莫讓亂花迷了眼

　　數學概念例證是指能夠說明或代表數學概念屬性的例子。屬于概念所代表的例子叫做正例，不屬于概念所代表的一類事物的例子叫做反例。“一個好例子勝過一千條說教。”在數學概念教學中，設計好例證，對于揭示概念屬性、概括概念定義有著非常重要的意義。
　　本學期聽了“相交與平行”一課，筆者感覺本課例證的選擇和使用在適切性、遷移性、簡約性、嚴密性、典型性等方面存在許多商榷的地方，引發了一些思考。
　　一、從難度上看，例證的使用超越了學生的接受水平
　　（出示課桌上的小棒與地面上的小棒所在直線的平行圖）
　　師：這兩根小棒，一根在桌面上，一根在地面上，會不會平行？
　　生1：會。
　　師：為什么？
　　生2：因為它們也可以延長。
　　生3：桌面上的小棒在上面，地面上的小棒在下面，桌面上的小棒無論怎樣延長，也不會延伸到地面。
　　生4：因為桌面到地面的距離是一定的，所以不會相交。
　　師：這位同學已經感受到了它們不在同一平面內，今天我們就來研究同一平面內兩條直線的位置關系。
　　……
　　分析：可以看出，教師的本意是呈現不同平面內兩條直線互相平行的例證，拓寬學生對于平行的認識，并且引出“同一平面”的概念。但是，三維空間內兩條直線的位置關系可以是相交直線、平行直線或異面直線，僅僅根據“延長后會不會相交”來判斷三維空間內兩條直線是不是平行，這種方法是片面的。這一例證的辨析已經超出了學生的接受水平，強學生所難。本環節應該重點引出“同一平面”的概念，舍去“兩條直線是否平行”的判斷。
　　調整：呈現圖后，教師指出：“這兩根小棒，一根在桌面上，一根在地面上，這兩根小棒所在的直線不在同一平面內，像這種情況我們以后再研究，這節課我們只研究在同一平面內兩條直線的位置關系。”
　　二、從遷移的角度看，設計的例證干擾了學生對概念的理解
　　師（出示圖1）：你能發現互相平行的直線嗎？
　　生1：兩條鐵軌所在的直線是互相平行的。
　　師：我怎么看這兩條直線在遠處還要相交呢！
　　生2：不是，不是。
　　生3：近看的話是非常的寬廣，在遠處看是越來越小。
　　師：你想表達的是近大遠小，這是我們視覺上的錯覺。
　　（隨后在圖2平行線的判斷中出現了麻煩）
　　生4：不是平行線，延長后會相交。
　　生5：是平行線，近大遠小，這是視覺問題。
　　生6：對，對，就像剛才出示的鐵軌。
　　師（尷尬地）：這兩條直線我們不把它看作生活中的鐵軌，而是把它看作同一平面內的直線，你們認為它們會相交嗎？
　　生（小聲地）：不會。
　　……
　　分析：呈現的鐵軌圖，從圖上看延長后會相交，學生根據生活經驗把它還原成生活中的場景，認為兩條鐵軌所在的直線不會相交，是平行關系，這樣就在頭腦中建立了錯位的平行線表象，干擾了學生對平行概念的理解，以至于學生把“練一練”中間距不相等的兩條直線想象成鐵軌，認為是平行關系，教師需要另外說明幫助學生判斷。這就使學生產生這樣的困惑：呈現的兩條直線有時能和實際聯系，有時不能和實際聯系，能不能和實際結合，由老師說了算。
　　調整：德國心理學家艾濱浩斯說過：“保持與重現在很大程度上依賴于有關的心理活動第一次出現時注意和興奮的程度。”這里突出強調了首次感知，所以本例證應該選用標準圖（如圖3），從圖上看兩條鐵軌所在的間距處處相等。
　　三、從注意的角度看，繁多的例證弱化了學生對概念本質屬性的感知
　　師（出示圖4）：第一條和第二條直線（課件從上往下閃動這兩條直線）位置關系是怎樣的？
　　生1：第二條下面空隙大，第一條和第二條中間距離小。
　　師：你是說它們的距離吧？老師問的是第一條直線和第二條直線的位置關系是怎樣的。
　　生2：第二條比第一條寬。
　　師：你是比較第一、第二條之間的距離與第二、第三條之間的距離，是吧？下面就來研究這兩條直線的位置關系怎樣。（生語塞）無限延長后會相交嗎？
　　生：不會。
　　師：那它們的位置關系是——
　　生：平行的。
　　師：真棒！
　　……
　　分析：呈現的平行線例證——并排在一起的4條直線，從圖上看它們的屬性有間隔的寬窄、不相交等。由于是橫向呈現，間隔的變化非常明顯，間隔的大小強烈地刺激著學生的無意注意，很少有學生關注兩條直線是否相交，最后只好由教師硬牽著學生去發現平行的位置關系。
　　調整：根據小學生注意和知覺的規律，本環節教師可以先出現跑道圖，再選取兩條直線，用紅色標注，隱去背景，教師重點引導學生認識這兩條直線的位置關系——平行。
　　四、從嚴密性上看，呈現的例證與概念的本質屬性似是而非
　　師（出示圖5）：這是花樣滑冰世界冠軍在冰上的優美身姿，從圖中可以找到哪些平行線？
　　生1：兩條腿互相平行。
　　生2：前面的胳膊和后面胳膊平行。
　　師：好像是平行的。
　　生3：他們的頭互相平行。CBqIWeWqzRoB4t29enmo/g==
　　生4：他們的全身也互相平行。
　　師：你想表達的是他們的軀干。
　　……
　　分析：案例中學生的回答讓人啼笑皆非：兩位運動員的兩條腿，勉強可以說是平行的；兩人的手握在一起，他們的胳膊決不能說是平行的；頭可以看作兩個點，無所謂平行與不平行；把兩個人的軀干看成是平行的，也不恰當。出現這種情況的癥結在于例證的不典型，學生只好牽強附會地瞎猜。
　　調整：數學教學要尊重數學的本質，應講究科學，追求嚴密。概念教學中，提供的例證要能夠為學生概念的學習提供支撐。本環節應刪去這個例證，選擇典型性的變式例證，如秋千架的兩根吊繩、五線譜中的橫線等。
　　五、反思
　　例證是影響概念學習最為重要的外部因素，它是感知、抽象和概括概念本質屬性的重要載體。為了有利于學生開展抽象概括活動，需要我們研究例證的選擇，根據例證設計教學過程，使數學概念教學更具實效性。
　　1．例證的設計要符合學生的認知水平
　　設計例證要充分考慮學生的接受能力，要從學生現有的知識經驗和思維水平出發，選擇和使用例證，不能隨意拔高難度，更不能隨意下放初、高中的教學內容，不恰當地拓展。因為現在涉及部分初中、高中數學的內容，受思維水平限制，學生可能會形成一些不正確的認識，這樣先入為主，會給將來的學習制造障礙。
　　2．例證的設計要避免歧義
　　從學生的年齡特征出發，設計例證的外在形式要和實質一致，才能充分發揮圖形直觀的作用，幫助學生建立清晰明確的表象，促進學生的正遷移，充分發揮例證的說明、支持、解釋