辨析概率中的易錯題

　　概率問題源于實際，貼近生活，學生樂學，但由于易混點多，學生理解不透徹，容易產生錯誤。下面對概率中的易錯問題進行辨析，現舉例如下：
　　一、缺乏應用概率知識的能力
　　例1著名歷史故事《田忌賽馬》中，田忌獲勝的概率是多少？
　　錯解：《田忌賽馬》故事中，田忌靠聰明才智戰勝齊王，所以田忌獲勝的概率是P=1。
　　辨析：齊王和田忌各出上、中、下三匹馬，均不知對方出馬的順序，比賽中共有以下6種情況等可能發生：
　　（1）上——上 中——中 下——下
　　（2）上——上 中——下 下——中
　　（3）上——中 中——上 下——下
　　（4）上——中 中——下 下——上
　　（5）上——下 中——上 下——中
　　（6）上——下 下——上 中——中
　　正解：事實上，田忌、齊王獲勝的概率均為，平局的概率為。故事中，田忌是按照“上——中，中——下，下——上”方式戰勝齊王的， 所以田忌獲勝的概率P=。
　　二、 “等可能”與“非等可能”相互混淆
　　例2擲兩枚骰子，求所得點數之和為5的概率。
　　錯解：擲兩枚骰子，出現點數之和有2、3、4、5、…12共11種，即有11個基本事件，所以P=。
　　辨析：以上11個基本事件不是等可能的，如“點數之和為2”只有1個基本事件（1，1），而“點數之和為5” 有4個基本事件（1，4），（4，1），（2，3），（3，2）。
　　正解：擲兩枚骰子共有36個基本事件，所以“所得點數之和為5”的概率P==。
　　三、 概念理解不清
　　例3一射手平均每射擊10次中靶4次，每次射擊是否擊中互不影響，求在5次射擊中，第2次中靶的概率。
　　錯解：在5次射擊中，第2次中靶的概率是P=（1-）4=0.05184。
　　辨析：此題錯解的原因是相互獨立事件的概念不清，在獨立事件中，每一次試驗事件是否發生互不影響；另外此題解答時還將“5次射擊，第2次中靶” 與“5次射擊，恰好第2次中靶”混淆。因為“5次射擊，恰好第2次中靶”是指射擊5次只有第2次中靶，其他4次都未中靶，它的概率是P=（1-）4=0.05184。
　　正解1：“5次射擊，第2次中靶”是指只與第2次有關，與其他4次無關，所以在5次射擊中，第2次中靶的概率P=。
　　正解2：“5次射擊，第2次中靶”是指第1、3、4、5次射擊可中可不中，概率均為1，所以在5次射擊中，第2次中靶的概率P=1××1×1×1=。
　　四、處理不好排列與組合的關系
　　例4袋中有6個白球和4個黑球， 從中不放回地逐個摸出4個球，求摸出的4個球中恰有1個黑球的概率。
　　錯解：從袋中不放回地逐個摸出4個球， 第一次有10種方法，第二次有9種方法，第三次有8種方法，第四次有7種方法，由乘法原理可知共有10×9×8×7種方法；“摸出的4個球中恰有1個黑球”有C14×C36種方法，所求概率P==。
　　 辨析：計算“不放回地逐個摸出4個球”的方法種數用的是排列；而計算 “摸出的4個球中恰有1個黑球” 的方法種數用的是組合。
　　正解1（用排列方法）：從袋中“不放回地逐個摸出4個球”有A410中方法，“4個球中恰有1個黑球”有C13·C36·A410種方法，所求概率P==。
　　正解2（用組合方法）：從袋中“不放回地逐個摸出4個球 ”，可以看成一次摸出4個球，有C410種方法，“摸出的4個球中恰有1個黑球”有C13·C36種方法，所求概率P==。
　　五、 “相互獨立事件”與“互斥事件”相互混淆
　　例5某家庭電話在家中有人時，打進的電話響第1聲時被接的概率為0.1，響第2聲時被接的概率為0.3，響第3聲時被接的概率為0.4，響第4聲時被接的概率為0.1，那么電話在前四聲被接的概率為多少？
　　錯解：分別記“電話響第1、2、3、4聲時被接”為事件A1、A2、A3、A4，則有P(A1)=0.1，P(A2)=0.3，P(A3)=0.4，P(A4)=0.1，則電話在前四聲被接的概率為P=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=0.1×0.3×0.4×0.1=0.0012。
　　辨析：本題錯誤的原因是把互斥事件看成相互獨立事件，事實上，“電話響第i聲時被接”（i=1、2、3、4）四個事件彼此互斥而不是相互獨立的，例如“電話響第1聲時被接”是否發生影響到“電話響第2聲時被接”發生的概率。
　　正解：P=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.1+
　　0.3+0.4+0.1=0.9。
　　六、在相互獨立事件中，對“事件A前K-1次不發生而第K次發生” 與“事件A第K次是否發生都在第K次結束試驗” 相互混淆
　　例6有一批數量很多的產品，其次品率為15%，對這批產品進行抽查，每次抽出一件，如果抽出次品，則抽查終止；否則繼續抽查，直到抽出次品，規定抽查次數不超過10次。
　　（1）求抽查次數的概率?孜=4的概率；
　　（2）求抽查次數的概率?孜=10的概率。
　　錯解：（1）抽查次數的?孜=4概率為P=
　　0.853。（2）抽查次數的?孜=10概率為P=
　　0.859×0.15。
　　辨析：（1）“抽查次數?孜=4”就是“前3次未抽到次品，第4次抽到次品”。本題錯誤地理解為“前3次未抽到次品，第4次必然抽到次品 ”，即把“第4次抽到次品”看成必然事件。（2）“抽查次數?孜=10”就是“前9次未抽到次品，第10次抽到次品或正品”。本題錯誤地理解為“前9次未抽到次品，第10次抽到次品 ”。
　　正解：（1）從這批產品中每次抽出一件檢查的試驗是相互獨立的，每次抽出次品的概率為0.15，抽出正品的概率為0.85，所以抽查次數?孜=4的概率為 P=0.853×0.15。
　　（2）?孜=10表示前9次均未抽到次品，
　　而第10次抽到次品，也可以抽到正品，所以抽查次數?孜=10的概率為P=0.859×（0.15+0.85）=0.859。
　　七、忽視幾何概型等可能性
　　例7在長為12cm的線段MN上任取一點P，并以線段MN為邊作正方形，求這個正方形的面積介于16cm2與49cm2之間的概率。
　　錯解：記事件A=“正方形的面積介于16cm2與81cm2之間”，則事件A對應區域的幾何度量：μA=49-16=33cm2，以MP為邊的正方形面積Ω對應區域的幾何度量：μΩ=144cm2，由幾何概型的概率公式P（A）===。
　　辨析：點P在線段MN上是等可能分布的，而以MP為邊的正方形的面積的取值在0到144之間不是等可能分布的。例如取線段MN中點D，則點P在線段MD和DN上是等可能分布的，這時以MP為邊的正方形面積分別在區間（0，36）和（36，144）上取值，顯然不是等可能的。
　　正解：點P在線段MN上等可能分布的。記事件A=“正方形的面積介于16cm2與49cm2之間”，則事件A對應區域的幾何度量：μA=-=3cm，點P在線段MN上所有可能的區域對應的Ω的幾何度量為μΩ=12cm，由幾何概型的概率公式P（A）===。
　　例8在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，在∠ACB的內部任作一條射線CP，與線段AB交于點P，求AP＜AC的概率。
　　錯解：在AB上取AQ=AC，那么在∠ACB內作射線CP，即在線段AQ上任取一點P，作射線CP，那么AP＜AC的概率P===。
　　辨析：“在∠ACB的內部任作一條射線CP”是等可能的， 而“射線CP與線段AB的交點P”在線段AB上不是等可能的。例如設CM為∠ACQ的平分線，由題意知點Q不是線段Q中點， 這時點在線段AM和MQ上不是等可能的。所以解決幾何概型的問題時，一定要選擇好觀察角度，注意判斷基本事件的等可能性，才能得出正確解答。
　　正解：在∠ACB內射線CP是等可能的，在AB上取AQ=AC，則∠ACQ=67.5°，故AP＜AC的概率P===。
　　（河南省醫藥學校）