數列中的數陣問題

　　數列是高中數學中的重要內容，也是近年高考中的熱點內容，其主要考查內容是等差數列與等比數列的通項公式與數列求和問題。近年來，高考中出現了一些“數陣”型的題目（所謂“數陣問題”是指將某些數，按一定的規律排成若干行和列，形成圖表），因其直觀、新穎，能較好地考查學生的觀察、分析、猜想、歸納能力而深受命題者的青睞，并多次出現在高考試題中，下面我們舉例說明。
　　例1.把所有奇數排列成下面的數表：
　　根據規律請指出：（1）197排在第幾行的第幾個數？（2）第10行的第9個數是多少？
　　解：（1）197是奇數中的第99個數.
　　因為上述數表中，第1行有1個數，第2行有3個數，第3行有5個數，…則第n行有2n-1個數，
　　所以前n行中共有奇數的個數為：
　　1+3+5+7+… +（2n-1）=［1+（2n-1）］×n÷2=n×n.
　　因為9×9＜99＜10×10，所以第99個數位于數表的第10行的倒數第2個數，即第18個數，即197位于第10行第18個數.
　　（2）因為前9行共9×9個奇數，所以第10行的第9個數是奇數中的第9×9+9＝90個數，它是2×90-1＝179.
　　例2.將正偶數按下表排成5列：
　　那么2004應該在第?搖?搖?搖?搖行第?搖?搖?搖?搖列.
　　解：由2004是正偶數列中第1002項，每一行四項，故排在第251行第二個.又第251行是從左向右且從第二行開始排，故2004在第251行第3列.
　　在這樣的排列下，數字3排在第2行第1列，13排在第3行第3列，問：1993排在第幾行第幾列？
　　分析與解答：
　　不難看出，數表的排列規律如箭頭所指，（見下圖1）
　　為了研究方便，我們不妨把原圖順時針轉動45°，就成為了三角陣（如圖2）。
　　在三角陣中，第1行1個數，第2行2個數，…第n行就有n個數，設1993在三角陣中的第n行，
　　則：1+2+3+…+n-1＜1993≤1+2+3+…+n，
　　即：n（n-1）÷2＜1993≤n（n+1）÷2.
　　用試值的方法，可以求出n=63.
　　又因為1+2+…+62=1953，即第62行中最大的數為1953.
　　在三角陣中，奇數列的數字從左到右，依次增大，又1993-1953=40，所以1993是三角陣中第63行從左開始數起的第40個數（若從右開始數，則為第24個數）.
　　把三角陣與左圖作比較，可以發現：
　　①三角陣中每一行從左開始數起的第幾個數，就位于左圖的第幾列.
　　②三角陣中每一行從右開始數起的第幾個數，就位于左圖的第幾行.
　　由此可知，1993位于原圖的24行40列.
　　例4.如圖，給出了一個三角形數陣，已知每一列的數成等差數列，從第3行起，每一行的數成等比數列，每一行的公比都相等，記第i行第j列的數為a（i≥j，i，j∈N）.
　　（3）設這個數陣共有n行，求數陣中所有數之和.
　　解：（1）由題意，第一列公差d=-=，
　　∴a=+（4-1）×=1.
　　由第3行得公比q=.∴a=1×=.
　　（2）由（1）的規律可得：a=.
　　（3）設數陣中第n行的所有數字之和為A，
　　例5.給出下列數表：
　　1，2，3，…，n
　　2，4，6，…，2n
　　3，6，9，…，3n
　　…
　　n，2n，3n，…，n
　　記S=1，S=2+4+2，S=3+6+9+6+3.
　　（1）先求出S，S，S的值，歸納出S并予以證明.
　　（2）利用數表計算T=1+2+3+…+n.
　　解：（1）因為S=1，S=8，S=27，猜想S=n.
　　現證明如下：
　　S=n+2n+3n+…+n+（n-1）n+…+2n+n
　　 =2（n+2n+3n+…+n）-n
　　 =2n（1+2+3+…+n）-n
　　 =n（n+1）-n=n
　　（2）由T=1+2+3+…+n=S+S+S+…+S，
　　知T為所給數表中各數的和，
　　T=（1+2+3+…+n）+2（1+2+3+…+n）+…+n（1+2+3+…+n）
　　 =（1+2+3+…+n）=
　　由上例可以看出，利用數陣解決某些特殊數列的項數或求和問題，關鍵是抓住題目中所給出的各行各列所構成數列的類型，再根據所給出的特殊項推出各行、各列的前幾項，進而求出通項或各項和，從而順利地解決相關的問題。