試論數學模型法與數學教學的結合與應用
2011-12-31 00:00:00彭偉健
職業時空 2011年12期
摘要：在教學中，將數學模型法與數學教學相結合，為學生學數學提供條件性知識，會使學生學會利用數學理論和方法去分析和解決問題，培養他們用數學的意識。
關鍵詞：數學模型法；數學教學；結合與應用
數學是人們認識世界和改造世界的一種基本手段和方法。它作為一種思想、一種語言、一種思維、一種策略，不應只限于“一張紙一支筆”式的推理論證，而是應與實踐相結合，從實踐中獲得感性認識。所謂數學模型法，是指把所考察的實際問題，化為數學問題，構造相應的數學模型，通過對數學模型的研究，使實際問題得以解決的一種數學方法。
一、數學模型法的歷史溯源
在中國古代，公元1世紀成書的《九章算術》為當時社會生活各個領域利用數學提供了系統的數學模型。例如其中的“粟米”章提供了糧食互換及其他貿易用的數學模型，“勾股”章提供了一種可用于多種領域的數學模型－直角三角形，“方程章”則提供了“線性方程組”。
近代的伽里略是在實際的科學研究中開創數學方法與實際結合的第一人，從而開啟了數學模型法在近代科學中應用的先河；牛頓建立的經典力學體系也正是用數學模型表述的（即微積分學）。因此運用數學模型法時可以利用現成的數學內容作為模型；如果沒有，就要建立新的數學模型，而為此往往需要創建新的數學理論，因而運用數學模型法也促進著數學的發展。這樣，人們不僅由實際問題中提煉出數學模型并運用數學模型解決原有的問題，也開始對數學模型作了深入的研究，并且利用研究的結果發現現實世界中的新事物，或者創造出符合模型提供的規律的新型實物。
這樣，數學模型就成為各門科學中極其重要的方法，通過構造數學模型，使得利用構造數學模型解決實際問題的方法廣泛應用于自然科學工程技術，甚至于社會科學的一切領域中，并且它通過各門科學與現實世界聯系起來了。
二、數學模型法在數學教學中的意義與運用
1.數學模型法對數學教學的意義
為適應現代社會的發展，立足于數學應用教育，在數學的教學中，我們應考慮加入“實際-理論-實際”策略，這是依據數學模型法是數學的一種重要方法而提出來的。即首先描述一個實際問題，通過觀察分析，將實際問題抽象為數學問題，然后同數學模型納入某個知識系統去處理，試圖用已有的數學模型（如方程、不等式、函數、統計等）來解決，最后用其結果來闡釋實際問題，這樣可以培養學生的觀察、分析、抽象、綜合、類比等能力。
當我們在教學中始終貫穿著數學模型法的思想，引導學生用數學思維的觀點去觀察、分析和表示各種事物的數學信息，從紛繁復雜的具體問題中抽象出熟悉的數學模型，可以達到用數學模型解決實際問題，并使數學模型的意識成為學生思考問題的方法和習慣。
2.數模法教學采用的方法
對于具體的實際問題，在利用數學模型法求解時，常有兩種可能情形：（1）在少數場合，由實際問題抽象出來的數學模型，不能納入已知的數學模型，須有待于邏輯地建立它的新理論，這就是數學家的發現和創造。例如歐拉所提出的“哥尼斯堡七橋問題”。（2）在多數場合，由實際問題所抽象出來的數學模型，恰好是某個已知的方法或結構型數學模型的一部分。在這種情形下，可以利用已有的數學知識，推求其相應的數學結果，然后把所得的結果返還到原來的實際問題中去。這個基本過程，可以用以下框圖來表示：
通常第二種情形的解決過程正是目前數學教學中所經常采用的方法、手段。
3.數模法教學應注重與實際相結合
教師作為數學教學活動的組織者、決策者、調控者，可以用數學模型法指導數學教學，并根據數學模型來安排教學，為學生學數學提供條件性知識，同時有目的地培養學生用數學的意識。
從社會和生活需求的角度出發，可考慮在數學課程中引入一些應用性的知識：如計算利息、投入產出、運輸、資源合理利用最大化等實際問題，以及在衣食住行、運動等方面的現實問題。還有，將一些基本的數學思想如數學化與模型化思想、優化與決策化思想等確定為顯隱的課程內容。這些內容的引入，將對充實課程的應用知識，提高學生解決問題和分析問題的能力起到非常好的作用。
4.具體實例分析教學
案例一：
在講授等差數列、等比數列的有關內容時，可適時地加入計算存款利息的有關知識。因為，在日常生活中，我們每個人都要與銀行打交道。比如，某人存入銀行現金100元，年利率為10％（按單利計），經過3年后一次性取出本利和為130元，此時的130元是如何計算出來的？若年利率按復利計算，3年后一次性取出本利和為多少？針對這種問題，首先就要介紹一些相關的基本概念，例如本金、期數、利息、單利計息、復利計息等。然后分析兩種不同的計息情況：
（1）單利計息公式：設一筆資金的本金為P元，每期利率為i，若按單利計算利息，則利息值與本利和F可按期數排成下面的數列：
不難看出，復利的利息數列與本利和數列都是等比數列，公比都為（1＋i）。其中，利息的通項公式為：In＝P×（1＋i）n－1×i
本利和的通項公式為：Fn＝P（1＋i）n
從以上分析，可知所提問題的計算實際上是歸入等差數列、等比數列的數學模型，那么它的解決就可以套用已有的公式進行計算：
若按單利進行計算：
利息 I＝100×10％×3＝30元
本利和 F＝100（1＋3×10％）＝130元
若按復利進行計算：
利息 I＝100×（1＋10％）3－1 ×10％＝12.1元
本利和 F＝100×（1＋10％）3＝133.1元
有了以上的相應基礎知識，我們還可以將應用問題適當地擴展為平時常見的三種儲蓄形式：活期儲蓄、整存整取定期儲蓄、零存整取儲蓄。在這三種形式下，存入本金到期后的本利和則可利用相關的知識進行計算了。例如：年初某人計劃每月底存入銀行100元，月息為0.165％，分別按單利和復利計算，到年底時年金終值是多少？像這樣的一些實際問題，既貼近學生的現實生活，又緊扣教學內容，能比較容易增強學生學習的興趣和信心。
案例二：
在工農業生產、社會實踐中，常會遇到一些這樣的問題：在一定條件下，怎樣使“產量最高”、“用料最省”、“成本最低”、“效果最好”等。這類問題在數學上有時可歸納為求某一函數的最大值或最小值問題。
例如：把一根直徑為d＝400mm的圓木，加工成矩形截面的柱子，問怎樣鋸法可使被廢的木料最少？
思考方法：要使廢棄的木料最少，就是要使柱子的截面積最大。所以，這個問題就是要求已知圓的最大面積的內接矩形。
思路1：考察圓木的截面積。已知圓的直徑為d，設圓內接矩形的面積為S，一邊AB的長為x，則另一邊BC長為， 所以，（0
要求函數S的最大值，可考慮采用求導數的方法：
＝＞S2=x2(d2-x2)=d2x2-x4（0
