利用旋轉(zhuǎn)矢量求解相位角

摘 要:利用任意時(shí)刻諧振子的位移和振動(dòng)方向建立旋轉(zhuǎn)矢量求解該時(shí)刻諧振子的相位角，并且介紹了判定諧振子振動(dòng)方向的方法。

關(guān)鍵詞:振動(dòng)位移 振動(dòng)方向 旋轉(zhuǎn)矢量 相位角

中圖分類號(hào):G623.5文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1673-9795(2011)07(b)-0109-01

求解諧振子的振動(dòng)方程，關(guān)鍵是求解時(shí)刻振子的初相位。求解波動(dòng)方程，關(guān)鍵是求解處(坐標(biāo)原點(diǎn))的振子在時(shí)刻的初相位。如果已知某個(gè)位置處的振子在時(shí)刻的振動(dòng)位移和振動(dòng)方向。利用旋轉(zhuǎn)矢量能很容易地定出該振子在時(shí)刻的相位。

1 旋轉(zhuǎn)矢量介紹

一個(gè)矢量處在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)(如圖1)，與軸的夾角為，模長(zhǎng)為，利用矢量解析法，可以得到該矢量在軸和軸上的投影值為:

若矢量以角速度沿逆時(shí)針?lè)较蚶@原點(diǎn)從角坐標(biāo)處開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在時(shí)刻，利用矢量解析法，可以得到該矢量在軸和軸上的投影值為(如圖2):

此時(shí)矢量的端點(diǎn)在軸上的投影點(diǎn)以原點(diǎn)為中心，在軸上來(lái)回作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。其時(shí)刻的振動(dòng)位移(振動(dòng)方程)為矢量在軸上的投影值。

2 諧振子與旋轉(zhuǎn)矢量

把上述投影點(diǎn)當(dāng)作諧振子，即以諧振子的振動(dòng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以振動(dòng)所在的方向?yàn)檩S，以振幅為半徑作圓，抓住兩點(diǎn):(1)時(shí)刻諧振子(投影點(diǎn))的位移是旋轉(zhuǎn)矢量的投影值;(2)諧振子(投影點(diǎn))的振動(dòng)方向與旋轉(zhuǎn)矢量逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)方向?qū)?yīng)。可以畫(huà)出諧振子與旋轉(zhuǎn)矢量對(duì)應(yīng)關(guān)系的旋轉(zhuǎn)矢量圖，如圖3所示，設(shè)諧振子在時(shí)刻的位移為，諧振子(投影點(diǎn))向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作軸垂線，則垂線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，連接原點(diǎn)到交點(diǎn)有兩個(gè)矢量，這兩個(gè)矢量在軸上的投影都是;點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)矢量端點(diǎn)的投影點(diǎn)，點(diǎn)向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)矢量沿逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，因此與諧振子對(duì)應(yīng)的是圖中實(shí)線表示的矢量。最后利用直角三角形各邊關(guān)系可以求出時(shí)刻諧振子的振動(dòng)相位，如果，即得到諧振子的初相位。

3 振動(dòng)方向的判定

3.1 振動(dòng)曲線上時(shí)刻振子的振動(dòng)方向

振動(dòng)曲線反映的是任意某個(gè)時(shí)刻該振子位置偏離平衡位置的位移情況。可以用“順描法”來(lái)判定時(shí)刻振子的振動(dòng)方向，即順著時(shí)間軸的正方向，根據(jù)時(shí)刻振子位移相對(duì)于時(shí)刻振子位移的變化情況來(lái)判定時(shí)刻振子的振動(dòng)方向，如圖4中時(shí)刻振子向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。

3.2 時(shí)刻波動(dòng)曲線上位置處振子的振動(dòng)方向

波動(dòng)曲線反映的是某個(gè)時(shí)刻處于不同位置處的各個(gè)振子振動(dòng)位置偏離平衡位置的位移情況。波的傳播是位形的傳播，所以可用“逆描法”來(lái)判定該時(shí)刻波動(dòng)曲線上某個(gè)位置處振子的振動(dòng)方向，即逆著波傳播的方向，根據(jù)上一位置處振子位移相對(duì)與該位置處振子位移的變化情況來(lái)判定該時(shí)刻波動(dòng)曲線上該位置處振子的振動(dòng)方向，如圖5中時(shí)刻處振子向軸正方向運(yùn)動(dòng)。

參考文獻(xiàn)

[1]趙近芳.大學(xué)物理學(xué)(第2版)，2007，138.

[2]Gary L.Buckwalter David M.Riban，McGraw-Hill Book Company，1987，210.