關(guān)于同倫群的一個問題

摘 要:同倫群的計算一直以來是個數(shù)學(xué)上的難題，本文針對形式的同倫群，證明了對于任意一個扭元素，總存在一個整數(shù)q，使得為的一個直和項。

關(guān)鍵詞:同倫群纖維映射

中圖分類號:O189.2文獻標(biāo)識碼:A文章編號:1673-9795(2011)05(a)-0070-01

1#8201;預(yù)備知識

定義:設(shè)A是一個群，道路連通空間Y是一個Eilenberg-MacLane空間K(A，n)，如果

命題1:(萬有系數(shù)定理)對于任意一個拓?fù)淇臻gX和Able群G

（1）以G為系數(shù)的X的同調(diào)群為:

;

（2）以G為系數(shù)的X的上同調(diào)群為:

;

命題2:(Postnikov)任何一個連通CW復(fù)形都可以寫成一個纖維積的形式，在纖維積中至少有一個元素為Eilenberg-MacLane空間。確切的說，對于任意整數(shù)n，存在一個纖維映射，它以為纖維而且有下面的交換圖標(biāo):

其中映射誘導(dǎo)出同倫群的一個同構(gòu)，;當(dāng)n≤q時。

命題3:(Whitehead)

（1）是n-連通的，當(dāng)n≤q;

（2）對于n來說;；

#8201;（3）映射的纖維為。

命題4:(Hurewicz同構(gòu)定理)設(shè)X為單連通道路連通的CW復(fù)形，如果，

那么，;。

命題5:設(shè)是一個纖維為F底空間為X的纖維映射，如果是一個有限生成的自由A-模，那么;;。

2#8201;主要結(jié)果

引理:同調(diào)群可以取到一切，其中p為正素數(shù)。

定理:任給一個素數(shù)p，總存在一個整數(shù)q，使得為的一個直和項。

證明:因為是一個2-連通拓?fù)淇臻g并且，所以由命題3有:

我們考慮以為系數(shù)的同調(diào)群。則:

;;

的的同調(diào)譜序列可寫為:

根據(jù)命題4與命題1有;，所以上面圖表中底下的映射為同構(gòu)。由上面圖表與譜序列的知識知為零調(diào)的。又由引理可知對于任意一個素數(shù)p，存在q，使得。

根據(jù)命題5知是的直和項。

由命題1可得。

再根據(jù)命題4知。

即是的直和項，所以是的直和項。

參考文獻

[1] 廖山濤.同倫群基礎(chǔ)[M].北京大學(xué)出版社，1980.

[2] 姜伯駒.同調(diào)論[M].北京大學(xué)出版社，2002.

[3] Adams，J.F.On the non-existence of elements of Hopf invariant one[J].Annals of Math，1960:20～104.

[4] Raoul Bott，Loring W.TuDifferential forms in Algebraic Topology[J].Springer-Verlag，1982.

[5] Hilton，P.J.On the homotopy groups of the union of spheres[J].London Math，1955:154～171.