滲透數學思想,感受數學文化

摘要：本文通過對“數系的擴充”這節概念課的設計與反思，提出數學概念教學不僅要包含最基本的知識性內容，還應包含以內容為載體的數學思想方法與數學文化。數系的擴充是高中數學教材中典型的富有濃厚數學思想與文化的內容，復數概念的發展具有豐富的歷史背景，而概念本身的產生又涉及到數學中化歸類比、抽象概括、符號化等重要的數學思想。因此，本節課的教學定位是注重數學思想與文化的傳播，激發學生自主探究的熱情和勇于質疑的精神。

關鍵詞：數系的擴充；數學思想；數學文化

中圖分類號：G４２ 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（201１）１２-00３３-0４

數系的擴充是蘇教版高中數學教材選修系列中文理科學生必選的一節內容，教學主要圍繞實數系向復數系的擴充而展開，因此，這節課定位為一節基本概念課。概念是屬于陳述性知識的范疇，如果采用告知式、灌輸式的形式傳遞給學生，學生能夠掌握并會運用，但學生不能理解其概念產生的必然性和定義的合理性。因此，如何將一個陳述性的知識講解得透徹、自然，使學生了解其產生的數學背景，體現其蘊含的數學思想和數學文化，是本節課教學的主要定位。

一、一瓢水·一桶水·一江水

一個新的數學概念的產生往往蘊含豐富的數學背景，復數也不例外。從社會生活看，為了滿足生活和生產實踐的需要，數的概念在不斷發展著，為了計數的需要產生了自然數，為了測量等需要產生了分數，為了刻畫具有相反意義的量產生了負數，為了解決度量正方形對角線長的問題產生了無理數，等等；從數學內部看，從自然數集到實數集是按某種“規則”不斷擴充的。作為教師，首先要從這兩個角度了解、認識復數的發展歷程，從而引導學生從數學的角度認識理解數系的擴充規則。

同時，一個新的概念的產生過程有時并非一帆風順，常常會出現發現、認識、質疑、否定、再認識等等這樣一系列周而復始的過程。歷史中復數最早出現在１６世紀關于三次方程的研究（也有人認為更早），它的出現曾經引起數學界極大的爭議，很多數學家不承認它的存在，萊布尼茨這樣評論虛數：“虛數是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物。”歐拉則說：“一切形如ｉ的數學式子都是不可能有的想象的數，因為它們所表示的是負數的平方根。對于這類數，我們只能斷言，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻。”把復數與幾何（向量）對應起來從而賦予復數幾何上的解釋應該歸功于高斯，不僅如此，高斯還給復數定義了加法與乘法運算，從而使得復數可以像實數一樣代數化。經過數學家們２００多年不懈的努力建立起完備的復數理論，才給復數這一數學上的幽靈揭去了神秘的面紗，使得它成為數系大家庭中的一員。

一個新的概念剛剛出現時可能對社會、科技發展的作用并不明顯，隨著研究的深入和相關學科的發展，它的作用將日趨顯著。復數在近、現代科學中發揮著極其重要的作用，其滲透到代數學、數論、微分方程等數學分支，在流體力學、熱力學、機翼理論等領域得到廣泛的應用。因此，復數是現代人才必備的基礎知識之一。很難想象，如果沒有復數，函數論會有今天的輝煌嗎？如果沒有復數，函數論會與幾何結合得如此緊密嗎？如果沒有復數，飛機或許不會那么早上天，水壩、水電站等技術問題的解決說不定會再晚若干年。

數學歷史與文化的介紹既可以豐富學生的數學知識，提升學生數學學習的興趣，又可以使學生感受數學家探究的精神，體會數學思維的價值。在向學生介紹復數發展史之前，教師首先要深入了解復數的歷史，也許我們課堂上不必向學生事無巨細地全面介紹，但作為教師應該了解他們，在實際的教學過程中視情況決定采用什么方式，講到什么程度。給學生“一瓢水”，教師自己要有“一桶水”，從而期待學生學成之時將是滿滿“一江水”。

二、案例剖析

數系的擴充是數的科學發展的歷史，數學思想與文化的介紹可以成為貫穿本節課的一條主線。于是本節課我以“提出問題——分析問題——解決問題——反思問題”為線索設計教學，把數學思想與數學文化作為一條暗線貫穿始終。

（一）從“卡當問題”引入，讓學生親自感受矛盾的產生，把握問題的本質

引入問題：將１０分成兩部分，使兩者的乘積等于４０，則兩數為多少？

一般解法：設一個數為ｘ，另一個數為１０－ｘ，則ｘ·（１０－ｘ）＝４０，學生通過已有的知識很快可以判斷此方程在實數范圍內無解。

數學史介紹：你們遇到的這個問題正是十六世紀意大利數學家卡當在研究數的拆分時遇到的一個問題。然而作為一個數學家他發現這么一個簡單的方程竟然無解，他不甘心，希望通過自己的深入研究解決這個問題。同學們是否也不甘心，希望解決這個問題呢？

我們今天這節課就來研究解決這個問題。 這個問題與傳統觀念的沖突在哪里？要發展的關鍵點是什么？

學生思考得到：（ｘ－５）２＋１５＝０，容易觀察出這個方程在實數范圍內無解。

要解決這個問題必須承認負數開平方的意義，這是解決這一問題的關鍵點．而這一點不是直觀可以想象的，需要理性精神發揮作用。

第一層次數學史的介紹采用的是旁敲側擊法，提出問題時不告知學生是卡當問題，而在學生認為問題無解時引入數學家卡當，介紹從數學家的眼光如何看待這個問題，一石激起千層浪，引發學生欲與“科學家”試比高的想法。有了熱情，接著就是行動，而方向比距離更重要，在行動前首先要確定方向，教師引導學生解決數學問題的第一步驟即問題到底是什么？也就是問題的本質。提煉問題本質的過程體現了數學學習的一種重要的思維能力——抽象概括能力。

（二）回顧數學學習史，探究問題解決的一般數學思想方法

在第一段中得到問題的矛盾是負數不能開平方，因此教師可以提出：“要使方程能解，就必須使負數能開平方。這就需要擴充數的范圍。我們以前的學習中有過類似經歷嗎？從以前關于數的范圍擴充的經歷中，你得到什么啟發？”

問題提出后，學生有了明確的思考方向，通過學生的回顧、交流和總結，概括出從自然數到實數的發展過程，即：在自然數集中，無法解決小數減大數，方程ｘ＋２＝０無解，為此引入負數，數集擴充到整數集；在整數集中，方程３ｘ－２＝０無解，為此引入分數，數集擴充到有理數集；在有理數集中，方程ｘ２－２＝０無解，為此引入無理數，數集擴充到實數集。

數學史介紹：學生通過數十載的學習可以很快地發現數系發展的歷程，但在歷史上，數的發展并非一帆風順，例如無理數的發現。早在公元前５００年，古希臘畢達哥拉斯（Ｐｙｔｈａｇｏｒａｓ）學派的弟子希勃索斯（Ｈｉｐｐａｓｕｓ）發現了一個驚人的事實，若正方形邊長是１，則對角線的長不是一個有理數，這與畢氏學派“萬物皆為數”（指有理數）的哲理大相徑庭。這一發現使該學派領導人惶恐、惱怒，認為這將動搖他們在學術界的統治地位．希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉舟身亡的懲處。然而，真理畢竟是淹沒不了的，畢氏學派抹殺真理才是“無理”。

就是有前人這樣不屈不撓地對真理的探索，我們才有了今天一目了然的關于數的發展歷程，如下圖：

這里學生基本回答了教師提出的第一個問題——在過去的學習過程中有沒有遇到過類似的問題？但教師設計此問想得到的并非是遇到的問題，更想通過學生的回顧尋找出數集的每一步發展有什么共同的特點，以通過類比的方法得到解決今天我們遇到的新問題的可行性方案。

于是，教師提問：“從數的發展歷程圖中能否感受到數集的每一步發展有什么共同的特點？”

對學生回答的共同點進行整理提煉得到如下兩點共識：

（１）增添新元素；

（２）新數系解決了舊數系提出的矛盾。

這兩點是容易觀察提煉并適用于解決今天遇到的新問題的方法，也回答了教師提出的第二個問題——又是如何解決這些問題的？

第二層次的數學史介紹，一方面使學生了解數的科學發展歷程，感受到數學家探索真理的勇氣，同時在數的發展歷程中學會尋找數系發展的一般規律，為后續問題解決打好基礎。

（三）合理的類比，大膽的猜想，實現實數集的擴充

根據前三次數系擴充的一般規律，在實數集中，遇到了方程ｘ２＝－１無解，學生會想到采用類比的方式，承認負數可以開平方，并可以表示。（學生有了這一想法很好，不必強求出現虛數單位，接下來可由教師介紹）

教師介紹：數學歷史上就是這么干的，引入虛數單位ｉ，即ｉ２＝－１。通過與實數集合中數的運算形成新的數集，將數域擴展到復數集。根據這樣的想法，同學們也來當一回數學家，看看有了虛數單位ｉ后，ｘ２＝－４怎么解？

學生運用實數集中的運算法則，得到ｘ＝２ｉ

接著教師還可以問：那你還能解決ｘ２＝－１５，（ｘ－５）２＋１５＝０嗎？如果能，你能解決一切負數開平方問題嗎？

通過教師的層層追問，學生發現引入ｉ并承認實數集中的運算律不僅能解決卡當問題，而且還能解決一切負數開平方問題。這個新規定似乎非常合乎情理，但合“法”嗎？（這一提問激發起學生將合理的猜想進行合“法”化規定的渴望）

數學史介紹：著名的數學家歐拉首先使用ｉ表示這個新元素，并取名為虛數單位。當時他覺得這個新數太虛無飄渺了，就將英文ｉｍａｇｉｎａｒｙ的首寫字母ｉ定義為－１的一個平方根。從十六世紀由卡當最初形式化表示，到十八世紀末歐拉符號化表示，歷史上花費了兩個多世紀的時間，由此可見數學上每一小步的邁進是多么的艱辛！

規定：

（１）ｉ２＝－１；

（２）實數可以與ｉ進行四則運算，進行四則運算時，原有的加法、乘法運算律仍然成立。

同學們剛剛得到的這些方程的根都可以看作是實數與ｉ進行四則運算后得到的新數，根據這些數的共同特點能否用統一的形式來表示？（均可以用ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ）表示）

我們把形如ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ）的數叫做復數。全體復數所組成的集合叫做復數集，記作Ｃ。復數通常用字母ｚ表示，即ｚ＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ）。其中ａ叫做復數ｚ的實部，ｂ叫做復數ｚ的虛部。

復數ｚ＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ）的分類：

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至此，我們實現了從實數集到復數集的擴充，這就是我們這節課的所要學習的內容——數系的擴充。

第三層次的數學史介紹讓學生感受數學規定的合理性和數學每一小步發展的艱辛。在問題解決的過程中，使學生體會到合情推理中類比的思想方法的運用。在復數概念引入的過程中，教師起到了先行組織者的作用，在這樣的思想的引導下，學生實踐，然后師生一起概括，能更好地體現教師在思想方法上的引導作用。

該節課中的例題屬于比較簡單的程序性知識，學生如果對復數概念的了解比較透徹，應該比較容易解決，這里就不再贅述。

（四）反思問題解決的過程，加深數學思想的理解，感受復數的應用價值

在一節課結束時教師通常會引導學生對本節課的學習內容進行反思總結，反思總結一般分為三類：知識類、思想方法類和個人體悟類。

在知識層面上又分為顯性知識與隱性知識，顯性知識是課本上以文字形式呈現的或是人人皆知的知識，一般沒有反思總結的必要，而由顯性知識間的內在邏輯關系引發的隱性知識則是反思總結的重點，于是在最后一個環節中提出數系擴充的一般原則是什么？

根據數系擴充的歷程圖，學生回顧反思得到數系擴充的一般規則有：

（１）增添新元素；

（２）新舊元素合在一起構成新數系，在新數系里，使原有的一些主要性質繼續保持；

（３）舊元素作為新數系的成員，原有的運算關系仍然保持；

（４）新數系解決了舊數系提出的矛盾。

數學思想方法是分析、處理和解決數學問題的根本方法，是對數學規律的理性認識，因此，數學思想方法應與數學知識的學習融為一體，所以在反思總結時教師可以描述性地提及，不一定是刻意性的提問。

而在個人體悟類中，學生普遍的感受是了解了很多數學發展的歷史，體會到了研究問題的一般方法，可是不知道復數的具體作用是什么。這就需要教師的“一桶水”來解決學生形形色色的問題。當初人們發現復數時并沒感受到它的實際用處，否則不會用“虛無縹緲”的英文首寫字母表示它了，可隨著科技的發展，在后來的代數學、數論、微分方程、電學、流體力學、天體力學等領域，復數具有基礎性工具的作用。

三、感悟數學教學

在本節課結束之后，曾有個聽課老師對我講了這么一句話：“您這節課的內容我十分鐘就上完了。”是啊，數系的擴充這節課就書本內容考慮也不過十分鐘而已，若干年后也許只有從事數學研究的學生才會記得有復數這個概念。其實不僅復數這個概念學生記不住，很多基本的概念學生依然會忘記，那學生這么多年的數學學習過程到底記住了什么呢？我想，回答這個問題應該先了解數學是什么？數學教育是什么？

數學是研究空間形式和數量關系的科學，是刻畫自然規律和社會規律的有效工具。數學不僅具有直接的應用價值，而且在形成人類理性思維和促進個人智力發展的過程中發揮著獨特的、不可替代的作用。因此，數學教育不僅包含了數學中最基本的知識性內容，還應包含以數學內容為載體的既嚴謹、縝密，又飛逸、靈動的數學思想方法與數學文化。數系的擴充是高中數學教材中典型的富有濃厚數學思想與文化的內容，復數概念的發展具有豐富的歷史背景，而概念本身的產生又涉及到數學中化歸類比、抽象概括、符號化等重要的數學思想。因此，本節課的教學定位是注重數學思想與文化的傳播，激發學生自主探究的熱情，培養學生合理猜想、勇于質疑的科學研究精神。

數學教育改革不在于教材怎么寫，也不在于課堂教學內容如何更新，而在于數學教師對數學和數學教育的理解。

參考文獻：

［１］章建躍，陶維林．注重學生思維參與和感悟的函數概念教學［Ｊ］．數學通報，２００９（７）．

［２］涂榮豹．數學教學認識論［Ｍ］．南京：南京師范大學出版社，２００３．

［３］李岳林．現代高中教學論［Ｍ］．北京：現代教育出版社，２００７．

Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ Ｉｄｅｏｌｏｇｙ， Ｃｕｌｔｕｒｅ ａｎｄ Ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ Ｎｕｍｅｒａｌ Ｓｙｓｔｅｍ

ＪＵ Ｙａｎ

（Ｍｉｄｄｌｅ Ｓｃｈｏｏｌ Ａｔｔａｃｈｅｄ ｔｏ Ｎａｎｊｉｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｎａｎｊｉｎｇ ２１０００３， Ｃｈｉｎａ）

Abstract: Ｔｈｉｓ ｅｓｓａｙ ｐｏｉｎｔｓ ｏｕｔ ｔｈａｔ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ ｃｏｎｃｅｐｔ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｓｈｏｕｌｄ ｉｎｃｌｕｄｅ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ， ｂｕｔ ａｌｓｏ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ ｉｄｅｏｌｏｇｙ ａｎｄ ｃｕｌｔｕｒｅ ｂｙ ｄｅｓｉｇｎｉｎｇ ａｎｄ ｒｅｆｌｅｃｔｉｎｇ ｏｎ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ｎｕｍｅｒａｌ ｓｙｓｔｅｍ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｈｅ ｔｙｐｉｃａｌ ｃｏｎｔｅｎｔ ｆｕｌｌ ｏｆ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ ｉｄｅｏｌｏｇｙ ａｎｄ ｃｕｌｔｕｒｅ ｉｎ ｓｅｎｉｏｒ ｈｉｇｈ ｓｃｈｏｏｌ． Ｅｍｐｈａｓｉｓ ｏｎ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｏｆ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ ｉｄｅｏｌｏｇｙ ａｎｄ ｃｕｌｔｕｒｅ ｉｓ ｃｏｎｄｕｃｉｖｅ ｔｏ ａｃｔｉｖａｔｉｎｇ ｓｔｕｄｅｎｔｓ＇ ｅｎｔｈｕｓｉａｓｍ ａｂｏｕｔ ａｕｔｏｎｏｍｏｕｓ ｅｘｐｌｏｒａｔｉｏｎ ａｎｄ ｑｕｅｓｔｉｏｎｉｎｇ ｓｐｉｒｉｔ．

Key words: ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ ｎｕｍｅｒａｌ ｓｙｓｔｅｍ； ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ ｉｄｅｏｌｏｇｙ； ｃｕｌｔｕｒｅ