概率論與數理統計課堂教學初探

摘 要:本文筆者結合自身在概率論與數理統計教學中的親身實踐，從以下兩部分:概念和理論的引入、例題的選擇和知識的應用，對高校概率統計課程的課堂教學設計提出自己的幾點教學體會。

關鍵詞:概念的引入定理性質的介紹例題的選取和講解

中圖分類號:G642文獻標識碼:A文章編號:1673-9795(2011)05(a)-0081-02

概率論與數理統計是數學中與現實世界聯系最緊密、應用最廣泛的學科之一。它不同于以往課程，討論的對象不再是確定性的，而是揭示隨機現象的統計規律性的一門數學學科，是各類院校普遍開設的基礎課程，也是教學難度較大的課程，理論知識的抽象性和思維方法的獨特性常常造成學生理解和接受上的困難。筆者結合自身在課堂教學設計中的點滴體會從理論知識的講解和應用兩個方面來探究如何創新概率統計課堂的教學模式，如何在講授過程中擺脫傳統教學模式所帶來的尷尬的困境，從而提高學生對這門課程的學習興趣，培養學生用所學知識分問題析和解決問題的能力，以達到學以致用的良好效果。

1#8201;理論部分的課堂教學設計

從宏觀上來講，一節完整的數學課無非就分為兩大塊:理論和實踐。所謂理論部分也就是我們通常所說的新的概念的引入，定理性質的介紹;所謂實踐也就是如何去應用理論知識去解決實際的問題。筆者從下面幾個方面來闡述如何對理論分布進行教學設計。

1.1#8201;生動、自然地引入新概念

能否在一節課的開始就抓住學生的學習興趣使學生自愿地去接受新的知識，顯然這樣一個重任毫無疑問地就落在了對一節課新的概念的引入上。通常，在傳統的教學模式中，教師都會填鴨式地向學生灌輸新的定義、概念，要求學生生硬地理解、死記硬背。這樣，只會造成學生對這一剛剛接觸的新知識的抵觸心理和因枯燥性而產生的厭煩情緒，在一節課的剛開始，如果學生就產生了這樣的情緒的話，很顯然是不會受到好的教學效果的。那么，這時，我們不妨從講故事開始，生動、自然地引入新的概念、定義。概率論與數理統計起源于賭博，這種所謂的“娛樂活動”雖然被大多數人們認為其不光彩性，但是也正是這樣造就了概率論與數理統計這門學科漫長的發展過程，所以每個概念、定義背后都有其豐富的知識背景，舍棄這些背景，直接拋給學生一連串的概念會使學生感到茫然，失去認識概念本源的機會，失去培養學生應用數學能力的機會。這就要求主講教師不僅僅只滿足于熟悉教材，而應廣泛涉獵，在熟悉理論知識的基礎上要對學科歷史做好充足的課前準備。比如，在介紹數學期望的概念時，首先給同學們講述了“賭徒分賭金”的歷史故事，進而拋出問題“如何分賭本才合理呢？”為了，解決這個問題就有了這節課所要介紹的“數學期望”的概念。再比如我們在介紹統計部分講解數理統計的三大分布的t分布時，學生會很好奇為什么又叫學生氏分布，這時可以適當地穿插點數學史，既活躍氣氛，又加深了學生印象，告訴學生t分布是由英國統計學家Gosset于1899年提出的，當時他在英國Guinness釀酒公司做釀酒師，在對小樣本進行質量控制的研究中發現了t分布，即著名的Student－t分布，當時用筆名Student發表的這篇論文。關于t 檢驗理論的最后完善，Fisher，Neyman和Pearson做出了重要貢獻，正如后人所評價的那樣“Gosset提出實際問題，Fisher和Pearson將其轉化成統計問題，Neyman將其歸納為數學問題”。這樣，就可以使學生在輕松的氛圍中接受新的知識，避免了概念引入的乏味性;另一方面也使學生開闊了眼界，明白數學知識的發展并不只是數學家才能做到，只要我們對于生活中的問題善于發現勤于思考，都有可能提煉出新發現、新方法、新觀點，做出杰出的成績，而且無論我們將來從事什么行業，這些現代數學知識都可能會對我們有所幫助，這些現代數學素養都是我們一生的財富。

1.2#8201;淡化理論推導，注重思想性和應用性背景

在傳統的課堂教學模式中，我們通常注重的是定理性質的結論是如何得到的，注重的是定理性質的推導過程，這樣做往往會造成學生的定勢思維，束縛學生的創新能力。思想性在概率統計教學中有很充分的體現，特別是數理統計中的許多基本思想、方法與其它的數學課程有完全不同的風格。比如在講授“最大似然估計”時，著重講其思想“樣本取得固定樣本值的最大可能性”，進而又根據離散型和連續型隨機變量不同的特點逐步進行講解，并引導學生自己根據主體思想得到不同類型隨機變量的似然函數如何寫出，這樣既避免了死記硬背情況的出現，也加強了學生分析問題和解決問題的能力。

數學是抽象的，但是它也是現實的，它和我們的生活密切相關。如果可以把所講授的知識與實際緊密結合起來，揚長避短，將數學知識變抽象為形象，變繁瑣為簡練，使學生對數學知識逐漸從感性到理性再到應用，激發學生學習興趣和學習動機。比如，我們在引入數學期望的概念之后，為了加深學生對新概念的理解，將其形象化、具體化。

例:某人用10萬元進行為期一年的投資，有兩種投資方案:一是購買股票;二是存入銀行獲取利息。買股票的收益取決于經濟形勢，若經濟形勢好可獲利4萬元，形勢中等可獲利1萬元，形勢不好要損失2萬元。如果存入銀行，假設利率為8%，可得利息8000元，又設經濟形勢好、中、差的概率分別為30%，50%，20%。試問應選擇哪一種方案可使投資的效益較大?

投資方案有兩種，但經濟形勢是一個不確定因素，做出選擇的根據必須是數學期望高的方案。選擇哪種方案就要看哪種方案給投資人帶來的利益期望大，因此要做出決策事實上就是來計算兩種情況下投資人獲利的期望值，從而將概念具體化，同時也將實際問題利用概率的知識加以解決。

1.3#8201;構造反例，加深對定理定義的理解

B.R.蓋爾鮑姆和J.M.H奧姆斯特德說得好:“一個數學問題用一個反例予以解決，給人的刺激猶如一出好的戲劇。”在教學中，適時地利用反例，不僅可以加深學生對概念、定理的理解和運用，而且有利于培養學生嚴謹的學術態度和縝密的思維能力。比如，我們可以通過反例來告訴學生“并不是所有的隨機變量的數學期望都是存在的”，而且可以引導學生自己去構造這樣的隨機變量。因為，我們知道數學期望的存在是要求級數絕對收斂的，而在高等數學中我們可以找到很多不是絕對收斂的級數，所以我們不妨就從這些級數中尋找期望不存在的隨機變量。例如當時，發散，絕對收斂，是一個常數，因而我們就可以構造一個離散型隨機變量，

其中，由于是發散的，故這個離散型隨機變量的數學期望不存在。

反例的構造法體現了數學發現、化歸、猜想、實驗和歸納等思想，它以廣泛抽象的普遍性與現實問題的特殊性為基礎，是針對具體問題的特點而采取的相應的一種解決方法。通過反例的構造，能培養學生的創造性思維，推動數學向前發展。

2#8201;例題部分的課堂教學設計

2.1#8201;注重基礎題型的選取

概率論與數理統計是數學的一個分支學科，也是一門基礎理論課程，對基本方法和基礎理論的掌握是至關重要的。因此課堂例題的選取對基本知識點的掌握起到非常重要的作用。在例題中不僅僅要囊括學生作業中所體現出來的容易犯錯的題型，還要精選出重難點的典型題型，同時可以串講歷年考研真題，這樣有助于加強學生對所學知識的應用，還有助于學生對知識的拔高學習。

2.2#8201;注重應用性，精選貼近學生生活的題目

應用是數學的特征之一，在應用中數學獲得發展的動力。讓數學生活化，學生才能夠在枯燥的學習中尋找到樂趣，才能在生活中發現數學的美。《概率論與數理統計》就是一門從實際中產生的應用性學科，它來源于實際又服務于實際。比如，可以用概率的知識解釋生活中的諺語。“三個臭皮匠賽過諸葛亮”是大家耳熟能詳的。假如每個“臭皮匠”能提出正確方案的概率為0.4，“諸葛亮”能提出正確方案的概率為0.7。若記為“第i個‘臭皮匠’想到的正確方案”(i=1，2，3)B為“‘諸葛亮’想到的正確方案”，則利用加法公式及事件的獨立性，得“臭皮匠們”能想到正確方案的概率為

而“諸葛亮”想到正確方案的概率為:。可見，想要找出正確方案要靠集體的智慧、團隊合作的精神很重要。

2.3#8201;在解決問題的同時，注重融入數學建模的思想

在概率論與數理統計這門課中到處可見數學模型的影子。自然界有許多現象表面上看起來差異很大，但其實質是一樣的，數學模型就是這類事物共同本質的抽象。“數學建模”是指根據生產、生活中遇到的實際問題的特點和規律，抽象和提煉出一個數學問題，用數學的工具，包括計算機、信息查詢等手段來求解，并將結果經解釋驗證后用于解決實際，指導生產生活的過程。在概率統計課中有許多數學模型，如n重貝努里模型，正態分布的模型。對這類模型，不應簡單地給出它的結果，而應注重模型的建立，模型的應用范圍以及如何把實際問題轉化為有關的數學模型去解決。例如:某學校有10000名學生，每天打開水的人較多，開水房經常出現排長隊的現象，應設置多少個水龍頭才能解決這種現象？分析:首先假設每個學生占用1個水龍頭的概率為p，同一時間打水的學生數為X，每個學生對于水龍頭有兩種情況:占用水龍頭和不占用水龍頭。因為每個學生使用水龍頭相互獨立，故X～B(10000，p)。這樣學生自然就知道使用中心極限定理解決該問題。數學建模的引入，會提高學生解決實際問題的能力，提高其分析和解決帶有實際意義的日常生活和生產中的數學問題的興趣，較快形成數學意識。

提高教學效果，創新教學教法任重而道遠，以上只是筆者教學過程中的實踐和體會，希望可以和大家共同分享在概率論與數理統計課程教學中的無窮樂趣。

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