學好集

　　集合是高中數學的基礎，也是高中數學的工具。但剛從初中升上來的高一學生，面對集合這一抽象的概念時，往往理解不透，認識不深刻，而正是這種認識上的不深刻性，往往使學生在解決有關集合問題時缺乏嚴謹性。我在教學實踐中總結出，在集合這一章的教學中如果能注意以下幾個問題，就可以使學生較好地掌握集合的概念，并為今后的學習打下良好的基礎。
　　一、立足基礎，抓住元素的“三特性”
　　集合元素有三個性質：確定性、互異性和無序性。特別是元素的互異性，它常常被學生在解題中忽略，從而導致解題失敗，所以必須要牢記。
　　例1：若A={2，4，a-2a-a+7}，B={1，a+1，a-2a+2，-（a-3a-8），a+a+3a+7}，若A∩B={2，5}，試求實數的值.
　　解析：由A∩B={2，5}知5∈A，由a-2a-a+7=5解出a，代入B檢驗.
　　解題過程：∵A∩B={2，5}，∴a-2a-a+7=5，由此求得a=2或a=±1.
　　當a=1時，a-2a+2=1，與元素的互異性相違背，故應舍去.
　　當a=-1時，得到B={1，0，5，2，4}，與A∩B={2，5}相矛盾，故舍去.
　　當a=2時，A={2，4，5}，B={1，3，2，5，25}此時，A∩B={2，5}，符合題意.
　　∴a=2即為所求.
　　注：此類問題提醒我們思維一定要嚴密，很好地體現了數學的嚴密性。
　　二、空集的特殊性及其特殊作用
　　空集是一個特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。在解決含有空集參與的集合問題時，其特殊性往往被學生忽略，從而引發解題失誤。
　　例2：集合P={x|x-3x+b=0，x∈R}，Q={x|（x+1）（x+3x-4）=0，x∈R}，
　　（1）若b=4，存在集合M使得P?芴M?芴Q，求出這樣的集合M；
　　（2）P能否成為Q的一個子集？若能，求b的取值或取值范圍；若不能，請說明理由.
　　解析：（1）當b=4時，方程x-3x+b=0的判別式Δ=（-3）-4×1×4，即方程x-3x+b=0無實數根，故P=?覫，且Q={-4，-1，1}.
　　由已知條件得M應是一個非空集合，且是Q的一個真子集，用列舉法可得這樣的集合M共有6個，分別為{-4}，{-1}，{1}，{-4，-1}，{-4，1}，{-1，1}.
　　（2）①當P=?覫時，P顯然是Q的一個子集，此時Δ=9-4b＜0，∴b＞.
　　②當P≠?覫，Q={-4，-1，1}，假設存在的話，則有以下三種情況：
　　若-1∈P時，把-1代入方程x-3x+b=0，即得b=-4，則P={4，-1}.∵4?埸Q，∴P不是Q的子集；
　　同理，若-4∈P時，此時P={7，-4}，也不是Q的子集；
　　若1∈P時，此時P={1，2}，也不是Q的子集.
　　綜上所述，b的取值范圍為b|b>.
　　注：此題不僅考查了學生對空集特殊性的掌握情況，而且包含了分類思想。
　　三、數形結合與集合交、并、補運算
　　集合的常見運算有交、并、補這三種，它是第一章的核心內容之一。在進行集合的交集、并集、補集運算時，對于難以通過直接法得出結果的問題，借助數軸工具或Venn圖，即可將復雜問題直觀化，是數形結合思想具體應用之一。
　　例3：已知集合A={x|-2＜x＜-1或x＞0}，B={x|a≤x≤b}，滿足A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B={x|x＞-2}，求a、b的值.
　　解析：將集合A、A∩B、A∪B分別在數軸上表示，如圖1所示，由A∩B={x|0＜x≤2}知b=2且-1≤a≤0；由A∪B={x|x＞-2}，知-2＜a≤-1，綜上：a=-1，b=2.
　　注：解決關于不等式形式的集合問題時，常借助于數軸工具，形象、直觀。但必須強調空心點、實心點。
　　例4：期中考試，某班數學優秀率為70%，語文優秀率為75%.問：上述兩門學科都優秀的百分率至少為多少？
　　解析：此題可直接解，但如果從集合角度來看這個問題，就要用到Venn圖了.不妨設總人數為100，則用Venn圖分別表示數學優秀人數和語文優秀人數.
　　由圖2顯見，設兩門學科都優秀的人數為x，則必有70+75-x≤100，所以x≥45，即兩門學科都優秀的百分率為45%.
　　注：通過Venn圖，可以解決同時滿足兩個條件的應用題，甚至還可以是三個條件都滿足的與實際生活相結合的問題。
　　四、分類討論思想在解決集合問題中的應用
　　利用分類討論思想解答分類討論問題已成為高考中考查學生知識和能力的熱點問題。這是因為：其一，分類討論問題一般都覆蓋較多知識點，有利用對學生知識面的考查；其二，解分類討論問題需要一定的分析能力、一定的分類討論思想與技巧，因此有利于對學生能力的考查；其三，分類討論問題常與實際問題相聯系。
　　解分類討論問題的實質是把整體問題化為部分來解決，化成部分后，也就增加了題設條件，這也是解分類問題總的指導思想，在分析集合所含元素的情況時，常常會涉及到分類討論思想。
　　例5：已知集合A={x|ax+2x+1=0，a∈R}，
　　（1）若A中只有一個元素，求a的值；
　　（2）若A中至多只有一個元素，求a的取值范圍.
　　解析：（1）應根據a是否為0分兩種情況進行討論：
　　①a=0，此時A={-}，符合題意；
　　②a≠0，則必須且只須Δ=4-4a=0，即a=1.
　　∴a=0或a=1.
　　（2）A中至多只有一個元素，包括兩種情況：
　　①A中只有一個元素，由（1）知a=0或a=1；
　　②A中沒有元素，此時應有a≠0Δ=4-4a＜0，得a＞1.
　　∴a的取值范圍是{a|a≥1或a=0}.
　　注：①在處理二次項系數含有參數的方程時，一定要有分類討論的意識；②對于分類討論后的字母取值，一般取其并集。
　　綜上所述，集合問題的難度雖然不大，但綜合性較強、解法靈活。解題的關鍵在于針對問題的結構特點，選擇恰當的解題策略，有時還需要多種策略融為一體，共同發揮作用。只有在教學中牢牢抓住這幾點，才能使高一學生分析問題、解決問題的能力大大提高，為今后的學習打下扎實的基礎。