托爾斯泰提出的數學問題

列夫·托爾斯泰是一位世界聞名的大文豪，他在文學上的成就世人皆知。有趣的是他對數學也頗有研究，是一個不折不扣的數學愛好者，他提出并解答的一些數學問題至今仍為人們津津樂道。下面就向大家介紹兩則。

【題目1】割草問題：一組割草人要把兩塊草地的草割掉，大的一塊草地比小草地大1倍。上午全體組員都在大草地上收割，下午他們對半分開，一半人繼續留在大草地上割草，到晚上把剩下的草割完；另一半人到小草地上收割，到晚上還剩一小塊沒割完，這塊地由一個人用一天時間才割完。假定上、下午的勞動時間相同，每個割草人的工效也相等，問這組割草人有多少？

【分析】這個割草問題是人們議論最多也是解答思路最為自由的一道題，所以在托爾斯泰提出的問題中最為著名。值得一提的是，盡管各種解法各具特色，但我們不能忽略解答這道割草題的總體思路，那就是設法求出全組人一天完成割草量與一人一天完成的割草量的關系，再從這個比例關系中換算得到全組人數的特點。

托爾斯泰采用的分解和圖示法是其中一種比較容易接受和理解的方法。即根據題意，全組人先割上午，接著半組人又割了下午才割完大草地，即兩個半組半天割草量+一個半組半天割草量＝割完大草地。則一個半組半天割大草地的[13]，另一個半組在小草地割了半天，也就是大草地的[13]；又整個小草地是大草地的[12]，則剩下是大草地的（[12]-[13]）＝[16]，這是由一人一天完成的；另外因全組一天的割草量等于大草地的[43]（1+[13]＝[43]），由此可求出全組人數為[43]÷[16]＝8（人）。若借助下面的圖形就更能直觀理解。

【題目2】分牛問題：從前有個農夫死后留下一些牛。他在遺書中寫道：“分給妻子全部牛的一半再加半頭；分給長子剩下的一半再加半頭；分給次子的是長子分剩下的一半再加半頭；分給女兒最后剩下的一半再加半頭。”結果一頭牛也沒有剩且正好全部分完。問農夫留下了多少頭牛？

【分析】這道數學名題之所以引起廣大數學愛好者的濃厚興趣，是因為托爾斯泰給出的解答思路是數學解題中非常典型的逆推法。此題能充分體現這種解法的特點和優勢。具體解答是：由4人均分得“一半再加半頭”且“一頭牛也沒有剩”，可知每次剩下的牛數均為奇數（因為若是偶數的話，每人分到的牛數必定會有半頭，這會不符合題意）。明白了這一點，又由女兒最后分得“一半再加半頭后正好全部分完”，可判斷前面的次子剩下的奇數只能是l，道理很簡單，所有奇數中只有最小的1才符合這個要求，即1的一半加0.5還等于1。弄清了最后一個剩下的數1，就能很方便地依次向前逆推，可知前三個剩下的奇數分別為（1+0.5）×2＝3、（3+0.5）×2＝7、（7+0.5）×2＝15。亦即長子分后剩下的牛數為3頭，妻子分走后剩下的牛數為7頭，農夫留下的牛數為15頭牛。

當然，我們還可以采用“添加法”更加快捷巧妙地解答，而且更容易理解和接受。就是把農夫留下了的牛數加上1頭，那么問題就轉化成非常簡單的形式：根據農夫的分法，每次都是一半加半頭，把加的一頭也如此處理，那么問題就變成了每次分的都是總牛數（增加后的）的一半，連續這樣分了四次后最后應剩下1頭，那么再用逆推法就可以非常直觀方便地得出留給女兒的牛數為2頭，則留給次子的為2×2＝4頭，留給長子的為4×2＝8頭，留給妻子的為8×2＝16頭，再減去當初增加的1頭，即得農夫原來留下的牛為15頭。

【題目3】房價問題：兄弟五人平分父親遺留下來的三所房子。由于房子無法拆分，三所房子分別歸老大、老二、老三所有。為了補償，三個哥哥每人付出12000元給老四和老五，這樣五人得到的遺產價值相同，現在的問題是每所房子價值多少錢？

【分析】既然“三個哥哥每人付出12000元給老四和老五”，則老四和老五每人各得到36000÷2＝18000元，相當于老四、老五每人得到了一間房子，只不過是以錢的形式得到的，所以每間房子的價格就是18000元，真的是這樣的么？其實不然，如果這樣解答，我們就落入了“直覺”想象的陷井。五人平分三所房子，可以肯定每人都沒有得到一所房子的價值。另外我們還可以肯定的是：既然兄弟五人得到的遺產價值相同，而根據上面的分析知老四、老五各得到18000元，也就是兄弟五人得到的遺產如果用錢表示的話，都應該是18000元。明確了這一點，我們就可以理解下面托爾斯泰的簡明解答。

老四和老五每人各得到12000×3÷2＝18000元，由于五人得到的遺產價值相同，即兄弟五人相當于每人都得到了18000元。則五人分的遺產總價值就是18000×5＝90000元，這也就是三所房子的總價。據此可以推斷出每所房子價值為90000÷3＝30000元。