX=0，CX=0，A+C=B且A、B、C均為m×n矩陣，X為n×1矩陣.則（A+C）X=0與BX=0等價.這樣就通過矩陣的加法（減法）實現了AX=0?圯BX=0.
　　此時，b=a+c，i=1，2，…，m；j=1，2，…，n
　　即［ββ…β］=［α+γα+γ…α+γ］
　　又因為αx+αx+…+αx=0，γx+γx+…+γx=0，
　　所以x，x，…x必然滿足βx+βx+…+βx，
　　即AX=0的解是BX=0的解.
　　BX=0?圯AX=0.同理，BX=0的解是AX=0的解.
　　所以n元齊次線性方程組AX=0與BX=0同解，命題的充分性成立.
　　2.2從矩陣的數量乘法方面
　　此情況下證明比較簡單，這里不再贅述.
　　2.3從矩陣的乘積方面
　　AX=0?圯BX=0.設AX=0，BX=0，且DA=B，FB=a，則DAX=0與BX=0等價，這樣就通過矩陣的乘積實現了AX=0?圯BX=0.此時，
　?。郐?β … β］=D［α α … α］
　　又因為Dαx+Dαx+…+Dαx=0，
　　所以x，x，…x必然滿足βx+βx+…+βx=0，
　　即AX=0的解是BX=0的解.
　　BX=0?圯AX=0.同理，BX=0的解是AX=0的解.
　　所以n元齊次線性方程組AX=0與AX=0同解，命題的充分性成立.證畢.
　　必須指出，在2.3中A、B不一定為同型矩陣.
　　3.應用例子
　　例1.設A=（a）為m×n矩陣，證明：秩（AA）=秩（AA）=秩（A）.
　　證明：首先證AAX=0與AX=0同解.因為AX=0的解一定是AAX=0的解，而又因為AAX=0?圯XAAX=0?圯（AX）（AX）=0，即AAX=0的解為AX=0的解，所以AAX=0與AX=0同解，再由定理3的必要性知R（AA）=R（A）=R（A）.
　　同理可證AAX=0與AX=0同解.因為AX=0?圯AAX=0，又因為AAX=0?圯XAAX=0?圯（AX）（AX）=0?圯（AX）=0，即AAX=0與AX=0同解.再由定理3的必要性知R（AA）=R（A）.
　　綜合上述，可知秩（AA）=秩（AA）=秩（A）.
　　例2.已知n×m矩陣A的列向量是齊次線性方程組MX=0的基礎解系，B是m階可逆矩陣，試證AB的列向量也是齊次線性方程組MX=0的基礎解系.
　　證明：設A=（α，α，…α，）
　　A的列向量是齊次線性方程組MX=0的基礎解系，即MA=0，方程左右兩邊同時右乘B，則MAB=0，即M（AB）=0，所以AB的列向量也是齊次線性方程組MX=0的解。而B是m階可逆矩陣，所以r（A）=r（AB）=m，則AB的列向量組線性無關且個數依然為m，即齊次線性方程組MX=0基礎解系中所含向量的個數，所以AB的列向量也是齊次線性方程組MX=0的基礎解系。
　　例2中雖然沒有直接用到本文中的命題，但在證明“AB的列向量也是齊次線性方程組MX=0的解”時用到了2.3中的思想，這也是學習數學最重要的一點，即我們更注重方法的掌握而不僅僅是定理的應用。
　　
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