由隱函數的求導談對函數概念的理解

摘 要:通過隱函數的求導法則來說明正確理解函數概念在高等數學學習中的重要性。

關鍵詞:方程 隱函數 直接求導

中圖分類號:O13文獻標識碼:A文章編號:1673-9795(2011)07(b)-0104-01

在多元函數微分學中，隱函數的求導占據了很重要的地位。同時對初學者來說，它也是一個難點。雖然隱函數存在定理告訴了我們何時一個方程可以確定隱函數以及隱函數的求導公式，但放在多元函數微分學這個大的框架下，學習者還是很難理解隱函數求導公式所代表的真正含義。這就需要我們從函數概念本身來理清這個問題。下面我們先簡要回顧一下隱函數存在定理。

隱函數存在定理:設函數滿足:(1)在點的某一鄰域中具有連續的偏導數;(2);(3)，則方程在點的某一鄰域中唯一確定一個具有連續導數的函數，使得，并且:

①

隱函數存在定理給出了一個方程可以確定一個隱函數的充分條件，以及隱函數的求導公式。公式①形式上相當簡單，但卻蘊含了非常多的含義，因此我們有必要對公式①進行分析以徹底了解隱函數求導的問題。我們先單獨的看公式①中分式的分子和分母，顯然我們的視角是考察二元函數本身，和僅僅是函數在點分別對其第一個變元和第二個變元的偏導數。這一點我們可以從下面公式①的證明中得到。

公式①的證明:在方程兩邊關于求導，把看成的函數。由多元復合函數的鏈式法則可得，從而。

另一方面我們必須注意，因為隱函數是的函數，因此一般地，其導函數仍然是的函數。但是公式①中等號的右邊形式上卻是一個二元函數，這是否存在著矛盾呢？我們說不是。事實上，隱函數存在定理已經保證了在所研究區域中，與具有某種函數關系。這正是體現在和表示函數在點對其第一個變元和第二個變元的偏導數。因此公式①中等號右邊的分式本質上是限制在上的。正是基于這段分析，使得我們不僅可以由隱函數存在定理得到隱函數的一階導函數，而且可以正確地求出其高階導數，只要我們時刻注意從公式①右邊得到的解析式中是的函數，進而運用一元函數的求導法則即可。

由上面兩個角度的分析可知，正確理解函數概念對多元函數的求導起著至關重要的作用，是保證多元函數求導運算正確性的關鍵。而對于高等數學來說，函數正是其研究的主要對象。因此，我們從一開始便要正確的理解函數概念，為高等數學的學習建立堅實的基礎。最后，我們以一個簡單的例子來結束本文。

例:驗證方程在點的某鄰域內能唯一確定一個連續可導的、當時的隱函數，并求其在處的一階及二階導數值。

分析與解:設，由隱函數存在定理易得在點的某鄰域內隱函數的存在性，下面求此函數的一階及二階導數。

;

注意到上式中是的函數，

有，

從而，。

參考文獻

[1]同濟大學數學系.高等數學(下冊)第六版[M].北京:高等教育出版社，2007.

[2]常庚哲，史濟懷.數學分析教程(下冊)[M].北京:高等教育出版社，2003.