例談物理極值問題的求解方法

極值問題是中學物理的一個典型問題，其特點是綜合性強，對過程分析要求高，有時還比較隱蔽，感覺難以入手。而在高中物理的力學、熱學、電磁學等部分經常出現極值問題，且解題方法變化多樣，是考查學生能力的重要題型之一。為此，本文總結了幾種極值問題的常用求解方法，供大家參考。

一、配方法

例1：如圖所示的電路中，R=5Ω，R=10Ω，R=15Ω，在滑鍵P由a到b的移動過程中，A、B間的電阻的變化范圍是多少？

解析：假設滑鍵P在移動過程中aP間的電阻為X，可得：

R=

R===

∵0Ω≤X≤15Ω

∴當X=0Ω時 R=Ω，當X=10Ω時R=7.5Ω。

點評：本題將問題轉化為熟悉的二次函數的最值問題，運用配方法來解決，學生比較容易接受，運用起來也比較熟練。

二、判別式法

例2：在擲鉛球的運動中，如果鉛球出手時距地面的高度為h，速度為υ，求υ與水平方向成何角度時，水平射程最遠？并求此最大的水平射程X。

解析：以出手點為初位置，分別列出水平方向與豎直方向的位移方程。

x=υtcosθ-h=υtsinθ-gt 消去t可得tanθ-tanθ+1-=0

上式為關于tanθ的一元二次方程。若tanθ存在實數解，則判別式b-4ac≥0即

∴+-x≥0 ∴x≤+∴x=

tanθ=-==

點評：對于一個一元二次方程，當它的判別式b-4ac≥0時，此方程有實數解。若我們在解物理習題時能選擇適當的物理量作為未知量，使其成為一個一元二次方程，巧妙地利用判別式來解決極值問題。

三、三角函數關系式法

例3：質量為m的物體放在水平地面上，物體與地面間的滑動摩擦系數為μ，用力F拉物體，使物體在水平面上作勻速直線運動，力與水平方向的夾角θ為多大時最省力。

解析：畫出受力分析圖，建立直角坐標系（如圖所示）

由平衡條件得：Fcosθ-f=0

Fsinθ+N-G=0

f=μN

聯立解得：F=μG/（cosθ+μsinθ）

∴F=μG/sin（θ+γ）

其中tanγ=1/μ

當θ+γ=π/2即θ=arctanμ時，F=μG/

點評：本題建立了一個物理模型，巧妙運用三角函數的知識來解決物理問題，需要學生在解題中去發現。

四、求導法

例4：如圖所示電路中，電阻R可變電阻，電源的電動勢為ε，內電阻為r，求R為多大時，電源的輸出功率最大？最大值是多少？

解析：根據功率公式P=IR及閉合電路歐姆定律I=得P=R，求導得P=，

令P=0，解得R=r，或R=-r（舍去）。當R0時；R>r時，P<0（左正右負）。因此當R=r時，P有最大值，即P=。

點評：該題也可采用配方法來求解，但“導數與微分”已列入高中數學教學大綱，將成為高考物理的熱點之一。學生也有了一定的數學知識準備，所以在平時的教學中注意滲透這方面的解題意識。

通過以上的分析，我們發現要解決好物理極值問題就要求學生不僅理解掌握物理概念、規律，而且要能建立符合物理過程的數學模型，并具備較好的運用數學解決問題的能力。當然，我們還有不少求解極值的其他方法，比如矢量合成作圖、運動圖像作圖、基本不等式等等，希望能起到拋磚引玉的作用，更好地指導我們的學習。

（作者單位：江蘇省南通市海安縣李堡中學）

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