抽象函數學習的障礙研究

摘 要:函數是高中數學的核心內容，在高中教材里，函數結構上有兩條主線:一條是具有解析式或圖表等具體的表現形式的函數;另一條是對函數y=f(x)本身的理解和認識，即只給出了函數所滿足的一般性質或運算法則，而沒有明確的表示形式即抽象函數，這是中學數學函數部分的難點，教師往往都深深感到學生對于抽象函數的學習存在困難，但說不出具體的癥結所在，本研究就是在這樣的背景下，通過問卷調查、問卷測試等形式，對高一學生學習抽象函數的障礙進行調查分析和研究。

關鍵詞:抽象函數 學習 障礙 分析

中圖分類號:G633.6文獻標識碼:A文章編號:1673-9795(2011)06(c)-0019-02

1 問題提出

在初中，學生接觸了一次和二次初等函數，但是到了高中，除了新增的冪、指數、對數、三角等具體函數外，還經常會涉及到另一類沒有具體表達式的函數即抽象函數。因為抽象，學生理解、接受困難;同時因為抽象，教師對教材難以處理，何時講授，如何講授，講授哪些內容，采用什么方式等等，深感茫然無序.故對高中學生學習抽象函數中的障礙進行研究，對指導學生學習，具有十分重要的意義。

2 抽象函數的已有研究:

抽象函數的概念在教材中沒有明確的界定，達成了共識的對抽象函數的定性是:這樣一類函數，沒有給出明確的解析式，但給出了函數滿足的一部分性質或運算法則。通常的解題策略有:運用性質解題、賦值法解題、結合圖像解題、抓住特征合理變形等等……在已經見到的研究中，對抽象函數的解答策略研究較多，但對于學生在學習中遇到的具體障礙研究的不多，本文主要針對此方面的情況進行分析。

3 研究方法及設計

(1)本研究的方法主要是問卷調查、問卷測試。問卷調查的目的是為了了解高一學生學習數學的興趣、態度、自信心和學習抽象函數的感受。問卷測試是針對高一的學生解答測試卷，分析學生在解決抽象函數問題時所采用的方法以及在解題過程中出現的具體障礙，從而對障礙進行研究。(2)調查的對象。問卷調查研究的學校是中山市華僑中學，這是一所省一級學校，問卷調查研究的對象是中山市華僑中學高一(10)、(21)班95名學生，回收92份調查問卷和解答測試卷。(3)問卷內容分說明:①問卷調查:總共8題，1，2，3，4題針對學生學習數學的興趣、態度、自信心和考試心情四個方面;5，6題針對學生在高一上學期所學數學內容的掌握情況，7，8題針對學生對函數的學習情況。②問卷測試:共8題，前兩題讓學生敘說對抽象函數的感受以及解決這類問題的方法，后6題要求寫出具體解答過程，所涉及的內容既有函數的基本性質如奇偶性、單調性，又包含了較高層次的性質如周期性等，有一定的梯度，每道題各有側重點，需要用不同的方法解答。

4 數據分析

(1)對問卷調查的數據分析:首先是學習數學的情感與態度，數據顯示如表1。

以上數據說明了剛從初中升入高一的學生對學習數學的興趣是可以肯定的，約有71%的學生持肯定態度，只有29%的學生持否定態度;學生的自我數學成績的評價結果呈正態分布，76.1%的學生認為自己成績中等或一般，這些學生是教學的重點;對待做不出來的題目上，30.4%同學具有一定的鉆研精神，41.3%的學生等老師來講，所以在高中要有意識培養學生的研究和討論精神，提高學習能力;在針對考試時的心情問題，超過一半的學生會出現緊張，這說明對數學解題很多學生缺乏自信心。其次是高一上學期內容學完后的知識調查情況表2。

高一上學期主要學習了集合、函數、立體幾何中直線與平面、解析幾何中直線與圓方程，50%的學生認為直線與圓的方程好學，這是因為這部分知識是高一與初中內容最接近的部分，只有8.6%的學生認為函數好學，但有63%的學生認為函數難學，從最后一項調查中，可以清楚的看到，在函數中，學生認為最好學的是分段函數，這是因為分段函數題目多由初中所學的基本函數構成，而函數中只有5.4%認為抽象函數好學，同時53.3%的學生認為抽象函數難學，但學生學習的障礙究竟出在哪里，老師也說不清楚，很籠統的概括為內容抽象。

(2)對問卷測試的數據分析:回收測試試卷92份，每題均設有是否讀懂一項:首先針對題目:你對抽象函數有什么感覺?和對于抽象函數的題目，你一般會用什么方法解答?的分析，各個學生的說法不盡相同，概括如下:覺得很復雜，解題時不知道該如何下手，沒有把握，有時會將客觀的數字代入進行計算，但并未真正理解抽象函數的意義，遇到比較簡單的題目還可以應付，但一遇到一些純粹是符號的題目時，就不知該怎么辦。下面是批閱具體抽象函數題目時學生的出現的問題:

①已知奇函數在區間上是增函數且最大值為7，研究在區間上的單調性與最值。該題有63人讀懂，其中解題過程基本用圖像解釋，只有7人用定義推證。出現的問題有對奇偶性、單調性概念不清，無法下手;不知道選用合適的特征函數。如設函數為f(x)=x。

②定義在區間(－∞，＋∞)的奇函數f(x)為增函數，偶函數g(x)在區間［0，＋∞)的圖象與f(x)的圖象重合，設a＞b＞0，判斷關于f(b)－f(－a)與g(a)－g(－b)的大小關系，該題47人讀懂，其中解題過程基本上是通過先化簡，再結合圖像解決。學生解決問題的方法有排除法、圖像法，通過等價代換，轉化出四個選項的等價命題;出現的問題有讀不懂題意，在同一題目中出現了兩個抽象函數符號，更加捉摸不透;在上的圖像重合較好理解，但是在上的圖像不會利用奇偶性畫出;當看見題目涉及的內容多，選項形式復雜，就不敢下手了，出現了19份空白，知識能力和學習態度上都有所欠缺。

③設是奇函數，且在內是增函數，又，求的解集問題6、7，都是考察學生對抽象函數綜合性質的理解，涉及到函數的定義域，單調性、奇偶性，以及不等式，有相當的綜合度，在平時教學中同類題目有所涉及。6題有19人讀懂，但能正確轉化，得滿分的人數卻很少。7題有31人讀懂，結合數形結合和實數計算，一部分學生有清晰的思路。出現的問題有:思維定勢，停留在原來的具體的、有形的函數上，對沒有具體解析式的抽象函數則無從下手，如對不知道從何入手。由于前期知識不夠，看見陌生類型的題目，產生恐懼心理，其中數學語言的閱讀和轉化尤其明顯，對于抽象的符號語言轉化，學生都缺乏有效的解題策略，在閱讀時不能從最基本的信息入手，如6中，不知道要在定義域，對不知道要轉化為＜，下一步用奇函數的條件轉化后，卻不能用單調性脫去函數f。在7中，主要是對不等式不能轉化為的同號關系，另外由于學生在理解函數概念、函數基本性質方面有所欠缺，所以畫不出是奇函數，且在內是增函數，又的滿足條件的圖像，因此解題都流于失敗。

最后一道題目是:己知對于任何實數x、y①求f(0)的值;②求證:f(x)為奇函數。這是一道對抽象函數綜合理解的題目，考察學生對抽象等式的理解，要求學生根據函數的運算法則求需要的函數值，然后判斷奇偶性，學生該題僅有16人讀懂，具體處理中，第①小題，大部分同學都能完成，極個別同學沒有答，而第②小題完全正確的不多，出現的問題有題目信息理無法獲取，根本讀不懂;即使知道把y賦值為-x，但仍然無法轉化。

5 對學生抽象函數學習的障礙分析:

通過對問卷調查和問卷測試的分析，可以認為學生在學習抽象函數的障礙有以下六方面:(1)數學閱讀能力的障礙，表現在讀不懂題意、特別是對符號語言不理解。數據統計表3。

這是因為學生從初中上來后，對于用大量的數學符號語言推演及用圖形語言來分析問題進行感到特別的不適應，無法把具體的感性認識和抽象的理性分析統一起來，缺乏對數學文字語言、圖像語言、符號語言的轉化和理解，此障礙主要表現在看了題目讀不懂，無從下手或雖然能夠讀懂題目，但是對沒有具體解析式的抽象函數感到無法適應，這一障礙是學習抽象函數最主要的，原因是學生的思維，仍停留在原來具體的、有形的函數，習慣于機械的、便于操作的定勢方式，無法根據對已知條件轉化來進行知識重組。(2)函數性質不熟悉的應用障礙。抽象函數沒有了直觀的、具體的解析式，但是其內在的本質的特點:一一對應關系仍然存在，仍是解決問題的主要途徑，因此函數的入手是先考慮定義域，又因為函數的性質如單調性、奇偶性，是學生接觸到的最早的表達式型的抽象概念，因此一般都理解不透徹，如果題目中再含有類似于對稱性、周期性等不熟悉的表達形式，會出現更大的認知不清。因此由于函數的基本性質學生掌握不好，那么對函數提高性質的認識有很大障礙，也就不具備將抽象函數的問題概括歸納到已有的知識水平上，這也是學生抽象函數解題中的主要障礙。(3)數學基本功不過關的基本計算障礙，表現在因式分解出錯，解不等式出錯，等價變形出錯，計算過程出錯，畫圖像出錯等等，這實際是學生數學基本素質不足的表現，這與學生初中時大量使用計算器有明顯關系。(4)基本方法缺乏歸納總結的認知障礙，如解決抽象函數問題的有效方法是對變量進行賦值，類比聯想特殊函數模型來解決問題，常用方法通過等價轉化和數形結合來解決問題。如果沒有這些方法和思想的認識，也就無法解決此類問題，形成思維障礙。(5)情感障礙。表現為自信心不足，看見陌生題型畏懼作答及學習態度不端正，缺乏鉆研精神。(6)理論知識閱讀材料不足引起的障礙，抽象函數在課本中鮮有介紹，主要的練習內容基本上來自課外資料，在授課時，教師未能注意到學生的認知水平和接受能力，在思維、理解、情感等方面的引導不足，造成“教”與“學”的脫節。

6 解決抽象函數教學的指導意見:

首先是要解決學生的厭倦和恐懼心理，培養學生興趣。有調查表明，學生對知識的掌握，50%由學生的認知結構決定，25%由學生的情感準備決定，25%由教學過程的質量決定，所以如果學生對數學學科沒有興趣，那么對抽象函數的學習同樣會沒有興趣。因此教師可以通過談話、降低教學起點、找尋學生的成功起點，加強學生學習數學的興趣和自信心。其次，要加強數學閱讀能力的培養，在調查中發現抽象函數學習的最大障礙是對抽象信息的閱讀提取，因此在課堂教學中，根據不同的教學內容，有意識地安排時間給學生進行閱讀.教師要改變以前“注入式”、“滿堂灌”的教學方法，培養學生的閱讀，要從簡單到復雜，從少到多，循序漸進逐步提高，針對抽象函數，主要是培養學生善于尋找數量關系，建立數形結合處理問題的數學習慣。最后，因為抽象函數本身比較難理解，因此在教學中注重引入和過程，讓學生多參與、探索，由學生自己總結出某種結論，把書本知識化歸為自己的知識，真正理解抽象的概念內涵。

參考文獻

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