二次函數(shù)解析式的模型歸類

　　摘要：二次函數(shù)是九年級(jí)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，其中確定函數(shù)的解析式是重要的課程目標(biāo)。要依據(jù)特殊性包含于一般性的原則，探索歸納出由特殊到一般的二次函數(shù)的解析式模型，達(dá)到快速準(zhǔn)確地應(yīng)用待定系數(shù)法確定解析式的目標(biāo)。
　　關(guān)鍵詞：二次函數(shù)解析式；確定型；開放型；圖像變換型
　　
　　二次函數(shù)中，解析式的確定是重要的課程目標(biāo)。在教學(xué)中，要確定二次函數(shù)解析式，在不同的已知條件下套用不同的解析式模型，可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程。
　　一、確定型
　　要確定任意一個(gè)二次函數(shù)的解析式，都可以用待定系數(shù)法，設(shè)解析式為y=ax2+bx+c，而特殊函數(shù)的解析式能采用特殊的解析式模型。
　　（1）一點(diǎn)式：二次函數(shù)圖像與y軸交于（0，p）時(shí)，由二次函數(shù)圖像的幾何意義，設(shè)解析式為y=ax2+bx+p。
　　例1．已知過(guò)A（-2，-1），B（2，1）兩點(diǎn)的二次函數(shù)的圖像與y軸相交于（0，-2），試確定該二次函數(shù)的解析式。
　　 解析：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx-2，由已知得：4a-2b-2=-1，4a+2b-2=1，a=，b=，
　　故，解析式為y=x2+x-2。
　　（2）兩點(diǎn)式：已知二次函數(shù)圖像與x軸交于兩點(diǎn)（m，0）和（n，0）時(shí)，由二次函數(shù)圖像的幾何意義知，x=m和x=n是函數(shù)值為0的方程的兩個(gè)根，故設(shè)解析式為y=a（x-m）（x-n）。
　　例2．已知拋物線經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（3，0），C（2，3）三點(diǎn)，求該拋物線的解析式。
　　解析：設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），將C點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，-3a=3，a=-1，故，y=-（x+1）（x-3）。
　　（3）三點(diǎn)式：已知二次函數(shù)圖像與x軸交于兩點(diǎn)（m，0）和（n，0），與y軸交于點(diǎn)（0，p）時(shí)，x=m和x=n是函數(shù)值為0的方程的兩個(gè)根，可以設(shè)解析式為y=a（x-m）（x-n），即y=ax2-a（m+n）x+amn，而amn是圖像與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，于是amn=p，解得a=。特別的，圖像過(guò)原點(diǎn)（0，0）時(shí)，設(shè)解析式為y=ax（x-m）。
　　例3．已知拋物線經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且BC=3，求拋物線的解析式。
　　 解析：設(shè)C（0，c），由B（3，0），BC=3，得（3）2=32+c2，c=±3，設(shè)解析式為y=a（x+1）（x-3）=ax2-2ax-3a，則-3a=±3a==，故，y=±（x+1）（x-3）。
　　（4）頂點(diǎn)式：已知二次函數(shù)的圖像頂點(diǎn)為（h，k）時(shí)，設(shè)解析式為y=a（x-h）2+k。
　　例4．已知O為原點(diǎn)，A（2，0），B（1，），求經(jīng)過(guò)A，B，O三點(diǎn)的拋物線的解析式。
　　解析：由已知得，點(diǎn)B為拋物線的頂點(diǎn)，故設(shè)解析式為y=a（x-1）2+，過(guò)（0，0）點(diǎn)，則a=-，即y=-（x-1）2+。
　　（5）對(duì)稱軸式：已知拋物線的對(duì)稱軸為x=h，設(shè)解析式為y=a（x-h）2+k。
　　例5．已知拋物線的對(duì)稱軸為x=2，且過(guò)點(diǎn)（4，2），（1，0），求該拋物線的解析式。
　　解析：由拋物線的對(duì)稱性，設(shè)解析式為y=a（x-2）2+k，則2=4a+k，0=a+k，a=，k=-，故，y=（x-2）2-。
　　 二、開放型
　　確定一個(gè)二次函數(shù)的解析式的開放問(wèn)題是新課程中出現(xiàn)的新型問(wèn)題，旨在考查學(xué)生的發(fā)散思維能力，只要掌握拋物線的開口方向、對(duì)稱軸方程、頂點(diǎn)位置、與x軸和y軸的交點(diǎn)、y隨x的增大而變化的趨勢(shì)等對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)的取值范圍，任意寫出一個(gè)函數(shù)關(guān)系都符合要求。
　　例6．（1）已知一個(gè)二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)為（-2，3），且開口向下，求函數(shù)的解析式。
　　解析：只須注意在解析式y(tǒng)=a（x+2）2+3中，a＜0的條件，
　　故，解析式可以為y=-（x+2）2+3。
　　（2）已知二次函數(shù)的圖像與y軸相交于（0，-1），頂點(diǎn)在第三象限，在第一象限y隨x的增大而增大，求函數(shù)的解析式。
　　解析：設(shè)解析式為y=ax2+bx-1，由頂點(diǎn)在第三象限，且在第一象限y隨x的增大而增大，知開口向上，a＞0，＞0，即b＞0，故，解析式可以為y=x2+2x-1。
　　 三、圖像變換型
　　對(duì)圖像采取平移和軸對(duì)稱變換后，只改變圖像在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置或開口方向，而不改變開口大小，所以，變換前后，緊緊抓住頂點(diǎn)的位置（坐標(biāo)）和開口方向，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。
　　例7．已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c，將其圖像依次進(jìn)行如下變換：⑴作關(guān)于x軸的軸對(duì)稱圖形；⑵作關(guān)于y軸的軸對(duì)稱圖形；⑶向左平移1個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位，得二次函數(shù)的解析式為y=2（x-1）2-2。試確定原函數(shù)解析式。
　　思路：按變換順序的倒序⑶，⑵，⑴的順序及原變換的逆變換依次作3個(gè)變換，即確定了原函數(shù)的解析式。
　　解析：將y=2（x-1）2-2逆變換⑶：向右、向下分別平移1，3個(gè)單位得y=2（x-2）2-5→逆變換⑵：作關(guān)于y軸的軸對(duì)稱圖形y=2（-x-2）2-5=2（x+2）2-5→逆變換⑴：作關(guān)于x軸的軸對(duì)稱圖形-y=2（x+2）2-5，即y=-2（x+2）2+5。
　　故，原函數(shù)的解析式為y=-2（x+2）2+5。
　　 （通渭縣第二中學(xué)）